傅立叶(Fourier)级数的展开方法

1、傅立叶（Fourier）级数的展开方法；2、傅立叶（Fourier）积分的展开条件与展开方法；3、傅立叶谱的物理意义。重点傅里叶生平1768年生于法国1807年提出“任何周期信号都可用正弦函数的级数表示”1822年发表“热的分析理论”，首次提出“任何非周期信号都可用正弦函数的积分表示”§5.1傅里叶（Fourier）级数一.周期函数的傅里叶展开在工程计算中,无论是电学、力学、光学,经常要和随时间而变的周期函数fT(t)打交道.例如:最常用的一种周期函数是三角函数fT(t)=Asin(ωt+φ)其中=2π/T具有性质fT(t+T)=fT(t)的函数称为周期函数。t工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的线性组合来逼近.方波4个正弦波的逼近100个正弦波的逼近数学表示为nkkkktAxf1)sin()(nkkkkktbta1sincos则函数f(x)可在[-l,l]展为傅里叶级数1、傅里叶级数1kkk0lxπkblxπkaaxf)sincos()(若函数f(x)以2l为周期，即f(x+2l)=f(x)，并在区间[-l,l]上满足狄里希利(Dirichlet)条件,即在区间[-l,l]上1)连续或只有有限个第一类间断点；2)只有有限个极值点.（简称狄氏条件）ll22说明1、三角函数族是两两正交的)(dcoscosdsin),(dcosnkxlxnlxkxlxkkxlxkllllll0000llllxlxnlxknkxlxnlxk00dcossin),(dsinsindxlxkdxlxkldxllllll22221cossin,...sin,...2sin,sin,...cos,...2cos,cos,1lxklxlxlxklxlx2、可以由函数的正交性求出傅立叶级数中的系数；xxlllfad10).,,(sin),,,(cos321d1321d122nxxnxlnxxnxlllnTTnfbfa称为傅里叶系数3、函数以傅立叶级数展开是在函数空间中以三角函数为基进行分解基矢量4、第一类间断点和第二类间断点的区别:函数的间断点分为两类第一类间断点：x0是函数的间断点，且00xxxxxfxf)(lim)(lim左极限右极限存在第一类间断点第二类间断点第二类间断点：不是第一类的间断点。而在工程上所应用的函数,尤其是物理量的变化函数,全部满足狄氏条件.5、傅立叶展开的意义：理论意义：把复杂的周期函数用简单的三角级数表示；应用意义：用三角函数之和近似表示复杂的周期函数。例1设f（x）函数是周期为2π周期函数，它在[π，π]表达式)()()(xxxf0101将f（x）展为傅立叶级数。解函数满足狄氏条件，它在x=kπ（k=0，1，-1，2，-2…)点不连续,收敛于0211在连续点上收敛于)(xfx)(xf则01kxdxxfakcos)(..),,(...),,(sin)(642053141kkkkxdxxfbkxkkxfk)sin()(1212141二、奇函数和偶函数的傅里叶展开若f(x)是奇函数，则ak为0，展开式为叫做傅里叶正弦级数，f(0)=f(l)=01kkk0lxπkblxπkaaxf)sincos()(1kklxπkbxfsin)(),,(dsin)(L21kξlπξkξfl2bl0k若f(x)是偶函数，则bk为0，展开式为1kk0lxπkaaxfcos)(),2,1(d)(10Lkflalkxx叫做傅里叶余弦级数,),2,1(dcos)(20Lklkflalkxxx00)()(lff例2设f（x）是周期为2π的周期函数，它在[-π，π]上的表式为f（x）=x。将它展为傅立叶级数。解首先，所给函数满足狄氏条件，在处不连续，因此，f（x）的傅立叶级数在收敛于....),,()(21012kkx02200)()()(ff在连续点处收敛于f（x）。....),,()(21012kkxx)(xf不计点函数是周期为2π，且是奇函数。....),,()(21012kkx则...),,()(sinsin)(3211222100kkkxdxxkxdxxfbkkkxnxfkksin)()(1112...),;(3xx1、定义在[-l,l]上的函数f(x)展开；三、定义在有限区间上的函数的傅里叶展开工程以及物理上用到的函数一般是定义在有限区间上的.方法将函数f（x）解析延拓到[-∞，∞]区间，构成的周期函数g（x），其周期为2lllx)(xfl)(xfxlllx)(xfl)(xfxl仅在[-l，l]上，g(x)≡f(x).例3在（-1，1）上定义了函数f（x）为：),(),(),()(1211210101xxf将函数展为傅立叶级数解函数曲线如图x)(xf1021110211x)(xf将函数做周期为2的解析延拓，如图。将延拓后的函数做傅立叶展开4111212112121011010])([)(dxdxxdxdxxfal21221111122221212100111kkkxdxkxdxkdxkxdxxkxfaksin)]([cos)(coscoscos)(22111221212100111kkkxdxkxdxkdxkxdxxkxfbkcossin)(sinsinsin)(所以xkkxkkkkxfkksin)cos(cos]sin)([)(2211221141122),(112、定义在[0,l]上的函数f(x)展开；方法将函数f（x）解析延拓到[-l，l]区间，再将[-l，l]区间的函数再延拓到[－∞∞]区间上，构成周期函数g（x），其周期为2l例4定义在（0，l）上的函数f（x）=a（1-x/l），将该函数展开为傅立叶级数。解函数曲线如图x)(xfal延拓到（-l，l）后再周期延拓，如图做偶延拓：所以21100adxlxalal)()()()(cos)(121242012220nknankdxlxklxalalk0)(xfallx),(,sin)(llxkkaxfk020如图做奇延拓：0)(xfallxkadxlxklxalblk2120sin)(延拓的方式有无数种，因而展开式也有无数种，但他们在(0,l)上均代表f(x)，且函数值相等。有时，对函数f(x)边界的限制就决定了延拓的方式。如要求f(0)=f(l)=0，则应延拓成奇周期函数，如要求，则应延拓成偶的周期函数。)()(lff0四复数形式的傅立叶级数而利用三角函数的指数形式可将级数表示为:有些时候利用三角函数和复指数函数的关系，将函数以复指数函数展开讨论函数的性质更方便。10kkklxklxkaxfbasincos1022klxkilxkiklxkilxkikiaxfeebeea1022nlxkikklxkikkebaebaiiaecececclxkikknlxkiklxkik10设-k=k,xxlllfcd210llkkkxlxkxlifbacd212cos[]sinllxlxkxifdxlxkilxkxlllfd21sincos),,,(321d21kxxleflxkill所以，复数形式的傅立叶级数是以为基展开的级数。lxkielxkikkecxf)(lllxkikdxexflc)(21例5把锯齿波f（x）在（0，T）这个周期上可表示为f（x）=Hx/T，试把它展为复数形式的傅立叶级数。解函数曲线如图x)(xfT周期为22TlTl,dxxeTHTdxexflcTxkiTllTxkik202121)()(,)(,0202kkiHkHtxkikekiHHxf2122)(五、周期函数的频谱10nnnlxnlxnaxbafsincos)(xf周期函数l1基频lnn谐频lnnn次谐波的频率波函数)sin(sincoslxnAlxnblxnannn,baAnnn22振幅在实数形式中在复数形式中lnnn次谐波的频率0deFxflxni)()(lxninlxninecec波函数振幅222122baibaibaccnnnncA2的振幅随频率变化的分布情况。它清楚地表明了一个非正旋周期函数包含了哪些频率分量及各分量所占的比重（如振幅的大小）。因此频谱图在工程技术中应用比较广泛.所谓频谱图，通常是指频率和振幅的关系图。)(xf的振幅频谱（简称为频谱）.它描述了各次谐波nA称为举例矩形脉冲函数022()22022TtftEtTTtT22T22E0()sinjntTnnEEnfteTnT0022EAcT0cnc22sinnnEnAcnT2nnnT频谱图22sinnnEnAcnT2nnnT频谱图AO2E2232253274295(4)T它清楚地表明了一个非正旋周期函数包含了哪些频率分量及各分量所占的比重（如振幅的大小）§5.2傅立叶积分与傅立叶变换一、复数形式的傅立叶积分对任何一个非周期函数f(x)都可以看成是由某个周期函数g(x)当2l时转化而来的。1、问题函数f（x）定义在[-∞∞]上，无周期，研究函数的性质，怎么办？2、方法OxfllOll)(xfl2.limlim)(limeefxikllilklxnnlllnndlecxfxfxxx212作周期为2l的函数f(x),使其在[-l,l]之内等于f2l(x),在[-l,l]之外按周期2l延拓到整个数轴上,则l越大,g(x)与f(x)相等的范围也越大,这就说明当2l时,周期函数g(x)便可转化为f(x),即有lnnnlnnn布在整个数轴上，所对应的点便均匀地分取一切整数时，当nn123noT2T2T2T20nl.limeefxinlliTlnndlxf21nxinlliTeefnnndxf210limlnnn1nnnfxfn)(lim)(0xillilnnnedeff])([)(221nnnfxfn)(lim)(0dfxf)()(xilliedeff])([)(21dedefxfxilli])([)(21deFxfxi)()(dxexfFxi)()(21