考研基础复习(线代)向量

考研数学基础知识复习——线性代数第三章向量组的线性相关性与向量空间一、基本概念与基本理论（1）向量的概念：n个数组成的有序数组),,,(21naaa，称为n维（行）向量.其中ia称为向量的第i个分量或坐标.1、向量的概念与运算nbbb21或Tnbbb),,,(21，称为n维列向量.一、基本概念与基本理论——1、向量的概念与运算(2)向量的运算:相等:),,,(21naaa，),,,(21nbbb相等，当且仅当iiba（ni,,2,1）；零向量：所有分量为零的向量，)0,,0,0(0;负向量:向量),,,(21naaa的负向量，记：),,,(21naaa；一、基本概念与基本理论——1、向量的概念与运算向量的线性运算：设),,,(21naaa，),,,(21nbbb，则①加法：),,,(2211nnbababa；②乘数：),,,(21nkakakak.（需要注意其运算规律.）一、基本概念与基本理论——2、向量间的线性关系（1）线性组合：对于给定的向量s,,,,21，如果存在一组数skkk,,,21使成立关系式sskkk2211，则称向量是向量组s,,,21的一个线性组合.或称可由向量组s,,,21线性表示.——2、向量间的线性关系注意1：非齐次线性方程组bAx是否有解，等价于向量b是否可由矩阵A的列向量组线性表示.注意2：任何一个n维向量),,,(21naaa都可由n维基本单位向量组n,,,21（n阶单位矩阵的n个行向量）线性表示，且：nnaaa2211.——2、向量间的线性关系（2）线性相关与线性无关：设s,,,21是一组n维向量，如果存在一组不全为零的数skkk,,,21，使02211sskkk如果上式仅当021skkk时成立，则称向量组s,,,21线性无关.成立，则称向量组s,,,21线性相关；——2、向量间的线性关系注意：齐次线性方程组0Ax是否有非零解，相当于A的列向量组是否线性相关.几个常用结论：①单个非零向量是线性无关的；②含有零向量的向量组一定线性相关；③基本单位向量组一定线性无关；④两个向量组成的向量组线性相关的充要条件是：对应元素成比例.——3、向量组的秩和矩阵的秩（1）极（最）大线性无关组：I、向量组中有r个向量r,,,21线性无关；设T是一个n维向量组，如果：则称r,,,21是向量组T的一个极（最）大线性无关组.II、且向量组中任何1r个向量线性相关，——3、向量组的秩和矩阵的秩若向量组s,,,21线性无关，则自身就是极大线性无关组.相关结论：若rjjj,,,21是向量组s,,,21的线性无关部分组，则它是其极大线性无关组的充要条件是：向量组s,,,21中每一个向量都可由rjjj,,,21线性表示.——3、向量组的秩和矩阵的秩（2）向量组的等价性：设有向量组（A）：s,,,21和向量组（B）：t,,,21，若向量组（A）的每个向量都可由向量组（B）线性表示，则称向量组（A）可由向量组（B）线性表示.如果向量组（A）和向量组（B）可以相互线性表示,则称向量组（A）和（B）等价.向量组的等价具有:反身性、对称性、传递性.——3、向量组的秩和矩阵的秩几个常用结论:①任一向量组和它的极大线性无关组等价;②向量组的任意两个极大线性无关组等价;③两个等价的线性无关向量组所含的向量个数相同;④向量组的任意两个极大线性无关组所含的向量个数相同.——3、向量组的秩和矩阵的秩（4）矩阵的秩：设nmijaA)(，则有：矩阵A的行向量组的秩和列向量组的秩相等.矩阵A的行秩和列秩统称为矩阵A的秩.记为)(Arank，或)(Ar.（3）向量组的秩：向量组的任一极大线性无关组所含的向量个数称为该向量组的秩.记为：秩（s,,,21），或),,,(21sr.若向量组只含零向量，则规定它的秩为零.——3、向量组的秩和矩阵的秩矩阵A的秩也可定义为最高阶非零子式的阶数.矩阵A的秩的两种定义是等价的.rAr)(的充要条件为：A中至少有一个r阶子式不等于零，而所有的1r阶子式都等于零.——3、向量组的秩和矩阵的秩①对于矩阵nmijaA)(，有：当mAr)(时，A的行向量组线性无关，此时称A行满秩；②矩阵A的初等行（列）变换不改变矩阵的秩，且不改变其列（行）向量间的线性关系；请注意下面几个常用结论当nAr)(时，A的列向量组线性无关，此时称A列满秩；——3、向量组的秩和矩阵的秩③求向量组的秩可转化为求矩阵的秩；可用初等变换求向量组的秩；特别：掌握用矩阵的行变换求向量组的秩;求向量组的极大线性无关组;用极大线性无关组表示其它向量的方法.一、基本概念与基本理论——4、向量空间（1）向量空间及子空间：设S为n维向量组成的非空集合，且S中的向量对于加法和数乘运算是封闭的，则称S构成一个向量空间.若1S是向量空间S的一个非空子集，且对S中的加法和数乘两种运算是封闭的，则称1S是S的子空间.一、基本概念与基本理论——4、向量空间特别：n元齐次线性方程组0Ax的所有解向量的集合S构成一个向量空间，称S为0Ax的解空间.——4、向量空间（2）基底及维数：若n,,,21是向量空间S的一个线性无关的向量组，且S中任一向量均可由n,,,21线性表示，向量空间的基底所含向量的个数，称为向量空间的维数.称S为n维向量空间.记为：.nR则称n,,,21是向量空间S的一个基底.一、基本概念与基本理论——4、向量空间设n,,,21为n维向量空间nR的一组基，nR，存在唯一的一组数，使nnxxx2211Xn),,,(21，则称有序数组TnxxxX),,,(21是向量在基n,,,21下的坐标.——4、向量空间(3)基变换与坐标变换:若n,,,21与n,,,21为n维向量空间nR的两组基,则：nnnnnnnnppppppppp2122221112112121),,,(),,,(Pn),,,(21，称为基变换公式.其中可逆矩阵P称为由基n,,,21到基n,,,21的过渡矩阵.——4、向量空间若向量在基n,,,21和n,,,21下的坐标分别为X和Y，即：Xn),,,(21，Yn),,,(21，则：PYX，或XPY1，称为坐标变换公式.其中：),,,(21n.),,,(21Pn——4、向量空间（4）内积：设Tnaaa),,,(21，Tnbbb),,,(21,则定义与的内积为：T),(nnbababa2211.若0T，称与正交.向量的长度为：22221),(||naaa.性质：①),(),(；②0),(0；③),(),(),(——4、向量空间11，1111222),(),(，设s,,,21为nR中的一组线性无关向量，令:222231111333),(),(),(),(，…，(5)施密特正交化方法则：s,,,21相互正交.11111111),(),(),(),(ssssssss，——4、向量空间（6）规范正交基与正交矩阵：设n,,,21为nR的一组基，先将其正交化得n,,,21，再将其单位化得：n,,,21满足：jiji,0),(；nii,,2,1,1||.称其为nR的一组规范正交基.||111，||222，…，||nnn，则：——4、向量空间对于规范正交基.令),,,(21nQ，则：EQQQQTT，称Q为正交矩阵.对于正交矩阵Q有性质：①1QQT；②1||Q；③若21,QQ均为正交阵，则21QQ仍为正交阵.一、基本概念与基本理论——5、重要定理与公式定理1、向量组m,,,21线性相关的充分必要条件为：向量组中至少有一向量可由其余的1m个向量线性表示.定理2、若r,,,21线性无关，而,,,,21r线性相关，则可由向量组r,,,21线性表示，且表示法唯一.——5、重要定理与公式定理3、若r,,,21线性相关，则11,,,rr线性相关.定理4、若r,,,21线性无关，则无论如何扩充向量组各向量的分量，所得的向量组仍线性无关.定理5、若向量组中向量的个数大于向量的维数，则向量组线性相关.一、基本概念与基本理论——5、重要定理与公式定理6:n个n维向量线性无关的充分必要条件为：由向量组构成的矩阵的行列式不等于零.定理7:矩阵的秩等于矩阵行（列）向量组的秩.定理8:向量组的任意一个极大线性无关组与向量组本身是等价的.一、基本概念与基本理论——5、重要定理与公式定理9:两个等价的线性无关组所含的向量个数相等.定理10:两个等价的向量组具有相同的秩.——5、重要定理与公式定理11:设有两个向量组rA,,,:21；sB,,,:21，若向量组A可由向量组B线性表示，且r,,,21线性无关，则sr.定理12:若n维向量r,,,21是一组两两正交的非零向量，则r,,,21线性无关.二、典型题型分析及举例题型I：有关向量组线性相关性的讨论及证明说明：（1）由定义来讨论或证明；（2）若是n个n维向量，可转化为它们组成的行列式的讨论；二、典型题型分析及举例题型I：有关向量组线性相关性的讨论及证明（4）将线性相关性问题转化为齐次线性方程组有无非零解来分析.（3）若是m个n维向量，利用矩阵的初等变换求出矩阵的秩，然后讨论向量组线性相关性；题型I：有关向量组线性相关性的讨论及证明设)1,1,1(1，)3,2,1(2，),3,1(3t，（1）问t为何值时，321,,线性相关；（2）问t为何值时，321,,线性无关；（3）当线性相关时，将3表示为,,21的线性组合.例3.1题型I：有关向量组线性相关性的讨论及证明n向量组s,,,21)3(ns线性无关的充要条件是：（）.（A）存在不全为零的数skkk,,,21，使02211sskkk；（B）s,,,21任何两个向量都线性无关；（C）s,,,21中存在一个向量，它不能由其余向量线性表示；（D）s,,,21中任意一个向量都不能由其余向量线性表示.例3.2题型I：有关向量组线性相关性的讨论及证明已知向量组4321,,,线性无关，则下面成立的是：（）.（A）14433221,,,线性无关；（B）14433221,,,线性无关；（C）14433221,,,线性无关；（D）14433221,,,线性无关；例3.3二、典型题型分析及举例题型I：有关向量组线性相关性的讨论及证明设raaa,,,21)(nr是互不相同的数，),,,,1(12niiiiaaa),,2,1(ri，问：r,,,21线性相关否？例3.4二、典型题型分析及举例题型I：有关向量组线性相关性的讨论及证明设s,,,21线性无关，做线性组合：s111，s222，…，ssss111，则向量组121,,,s线