考研基础班数学经典讲义 第九章重 积 分

11第九章重积分一元函数积分学多元函数积分学重积分曲线积分曲面积分()[,]yfxxab(,)(,)zfxyxyD(,,)(,,)ufxyzxyz二重积分的定义及计算三重积分的定义及计算重积分的应用2一、二重积分的定义及计算1.定义:(,)fxy设将区域D任意分成n个小区域任取一点若存在一个常数I,使可积,(,)fxy(,)Ifxy称为在D上的二重积分.,xy积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界闭区域D上的有界函数,则称称为积分变量3说明：(,)dDfxy表示一个确定的数值，它只与(,)fxyD,有关，与D的分割法、),(ii的取法、积分变量所使用的字母无关，即(,)d(,)d.DDfxyfuv(1)(2)当),(yxf在闭区域D上连续时，定义中和式的极限必存在，即二重积分必存在.(3)底为D，顶为(,)zfxy的曲顶柱体的体积为：(,)dDvfxy((,)0)fxy平面薄片的质量为：(,)d((,)0)Dmxyxy4(4)二重积分的几何意义(,)dDfxy(,)dDfxy即1)当被积函数大于零时，2)当被积函数小于零时，二重积分二重积分是曲顶柱体的体积．特殊地：若在D上,(,)1fxy，则(,)dDfxydDD的面积是曲顶柱体的体积的负值.((,)0)fxy,v((,)0)fxy,vxzyoD),(yxfzi),(iixzyo),(yxfzDi),(ii222222dxyRRxy例如？01(,)dlim(,)niiiiDfxyf323R5d(,)Dfxydddxy面积元素为：xyoD(5)直角坐标系下的面积元素d(,.d)Dxfyxy二重积分记作：性质1.(k为常数)(,)dDkfxy性质2.[(,)(,)]dDfxygxy(,)d(,)d.DDfxygxy(二重积分与定积分有类似的性质)2.二重积分的性质(,)d.Dkfxy性质3.(,)dDfxy12()DDD1(,)dDfxy2(,)d.Dfxy6性质4.若为D的面积，1dDd.D性质5.若在D上(,)(,),fxygxyDyxfd),(则有.d),(Dyxg性质6.(二重积分中值定理)(,)dDfxy(,)dDfxy(二重积分估值不等式)设M、m分别是f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值，为D的面积，则性质7.设函数f(x,y)在闭区域D上连续，为D的面积，则在D上至少存在一点(,),使得mM(,)f7的大小顺序为()123312321213();();();().AIIIBIIICIIIDIIIByox1D例1.设D是第二象限的一个有界闭域,且0y1,则31d,DIyx1323dDIyx提示:因0y1,故122;yyy故在D上有:30,x又因133232yxyxyx83.利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性简化计算二重积分.(1)Dy若区域关于轴对称,1(,)(,),0,DxyxyDx记则(,)dDfxy(,)(,)fxyfxy当时12(,)dDfxy，(,)(,)fxyfxy当时0，(2)Dx若区域关于轴对称,2(,)(,),0,DxyxyDy记则(,)dDfxy(,)(,)fxyfxy当时22(,)dDfxy，(,)(,)fxyfxy当时0，9(3)()Dyx轮若区域关于称换对称性对则注意:,使用时必须被积函数和积分区域顾两方面兼只有被积,.函数的奇偶性和积分区域的对称性相匹配时才能使用(,)dd(,)ddDDfxyfyyxxxy,.DyxDxy关于对称，即在的边界方程中互换后方注程保持不变：1[(,)d(,)d],2DDfxyfyx1()d()d[()d()d]2DDDDfxfyfxfy特别的有1022(,)4,0,0,()DxyxyxyfxD设区域为例2.(2005),ab上的正值连续函数，为常数,则()()d()()()Dafxbfyfxfy();();()();().22ababAabBCabD解:由轮换对称性，有()()d()()Dafxbfyfxfy()()d()()Dafybfxfxfy()()()()1dd2()()()()DDafxbfyafybfxfxfyfxfy(()())(()())1d2()()Dafxfybfyfxfxfyd2Dabπ.2abD()1fx令11(),()fxgx练习：设是连续的奇函数是连续的偶函数,区域{(,)01,},()Dxyxxyx则下列积分正确的是()()()dd0;()()()dd0DDAfygxxyBfxgyxy；()[()()]dd0;()[()()]dd0.DDCfxgyxyDfygxxyAxyoyxyx11x2(),()fxxgxx令提示：2()()fygxyx则(08数学四)A由对称性，应选：124.二重积分在直角坐标下的计算公式21()()(,)dd(,)d.bxaxDfxyxfxyy21()()(,)dd(,)d.dycyDfxyyfxyx［Y－型］［X－型］★如果积分区域为：12,()().axbxyx★如果积分区域为：12,()().cydyxy1()yx2()yxxybaDxy1()xyDdc2()xy外限定限方法------投影法内限定限方法--平行线穿越法先积后定限,限内画条线,先交下限写,后交上限定.135.二重积分在极坐标系下的计算公式()0d(cos,sin)d.fρ2()00d(cos,sin)d.fxDo1()2()xoD()Dox()(,)ddDfxyxy(cos,sin)ddDf21()()d(cos,sin)d.fρ.先后次序：14(1)应掌握化极坐标系下的二重积分为二次积分.定限方法----射线穿越法：().D若夹在两射线，之间，则D在,之间任取,过极点做极角为的射线穿越，1212(),()()().入口线为出口线为,则d(,)ddDfxyxy21()()(cos,sin)d.fρxDo1()2()0221.()()xfxyfy当被积函数中含或者时；02.D积分区域为圆域或为圆域的一部分时；30.在直角坐标系下积不出来时.(2)何时用极坐标？说明：156.计算二重积分的步骤及注意事项•画出积分域并写出边界曲线的方程,并求出交点坐标.•选择坐标系•确定积分序•写出积分限•计算要简便区域边界应尽量多为坐标线.被积函数关于坐标变量易分离.积分域分块要少.累次积分好算为妙(首先内积分易积).(充分利用对称性,几何意义和性质等)“平行线穿越法”“射线穿越法”:,.(,,,),Daxbcydabcd若均为常定数理：则1212()()dd[()d][()d]bdacDfxfyxyfxxfyy16分析:积分时必须考虑次序.22ddyDxexy21200ddyyyxex23100()d3yyxey22120d()6yyey).21(61e例3.如图.:01,1Dxxy22ddyDxexy则21120ddyxxxey:01,0Dyxy由于2310d3yyey则22dd(0,0),(1,1),(0,1)yDxexyD求，其中是以为顶点.的三角形2d.yey无法用初等函数表示xyo1xy1解:y17例4.计算,dDxy其中D是由所围的区域.22yxyx，解:xyox=y+22xy(4,2)(1,-1)－12区域D的图形如右阴影部分，解方程组.2,2xyxy得交点坐标为(1,－1),(4,2),则D：12,y于是dDxy222211[]d2yyyxyyyyyd)2(215221xxyyyydd221222.yxy.84518解:直接用对称性.221()2ddddxyDDyxyxyexy原式22221211()()22dddd+ddxyxyDDDyxyxyexyxyexy111ddyyyx1212()d3yyyxoy-111221()2[1]dd5.xyDyxexyD计算，其中例是由直线,11yxyx及围成的平面图形.1D2Ddd0Dyxy19221ddDxyxy(,)|01,01Dxyxy例6.计算二重积分其中积分区域为111D2D解:如图，记221(,)|1,(,)DxyxyxyD222(,)|1,(,)DxyxyxyD122222(1)dd(1)ddDDxyxyxyxy原式11222222(1)dd(1)dd(1)ddDDDxyxyxyxyxyxy1.43122222(1)dd(1)ddDDxyxyxyxy111222200002d(1)dd(1)dρxxyy20其中D是由曲线所围成的平面域.解:222(1)(2)3xy其形心坐标为:面积为:5ddDIxxy[5(1)32]9A3ddDyxy积分区域形心坐标1,2xy1ddDxxxyA1ddDyyxyA53xAyAxoy-12例7.计算二重积分21已用过的二重积分的简便计算方法小结：1.ddDxyD几何意义法：的面积；2.选取合适的积分次序；4.利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性；5.积分变量可以分离的；3.选择恰当的坐标系；6.()合理利用可加性可减性；7..利用形心坐标221(,)dDfxyarcsinarcsin(,)dyyfxyx10dyIsin0(,)dxfxyy0dxsin0(,)dxfxyy2dx2+arcsinarcsin(,)dyyfxyx01dy如图所示交换下列二次积分的顺序:2(,)dDfxy解:sin0(,)dxfxyy0dx0sin(,)dxfxyy2dxsinyxxyo21D2D例8.23222411(,)d(,)dd)(.(,d)yxyzfxyxfxyyyfxyx练习设函数连续,则24241112422111()d(,)d,()d(,)d,()d(,)d,()d(,)d.xxxyyAxfxyyBxfxyyCyfxyxDyfxyxC(09数学二)改变积分次序的一般步骤：(1)由二次积分将区域D用不等式组表示;(2)由上面不等式组作出D的图形；(3)改写成另一形式即可.24例9.将21101d(,)dxxxfxyy表示为极坐标下的累次积分21xyyx1解:cosxsiny101x211xyx