贝努里概型

概率论(二)独立试验序列概型进行n次试验，若任何一次试验中各结果发生的可能性都不受其它各次试验结果发生情况的影响，则称这n次试验是相互独立的。在同样条件下重复进行试验的数学模型称为独立试验序列概型。若在每次试验中只关心某事件A发生或不发生，且每次试验结果与其它各次试验结果无关，即在每次试验中事件A发生的概率都是p(0p1)。这样的n次重复试验称为n重贝努里试验。概率论例6一批产品的废品率为p,(0p1)重复抽取n次，求有k次取到废品的概率。解：设所求事件的概率为P(B),事件B由下列m个互不相容的事件组成：B1=(废，…，废，正，…，正)B2=(废，…，废，正，废，正，…，正)Bm=(正，…，正，废，…，废)P(B1)=P(B2)=…=P(Bm)=pk(1-p)n-kknmC,而故mkknki1ni1PBPBmPBCP1P()()()()概率论一般地，有如下的定理：解：设B表示至少有两件一级品1010k2PBPk()()＝1-P10(0)-P10(1)101910104C0604...0998.nkknknn1AppnkP(k)PkCpqk01nq1p定理贝努里定理设一次试验中事件发生的概率为，(01),则重贝努里试验中，事件A恰好发生次的概率为其中()(),(,,...,)例7一条自动生产线上产品的一级品率为0.6，现在检查了10件，求至少有两件一级品的概率。概率论例8某药物对某病的治愈率为0.8，求10位服药的病人中至少有6人治愈的概率。解：设A表示至少有6人治愈。1010k6PAPk()()＝P10(6)+P10(7)+P10(8)+P10(9)+P10(10)664773882991010101010C0802C0802C0802C080208.........097.而正好有8人治愈的概率为8821010P8C0802()..=0.302概率论例9在四次独立试验中，A至少出现一次的概率为0.59，求A至多出现一次的概率。解：设在一次试验中A出现的概率为p则A至少出现一次的概率为4444k1Pk1P011p059()()().故(1-p)4=0.411-p=0.8p=0.2A至多出现一次的概率为：P4(0)+P4(1)41341pCp1p()()=0.82413408C0208...概率论例10(分赌注问题)甲、乙各下注a元，以猜硬币方式赌博，五局三胜，胜者获得全部赌注。若甲赢得第一局后，赌博被迫中止，赌注该如何分？解法一：12每局双方获胜的可能性均为。应按照比赛双方最终获胜的可能性分赌注。即在余下的四局中甲赢得2局以上即可。甲最终获胜的概率为P4(2)+P4(3)+P4(4)2234234411111CC222221116516乙胜的概率为，赌注应按11：5的比例分配。概率论解法二：一般情况下不必比到第五局，有一方赢得三局即中止。甲方在第三局结束赌博获得胜利的概率为231PB2()14甲方在第四局结束赌博获胜的概率为142111PBC222()14甲方在第五局结束赌博获胜的概率为2153111PBC222()316故甲方最终获胜的概率为P(B3+B4+B5)=P(B3)+P(B4)+P(B5)1116赌注应按11：5的比例分配。概率论例11(赛制的选择)在体育比赛中，若甲选手对乙选手的胜率是0.6，那么甲在五局三胜与三局两胜这两种赛制中，选择哪个对自己更有利。解：在五局三胜赛制中，甲获胜的概率为P5(3)+P5(4)+P5(5)33244555C0604C060406.....=0.6826在三局两胜赛制中，甲获胜的概率为P3(2)+P3(3)2233C060406...=0.648甲应选择五局三胜制。概率论若P(AB)=P(A)P(B)，则事件A、B相互独立。如果在重复试验中，每次试验结果互不影响，也就是说各次试验结果发生的概率互不影响，称这类试验是独立的。如：(1)一枚硬币抛n次；(2)一次抛n枚硬币；(3)有放回地抽样：10件产品中有3件次品，从中任取一件，取后放回，连取三次。1.n重独立性试验若E可以在相同的条件下重复进行n次，各次试验的结果相互独立，则称这n次试验是独立的，或称n重独立试验（独立试验序列）。§1.6贝努里（Bernoulli)概型概率论如：掷硬币，射击，种子发芽，投篮等。3.贝努里公式定理1在n重贝努里试验中，事件A在每次试验中发生的概率为p，0＜p＜1，则在n次试验中事件A恰好发生k次（0≤k≤n）的概率为其中p+q=1。nkqpCkPknkknn,,2,1,0,)(2.n重贝努里试验如果E只有：A及，且AP(A)=p，P()=1－p=q（0＜p＜1）将E独立地重复n次的试验，称为n重贝努里试验。A概率论12,1iiikikinPAAAAA(1).knkknkpppq(),kknknnPkCpq00()()1.nnkknknnnkkPkCpqpq此式刚好是二项式(p+q)n的展开式中的第k+1项，故亦称为二项概率公式。显然证明n次试验中事件A在某k次发生，在其余n-k次不发生，由试验的独立性，有在n次试验中，A发生k次的方式有knC种。且任何两种方式都是互不相容的，于是有概率论例1有一批棉花种子，出苗率为0.67，现每穴播六粒，求解下列问题：(1)恰有k粒种子出苗的概率；(2)至少有一粒出苗的概率；(3)要保证出苗率为98%，应每穴至少播几粒？解恰有k粒种子出苗的概率为666()0.670.33,(0,1,2,3,4,5,6).kkkPkCkK0123456P6(k)0.00130.01570.07980.21620.32920.26730.0905概率论60066661()1(0)1(0.67)(0.33)0.9987.kPkPC(3)要保证出苗率为98%，即要使1-P6(0)≥0.98解得n=4。例1有一批棉花种子，出苗率为0.67，现每穴播六粒，求解下列问题：(1)恰有k粒种子出苗的概率；(2)至少有一粒出苗的概率；(3)要保证出苗率为98%，应每穴至少播几粒？解(2)至少有一粒出苗的概率为概率论例2在保险公司里有2500个同一年龄和同一社会阶层的人参加了人寿保险，在一年里每人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人一年付120元保险费，而在死亡之时家属可在公司里领取20000元，问（不计利息）（1）A={保险公司亏本}的概率是多少？（2）B={保险公司每年获利不少于100000元}的概率是多少？解若一年死亡X人，则保险公司支出20000X（元），一年中保险公司收入为2500×120=300000（元），于是（1）当20000X＞300000,即X＞15时，保险公司亏本，故P(A)=P(X＞15)=1-P(X≤15).把“参加保险的一个人在一年中是否死亡”看作一次试验，于是把2500人参加保险看作2500次独立重复试验，则概率论15250025000()1(15)1(0.002)(0.998)0.000069.kkkkPAPXC即保险公司亏本的概率约为10万分之6.9，不足万分之一。（2）B等价于事件{300000-20000X≥100000}，即{X≤10}，故10250025000()(10)(0.002)(0.998)0.986305.kkkkPBPXC即保险公司每年获利不少于100000元的概率在98%以上。概率论例3对某厂的产品进行质量检查，现从一批产品中重复抽样，共取200件样品，结果发现其中有4件废品，问我们能否相信此工厂出废品的概率不超过0.005？解假设此工厂出废品的概率为0.005，一件产品要么是废品，要么不是废品，因此取200件产品来观察废品数相当于200次独立重复试验，所以200件产品中出现4件废品的概率为44196200200(4)0.0050.9950.015.PC现在小概率事件“检查200件产品出现4件废品”竟然发生了，因而有理由怀疑“废品率为0.005”这个假定的合理性，认为工厂的废品率不超过0.005的说法是不可信的。概率论例4设随机试验E中,事件A出现的概率0＜P(A)＜1，试证不断独立重复试验时，A迟早会出现的概率为1．证设Ai={A在第i次试验出现}，i=1,…,nP（Ai）=r，前n次试验中，A都不出现的概率为12()(1),nnPAAAr因此，在n次试验中，A至少出现一次的概率为)(,1)1(1)(121nrAAAPnn说明在不断独立重复试验时,A迟早会出现的概率为1，即使A是小概率事件，也迟早要发生。概率论贝努里概型是概率中研究得最多的一种数学模型，尽管比较简单，却概括了许多实际问题。在农业科学试验中应用也很广泛，如施药后害虫的死或活，植株的罹病或不罹病，育种分离世代中植株的选择等。本概型将在下一章继续研究。概率论一.独立随机试验是两个随机试验，与设21EE的各个结果相互独立，的各个结果与如果21EE．是相互独立的随机试验与则称21EE§5n重贝努里概型二.n次相互独立试验立的随机试验．为相互独，，，相互独立，则称的各个结果，，，如果随机试验nnEEEEEE2121§5n重贝努里概型返回主目录概率论三.n次相互独立试验的例子•掷n次硬币，可看作是n次独立试验；•某射手对同一目标射击n次，可看作是n次独立试验；•观察n个元件的使用寿命，可看作是n次独立试验．返回主目录§5n重贝努里概型概率论例1三门火炮向同一目标射击，设三门火炮击中目标的概率分别为0.3，0.6，0.8．若有一门火炮击中目标，目标被摧毁的概率为0.2；若两门火炮击中目标，目标被摧毁的概率为0.6；若三门火炮击中目标，目标被摧毁的概率为0.9．试求目标被摧毁的概率．解：设：B={目标被摧毁}321，，门火炮击中目标有iiAi321，，门火炮击中目标第iiCi返回主目录§5n重贝努里概型概率论由全概率公式，得niiiABPAPBP1而3213213211CCCPCCCPCCCPAP321321321CPCPCPCPCPCPCPCPCP8.04.07.02.06.07.02.04.03.0332.0返回主目录§5n重贝努里概型概率论3213213212CCCPCCCPCCCPAP321321321CPCPCPCPCPCPCPCPCP8.06.07.08.04.03.02.06.03.0468.03213CCCPAP321CPCPCP8.06.03.0144.0所以9.0144.06.0468.02.0332.0BP4768.0返回主目录§5n重贝努里概型概率论四.Bernoulli试验如果随机试验E只有两个结果，则称E为Bernoulli试验．与“失败”．，分别称为“成功”与结果记作一般地，我们将这两个AABernoulli试验的例子掷一枚硬币，只有“出现正面”与“出现反面”两种结果，因此“掷一枚硬币”可看作是一次Bernoulli试验．掷一颗骰子，有六种结果．但如果我们只关心“出现六点”与“不出现六点”这两种情况，故“掷一颗骰子”也可以看作是Bernoulli试验．返回主目录§5n重贝努里概型概率论•对同一目标进行一次射击，若只考虑“击中目标”与“未击中目标”两种情况，则“同一目标进行一次射击”是Bernoulli试验．•在某一时间间隔内观察通过某路口的汽车数，若只考虑“至少通过100辆车”与“至多通过99辆车”这两种情况，这也是Bern