5 微分方程组应用

微分方程组应用微分方程组在工程技术中的应用是非常广泛的，涉及的领域有机械、电工技术、通讯、医学等许多领域。下面给出几个例子，用以阐述关于微分方程组的实际应用及其建模思想。1、两自由度的振动问题常系数线性方程组在工程技术与科学研究中有很多应用，不少问题都归结为它的求解问题。两个自由度的振动问题。为了消除不需要的振动，常常在振动系统中设置减振器。其中1m2m1k2k1k2kcF1x2x1m2m1m2m的受力情况。是原机械部件的质量；是减振器的质量；和是两个弹簧，它们的弹性系数（或称为刚度）也分别用和是减速器表示；（假定阻力与速度成正比）的阻尼系数；是强迫力；和分别表示和距它们的平衡位置的位移。体和下面来建立这个系统的运动方程。先分别考虑物2m1k2k1m1x2m2x2k21xx2k221kxx2222212dxmkxxdt律，有方程(1)物体的受力情况假定弹簧和都满Hook定律。当物体位移时，物体同时位移这时，弹簧变形（拉长或压缩）的长度为。因此，这时弹簧的弹性力是（力的方向与位移方向相反），由牛顿第二定(2)物体的受力情况1)沿位移方向的外力：2)阻尼力：（方向与速度方向相反）；3)这时物体受到两个弹簧的作用：弹簧的弹性力；弹簧的弹性力。由牛顿第二定律，有因此，上述运动系统满足微分方程组1k11kx2k221kxx21110112212sindxdxmFwtckxkxxdtdt211112122022222212sin0dxdxmckkxkxFwtdtdtdxmkxxdt上述方程组在变换及之下，就变成了一个常系数线性非齐次方程组(4.6.1)11dxydt22dxydt11112212101112222212sindxydtdykkkcxxyFwtdtmmmdxydtdykxxdtm为了简单，只考虑无阻尼自由振动的情形，即。于是，(4.6.1)变成(4.6.2)00,0cF11112212112222212dxydtdykkkxxdtmmdxydtdykxxdtm它的特征方程为设，则(4.6.3)可写成解之，得122124212120(4.6.3)kkkkkmmmm2z12212212120kkkkkzzmmmm2122122121,2121212142kkkkkkkkzmmmmmm容易看出，，因此，可令，这时因此，方程(4.6.3)最后可写成故(4.6.3)的特征根全是纯虚根。(4.6.1)解的第一个函数可写成形如120,0zz2212,zz22122122122121212142kkkkkkkkmmmmmm2222011234sincossincosxCtCtCtCt11122sinsinxAtAt2m2k2m2k部件的运动频率。这个事实可以用来防止机器或这是两个简谐运动的叠合。每一个简谐运动的角频（即与）均与减振器的参数与有关。因此，调整与可以改变原设备与外力发生共振现象，以及减轻外力的干扰等。3、人造卫星的轨迹方程我们知道，人造卫星在最后一段时间运载火箭熄灭之后，即进入它的轨道，轨道的形状因发射角度和发射速度的不同，而分别出现椭圆、抛物线或双曲线。下面来讨论这些问题。地球与人造卫星是相互吸引的，但因二者的质量相差很大，因此，可假设地球是不动的，又因人造卫星的体积与地球相比是很小的，故可把它看作质点。为简单起见，我们不考虑太阳、月亮和其它星球的作用，并略去空气阻力。在上面的假设下，可把问题归结为：从地球表面上一点，以倾角，初速度射出一质量为的物体，如图4.5所示，求此物体运动的轨道方程。图4.5A0vm,pxyAOyyxoyyx0ttxy22mMFfxy根据万有引力定律，地球对卫星的引力大小为过发射点和地心的直线作轴，轴与发射方向所成的平面为平面，平面通过地心，取垂直于轴且过地心的直线为轴，取开始发射时间为，经过时间后，卫星位于点，下面建立和所满足的方程。其方向指向地心，其中是引力系数，，是地球质量，，是地球与卫星间的距离。如图4.6所示，这个引力在轴方向上的分力分别为f20326.68510/fkmkgsM245.9810Mkg22xy,xy卫星在轴上所获得的分加速度分别为和。由牛顿第二定律，得到卫星的运动方程为：32223222cossinxyfmMxFFxyfmMyFFxy,xy22dxdt22dydt232222232222(4.6.5)dxfmMxmdtxydyfmMymdtxy0t0v0t00,0xyR6370Rkm地球半径,xy轴上的分量分别为当时，卫星在地表面以倾角，初速度射出，所以，在时，。卫星的初速度在因此，初始条件为（4.6.6）下面利用首次积分法来求方程组(4.6.5)满足初始条件(4.6.6)的解。将方程(4.6.5)两端消去后，以乘第一个方程，以乘第二个方程。0000cos,sinttdxdyvvdtdt000000,0,cos,sinttxyRdxvdtdyvdtmyx然后相减，得因为故有对上式两边积分，得首次积分为22220dxdyyxdtdt2222ddydxdydxxyxydtdtdtdtdt1dydxxycdtdt0ddydxxydtdtdt再以乘方程组(4.6.5)中第一个方程，以乘第二个方程，然后两式相加，得由于dxdtdydt22322222dxdxdydyfMdxdyxydtdtdtdtdtdtxy2222222ddxdydxdxdydydtdtdtdtdtdtdt及从而得积分得上式另一首次积分1322222222dfMfMdxdyxydtdtdtxyxy22222ddxdydfMdtdtdtdtxy22212222dxdyfMcdtdtxy于是，原方程组(4.6.5)降为较低阶的方程组12221222(4.6.7)2dydxxycdtdtdxdyfMcdtdtxycos,sinxryrcossin4.6.8sincosdxdrdrdtdtdtdydrdrdtdtdt将它们代入(4.6.7)得作极坐标变换，，并求导两式联立消去，得212222(4.6.9)2drcdtdrdfMrcdtdtrddt21222(4.6.10)drfMccdtrrrrtrrttrrtt这就是卫星运动轨道的极坐标参数方程。若将参这里得到一个仅含有一个未知数得一阶微分方程，若由此解出，代入(4.6.9)中第一式，便可确定，由此得到数消去，便得出卫星运动轨道的极坐标方程。2212212drrfMccdcrr21rdtdc2112222111cosfMrcccfMcc利用分离变量求该方程的解得为此，由(4.6.9)的第一式求得,并代入(4.6.10)得1222221111cosfMcfMcrccc221212,1cccpefMfM11cosecrpp，则上式化为整理得令1cosprec,,pec12,,ccc0t0,02rR0000sin,costtdrdvvdtdtR知或(4.6.11)这就是所求的卫星运动轨道的极坐标方程，其中有三个任意常数(或)，它们可由初始条件(4.6.6)确定。注意到当时，因此，。且由(4.6.6)及(4.6.8)把它们代入(4.6.9)及(4.6.11)得(4.6.12)我们知道，(4.6.11)式是圆锥曲线的极坐标方程．10220cos21sincRvfMcvRpRce当时，轨道是圆；当时，轨道是椭圆；当时，轨道是抛物线；当时，轨道是双曲线．下面进一步讨论卫星发射的初速度与卫星轨道形状的关系．因为0e01e1e1e22121ccefM221221ccefM12,cc22224220022coscossin1RvRvefMfM222210coscRvpfMfM故上故将(4.6.12)式中的代入上式，并整理得(4.6.13)注意到(4.6.12)式及式可化为因此，当时，得由此得222221tanppeRR0e1,tan0pR2222200cosRvRvpRfMfM20fMvRRMf22062.76/vkms07.9/vkms07.9/vkms卫星的轨道是一个圆.即把地球半径，质量及引力常数的具体数值代入上式，并计算得即称为第一宇宙速度，此时1e2020fMvR02fMvR2011.2/vkms当时，由(4.6.13)得即所求速度是第一宇宙速度的倍，即，称为第二宇宙速度，它的轨道是抛物线。01e1e200220,fMfMvvRR1e02fMvR是双曲线（一支）。当时，因，由(4.6.13)式可知这表明，当初速度小于第二宇宙速度时，卫星轨道是一个椭圆。当时，由(4.6.13)式可得因此，当初速度大于第二宇宙速度时，它的轨道由电路和机械装置组装成的永磁体扩音器模型如图4.7所示。4、扩音器振动模型图4.7一个时变电源电压驱动着一个音圈能换器，能换器的转化系数为，通过能换器使扬声器的振动膜发生振动。由音圈组成的能换器，本质上是一个在永磁场内的自由运动。当变化的电流通过音圈时，音圈在永磁体的磁力和电流产生的磁力相互作用下进行运动。用代表能换器与扬声器相互作用力，是能换器电阻，是能换器的感应系数.EtTfRLmCkT,dxeTfTidtex'x压定律，可得的微分方程组质量为的扬声器的振动是一个具有阻尼的弹簧系统振动。阻尼系数为，弹簧的弹性系数为，能换器转化系数与有关变量间的相互关系为这里是音圈两端的电压降；是音圈位移；代表音圈的速度，由牛顿第二定律及回路电22dxdxmckxTidtdtdxdiTLRiEtdtdtdxydt(4.6.14)令，把(4.6.14)化为一阶微分方程组dxydtdykcTxyidtmmmdiTRyiEtdtLLxAxgt(4.6.15)方程组(4.6.15)的向量形式为，这里设则0100,0,0xkcTAgtxymmmEtiTRLL1,1,1,1,2,1,cosmkcTRLEtwt0100111,0012cosAgtwt矩阵的特征方程为特征根为，其相应特征向量分别为A3234201231,1,1ii1231111,1,11iiii