复合函数求导

1.2.3复合函数求导我们今后可以直接使用的基本初等函数的导数公式11.(),'()0;2.(),'();3.()sin,'()cos;4.()cos,'()sin;5.(),'()ln(0);6.(),'();17.()log,'()(0,1);ln8.nnxxxxafxcfxfxxfxnxfxxfxxfxxfxxfxafxaaafxefxefxxfxaaxa公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则且公式若1()ln,'();fxxfxx则导数的运算法则：法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的和(差),即:()()()()fxgxfxgx法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数,即:()()()()()()fxgxfxgxfxgx法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数,再除以第二个函数的平方.即:2()()()()()(()0)()()fxfxgxfxgxgxgxgx练习1、求下列函数的导数。(1)y=5(2)y=x4(3)y=x-2(4)y=2x(5)y=log3x0y34xy3ln1xy3322xxy2ln2xy练习2、求下列函数的导数。1、y=52、y=xn3、y=sinx4、y=cosx5、y=ax6、y=ex7、y=logax8、y=lnx9、y=x5+sinx-7x10、y=6x-cosx+log7x11、y=ex+lnx+9x712、y=4ex-2cosx+7sinx思考？如何求函数的导函数：2lnxy一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)).复合函数的概念如下函数由多少个函数复合而成：2ln.4)12(sin.312.22sin.122xyxyxyxy''')(),())((xuxuyyxguufyxgfy的导数间的关系为的导数和函数复合函数例4求下列函数的导数2)32()1(xy函数求导法则有的复合函数。根据复合和可以看作函数函数解：32)32()1(22xuuyxy1284)'32()'('''2xuxuuyyxux105.0)2(xey函数求导法则有的复合函数。根据复合和可以看作函数函数解：105.0)1(105.0xueyeyux105.005.005.0)'105.0()'('''xuuxuxeexeuyy))(sin()3(均为常数，其中xy函数求导法则有的复合函数。根据复合和可以看作函数函数解：xuuyxysin)sin()1()cos(cos)'()'(sin'''xuxuuyyxux小结：复合函数y=f(x)要先分解成基本初等函数y=g(u),u=h(v),v=i(x)等，再求导：y’x=y’uu’vv’x根据函数式结构或变形灵活选择基本初等函数求导公式或复合函数求导方法作业本：“基本初等函数的导数公式及导数的运算法则”例5.某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足s=-4t3+16t2.(1)此物体什么时刻在始点?(2)什么时刻它的速度为零?441t解:(1)令s=0,即1/4t4-4t3+16t2=0,所以t2(t-8)2=0,解得:t1=0,t2=8.故在t=0或t=8秒末的时刻运动物体在始点.(2)即t3-12t2+32t=0,解得:t1=0,t2=4,t3=8,,0)(,3212)(23tstttts令故在t=0,t=4和t=8秒时物体运动的速度为零.;3)()1(,14333xxxyxy解：.043),1(31,3|)1,1(1yxxyykPx即从而切线方程为处的切线的斜率为曲线在设直线m的方程为3x+y+b=0,由平行线间的距离公式得:;146,10|4|1013|)4(|2bbbb或故所求的直线m的方程为3x+y+6=0或3x+y-14=0.练习:已知曲线在点P(1,1)处的切线与直线m平行且距离等于,求直线m的方程.31xy10例6.已知曲线S1:y=x2与S2:y=-(x-2)2,若直线l与S1,S2均相切,求l的方程.解:设l与S1相切于P(x1,x12),l与S2相切于Q(x2,-(x2-2)2).对于则与S1相切于P点的切线方程为y-x12=2x1(x-x1),即y=2x1x-x12.①,2,1xyS对于与S2相切于Q点的切线方程为y+(x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即y=-2(x2-2)x+x22-4.②),2(2,2xyS因为两切线重合,.02204)2(222121222121xxxxxxxx或若x1=0,x2=2,则l为y=0;若x1=2,x2=0,则l为y=4x-4.所以所求l的方程为:y=0或y=4x-4.