复合命题及其推理

复合命题及其推理复合命题的定义：是由若干个命题通过逻辑联结词的连接而构成的命题。它通常由日常语言中的复合句来表达。复合命题的结构：由支命题和逻辑联结词组成。支命题用符号p、q、r、s表示，它们属命题变项；逻辑联结词有┐、∨、∧、→等，它们是复合命题形式中的逻辑常项。复合命题的真值：由组成复合命题的支命题的真假或真假组合所决定，所以复合命题又称为命题函项或真值函项。一、联言命题及其推理1、联言命题定义：联言命题是断定事物若干种情况同时存在的命题。结构式：p并且qp∧q（“∧”读做“合取”）真值：当且仅当每个联言支都真，联言命题为真。pqp∧q111100010000一、联言命题及其推理2、联言推理联言推理规则：⑴肯定联言命题，可肯定其一个联言支。⑵肯定每一个联言支，可肯定整个联言命题。⑶否定一个联言支，可否定包含该联言支的联言命题。联言推理有效式：⑴分解式：p∧q→pp∧q→q⑵组合式：p；q→p∧q⑶否定否定式：┐p→┐(p∧q∧r)(符号“→”表示“推出”，其左边为推理前提，右边为结论。)二、选言命题及其推理定义：选言命题是断定事物若干可能情况的命题。例如：①小王或者是大学生，或者是运动员。②小王要么是中国籍，要么是美国籍。选言命题通常由两个以上的支命题组成，其支命题叫“选言支”。“或者”、“要么”是选言联结词。根据选言命题断定的事物可能情况是否可以同时存在，选言命题分为相容选言命题和不相容选言命题。前者如例①，后者如例②。二、选言命题及其推理1、相容选言命题及其推理㈠相容选言命题定义：相容选言命题是断定事物若干种可能情况中至少有一种情况存在的选言命题。结构式：或者p，或者qp∨q（“∨”读做“析取”）真值：至少有一个选言支为真，相容选言命题为真。pqp∨q111101011000一、选言命题及其推理㈡相容选言推理相容选言推理规则：⑴否定一部分选言命题，就要肯定另一部分选言支。⑵肯定一部分选言命题，不能否定另一部分选言支。⑶肯定一个选言支，可肯定包含该选言支的选言命题。相容选言推理的有效式：⑴否定肯定式：(p∨q）∧┐q→p（p∨q）∧┐p→q⑵肯定肯定式：p→(p∨q∨r)(演绎推理中，各前提之间的逻辑关系为合取，用“∧”连接。)一、选言命题及其推理2、不相容选言命题及其推理㈠不相容选言命题定义：不相容选言命题是断定事物若干种可能情况中，有且只有一种情况存在的选言命题。结构式：要么p，要么qpq（“”读做“强析取”）真值：有且只有一个选言支为真，不相容选言命题为真。pqpq110101011000二、选言命题及其推理㈡不相容选言推理不相容选言推理规则：⑴肯定一个选言支，就要否定其余的选言支。⑵否定除一个选言支以外的其它选言支，就要肯定未被否定的那个选言支。不相容选言推理的有效式：⑴肯定否定式：(pq）∧p→┐q（pq）∧q→┐p⑵否定肯定式：(pq）∧┐p→q（pq）∧┐q→p三、假言命题及其推理定义：假言命题是断定事物情况之间具有条件关系的命题。例如：①如果下雨，那么地湿。②只有买票，才能乘车。③当且仅当三角形等边，则它等角。结构：假言命题由假言支和逻辑联结词组成。作为条件的假言支叫前件，用符号p表示；作为结果的假言支叫后件，用符号q表示。联结词决定了假言命题的种类。真值：假言命题的真值，取决于其断定的条件关系是否能成立。其条件关系可以成立，则为真；反之，则为假。三、假言命题及其推理1、充分条件假言命题及其推理定义：充分条件假言命题是断定前件存在，后件一定存在的假言命题。结构式：如果p，那么qp→q(“→”表示“蕴涵”)真值：pqp→q111100011001三、假言命题及其推理充分条件假言推理规则：①肯定前件就要肯定后件；否定后件就要否定前件。②否定前件不能否定后件；肯定后件不能肯定前件。有效式：①肯定前件式：(p→q)∧p→q②否定后件式：(p→q)∧┐q→┐p两个重要的公式:①(p→q)←→(┐p∨q)②SAP＝(x)(S(x)→P(x))三、假言命题及其推理2、必要条件假言命题及其推理定义：必要条件假言命题是断定前件不存在，后件一定不存在的假言命题。结构式：只有p，才qp←q(“←”表示“反蕴涵”)除非p，不q┐p→┐q真值：pqp←q111101010001三、假言命题及其推理必要条件假言推理规则：①否定前件就要否定后件；肯定后件就要肯定前件。②肯定前件不能肯定后件；否定后件不能否定前件。有效式：①否定前件式：(p←q)∧┐p→┐q②肯定后件式：(p←q)∧q→p充分条件与必要条件的转换:①(p→q)←→(q←p)②(p←q)←→(q→p)三、假言命题及其推理3、充分必要条件假言命题及其推理定义：充分必要条件假言命题是断定前件存在，后件一定存在；前件不存在，后件一定不存在的假言命题。结构式：当且仅当p，才qp←→q真值：pqp←→q111100010001三、假言命题及其推理充分必要条件假言推理规则：①肯定前件就要肯定后件；否定前件就要否定后件。②肯定后件就要肯定前件；否定后件就要否定前件。有效式：①肯定前件式：(p←→q)∧p→q②否定前件式：(p←→q)∧┐p→┐q③肯定后件式：(p←→q)∧q→p④否定后件式：(p←→q)∧┐q→┐p复合命题推理主要有效式：⒈联言推理组合式：p；q；→（p∧q）⒉联言推理分解式：（p∧q）→p；q⒊联言推理否定否定式：┐p→┐（p∧q）⒋相容选言推理否定肯定式：（p∨q）∧┐p→q⒌相容选言推理肯定肯定式：p→（p∨q）⒍不相容选言推理肯定否定式：（p∨q）∧p→┐q⒎不相容选言推理否定肯定式：（p∨q）∧┐p→q⒏充分条件假言推理肯定前件式：（p→q）∧p→q⒐充分条件假言推理否定后件式：（p→q）∧┐q→┐p⒑必要条件假言推理否定前件式：（p←q）∧┐p→┐q11.必要条件假言推理肯定后件式：（p←q）∧q→p（充分必要条件推理4个有效式，略）四、复合命题的负命题及其等值命题和等值推理1、联言命题的负命题及其等值命题┐（p∧q）←→（┐p∨┐q）2、相容选言命题的负命题及其等值命题┐（p∨q）←→（┐p∧┐q）（以上两等值式称为“德摩根律”，是由19世纪英国数学家、逻辑学家D.Morgan首次提出的。）3、不相容选言命题的负命题及其等值命题┐（pq）←→（p∧q）∨（┐p∧┐q）四、复合命题的负命题及其等值命题和等值推理4、充分条件假言命题的负命题及其等值命题┐（p→q）←→（p∧┐q）5、必要条件假言命题的负命题及其等值命题┐（p←q）←→（┐p∧q）6、充分必要条件假言命题负命题及其等值命题┐（p←→q）←→（p∧┐q）∨（┐p∧q）7、负命题的负命题及其等值命题┐（┐p）←→p注意：上述任一个等值式的一边去掉否定，则两边公式变为逻辑矛盾关系。这也是矛盾关系和等值关系转换的一般规律。（由此，上述7式可对应有7对矛盾式，详略）五、多重复合命题及其推理多重复合命题，是指由两种或两种以上的联结词联结支命题所构成的命题。例如：①只有小王和小张去跳舞，小李才去。②如果武松打老虎，老虎要吃他；并且，如果武松不打老虎，老虎也要吃他。多重复合命题推理，是指以多重复合命题做前提，推出一个新命题为结论的推理。结合考试应用，主要有假言连锁推理、反三段论推理和假言选言推理等。五、多重复合命题及其推理1、假言连锁推理（假言三段论）㈠充分条件假言连锁推理⑴肯定前件式⑵否定后件式p→qp→qq→rq→rr→sr→s∴p→s∴┐s→┐p五、多重复合命题及其推理㈡必要条件假言连锁推理⑴否定前件式⑵肯定后件式p←qp←qq←rq←rr←sr←s∴┐p→┐s∴s→p五、多重复合命题及其推理2、反三段论定义：反三段论是以前件为联言命题的充分条件假言命题为前提，通过否定假言命题的后件并肯定其部分前件，推出否定其另一部分前件的推理。例如：①如果你来并且他来，我的事就能办好；事情没办好并且你来了；所以，都怨他没来。②如果所有鸟会飞并且企鹅是鸟，则企鹅会飞；企鹅不会飞并且企鹅是鸟；所以，并非所有鸟会飞。反三段论推理结构：((p∧q)→r)∧(┐r∧p)→┐q((p∧q)→r)∧(┐r∧q)→┐p五、多重复合命题及其推理3、假言选言推理（二难推理）定义：假言选言推理，是以两个充分条件假言命题做大前提，并根据假言推理的规则，通过肯定两个假言的前件或否定其后件构成的选言命题，得出结论的推理。结构式：①简单构成式:((p→q)∧(r→q))∧(p∨r)→q②简单破坏式:((p→q)∧(p→r)∧(┐q∨┐r)→┐p③复杂构成式:((p→q)∧(r→s))∧(p∨r)→(q∨s)④复杂破坏式:((p→q)∧(r→s))∧(┐q∨┐s)→(┐p∨┐r)五、多重复合命题及其推理