8-7条件极值与拉格朗日乘数法

7-71求函数),(yxfz极值的一般步骤：第一步解方程组,0),(yxfx0),(yxfy求出实数解，得驻点.第二步对于每一个驻点),(00yx，求出二阶偏导数的值A、B、C.第三步定出ACB2的符号，再判定是否是极值.回顾：求极值的一般步骤7-72则可按如下方法求最值：将函数在区域D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.回顾：多元函数的最值的求法设函数在有界闭区域D上连续，在D内可微且只有有限个驻点。7-737.7条件极值与拉格朗日乘数法实例：求表面积为S(固定)、体积最大的长方体的体积(,,)Vxyzxyz222xyyzzxS限制条件求极值条件极值：对自变量有附加条件的极值．7-74求条件极值的方法1.转化为无条件极值问题.2.利用拉格朗日乘数法.7-75要找函数),(yxfz在条件0),(yx下的可能极值点，1.先构造函数),(),(),(yxyxfyxF，其中为拉格朗日乘数.2.由.0),(,0),(),(,0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx解出,,yx，其中(yx,)就是可能的极值点的坐标.拉格朗日乘数法7-76拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况：要找函数),,,(tzyxfu在条件0),,,(tzyx，0),,,(tzyx下的极值，先构造函数),,,(),,,(tzyxftzyxF),,,(),,,(21tzyxtzyx其中21,均为拉格朗日乘数，可由偏导数为零及约束条件解出tzyx,,,，即得可能的极值点的坐标.更一般的情形7-77将正数12分成三个正数zyx,,之和使得zyxu23为最大.解令)12(),,(23zyxzyxzyxF,120020323322zyxyxFyzxFzyxFzyx解得唯一驻点)2,4,6(，.691224623maxu则故最大值为根据具体情况从实际问题的物理、几何、经济意义可以判断是否为最值例题17-78在区域22{(,)|50}xyxy上,求122yxyxz的最大值和最小值.,0)1()(2)1(22222yxyxxyxzx,0)1()(2)1(22222yxyxyyxzy得驻点)21,21(和)21,21(,解由,21)21,21(z,21)21,21(z例题27-79在边界上22{(,)|50}xyxy122yxyxzz(5,5)=10/51z(-5,-5)=-10/51最大值为21，最小值为21.比较可知101011515052例题2续利用拉格朗日乘数法得可能的最值点为（5，5）以及（－5，－5）：7-712小结求条件极值的方法:1.转化为无条件极值.2.利用拉格朗日乘数法.注意要正确地写出目标函数和约束条件.7-713思考题若),(0yxf及),(0yxf在),(00yx点均取得极值，则),(yxf在点),(00yx是否也取得极值？思考题7-714思考题解答不是.例如22),(yxyxf,当0x时，2),0(yyf在)0,0(取极大值;当0y时，2)0,(xxf在)0,0(取极小值;但22),(yxyxf在)0,0(不取极值.思考题解答