第七章 解析几何与微分几何 SECTION5

§5二次曲线一、圆[圆的方程、圆心与半径]方程与图形圆心与半径x2+y2=R2或tRytRxsincos(参数方程，t为动径OM与x轴正方向的夹角)圆心G(0,0)半径r=R(xa)2+(yb)2=R2或tRbytRaxsincos(参数方程，t为动径OM与x轴正方向的夹角)圆心G(a,b)半径r=Rx2+y2+2mx+2ny+q=0m2+n2q2+2(mcost+nsint)+q=0(极坐标方程)圆心G(-m,n)半径qnmr22220cos(0)+02=R2(极坐标方程)圆心G(0,0)半径r=Rx2+y2=2Rx或=2Rcos(极坐标方程)圆心G(R,0)半径r=Rx2+y2=2Ry或=2Rsin(极坐标方程)圆心G(0,R)半径r=R[圆的切线]圆x2+y2=R2上一点M(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y=R2圆x2+y2+2mx+2ny+q=0上一点M(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y+m(x+x0)+n(y+y0)+q=0[两个圆的交角、圆束与根轴]方程与图形公式与说明两个圆的交角C1x2+y2+2m1x+2n1y+q1=0C2x2+y2+2m2x+2n2y+q2=0两个圆的交角是指它们在交点的两条切线的夹角2222212121212121222cosqnmqnmqqnnmm式中表示两个圆C1和C2的交角，因为公式中不包含交点的坐标，所以在两交点的两交角必相等.两个圆C1和C2正交条件为2m1m2+2n1n2-q1-q2=0圆束两个圆的根轴CC1+C2=0(为参数)或(+1)(x2+y2)+2(m1+m2)x+2(n1+n2)y+(q1+q2)=0根轴方程为2(m1-m2)x+2(n1-n2)y+(q1-q2)=0对(-1)的一个确定值，C表示一个圆.当取一切值(-1)时，C所表示的圆的全体，称为圆束.=-1时，为一直线，称为两个圆C1和C2的根轴.根轴与C1和C2的连心线垂直，束中任一圆C的圆心在C1和C2的连心线上，且分连心线的比等于.(a)如果C1和C2相交于两点M1，M2，则束中一切圆都通过两交点M1，M2，它们的根轴就是它们的公共弦.这时圆束称为共轴圆系(图(a)).(b)如果C1和C2切于一点M，则束中一切圆都在一点M相切，根轴就是在点M的公切线(图(b)).(c)如果C1和C2不相交，则束中一切圆都不相交，根轴也与圆束中一切圆都不相交(图(c)).从点P作两个圆C1和C2的切线，具有相等切线长的点P的轨迹就是根轴.两个同心圆的根轴是从公共圆心到无穷远处的直线.三个圆中每对圆的根轴(共三个)交于一点，它称为根心.若三个圆心共线，则其根心在无穷远处.[反演]设C为一定圆，O为圆心，r为半径(图7.1)，对平面上任一点M，有一点M与它对应.使得满足下列两个条件：（i）O,M,M共线，（ii）OMOM=r2，这种点M称为点M关于定圆C的反演点，C称为反演圆，O称为反演中心，r称为反演半径.由于M和M的关系是对称的，所以M也是M的反演点.因r20，所以M和M都在O的同侧.M和M之间的对应称为关于定圆C的反演.取O为原点，则一切反演点M(x,y)和Mx,y)的对应方程为222222,yxyryyxxrx反演具有性质：1不通过反演中心的一条直线变为通过反演中心的一个圆.2通过反演中心的圆变为不通过反演中心的直线.3通过反演中心的一条直线变为它自己.4不通过反演中心的圆变为不通过反演中心的圆.5反演圆变为它自己.6与反演圆正交的圆变为它自己，其逆也真.7如果两条曲线C1，C2交于一点M，则经过反演后的曲线C1,C2必交于M的反演点M.8如果两条曲线C1,C2在一点M相切，则经过反演后的曲线C1,C2必在M的反演点M相切.9两条曲线的交角在反演下是不变的.由此可见，反演是一个保角变换.二、椭圆1．椭圆的基本元素主轴(对称轴))0(22babCDaAB轴短轴长顶点A,B,C,D椭圆中心G焦点F1,F2焦距2221,2baccFF离心率1ace压缩系数2221,eab焦点参数abp2(等于过焦点且垂直于长轴的弦长之半，即F1H)焦点半径r1,r2(椭圆上一点(x,y)到焦点的距离)r1=a-ex，r2=a+ex直径PQ(通过椭圆中心的弦)图7.2共轭直径二直径斜率为kk,，且满足22abkk图7.1准线L1和L2(平行于短轴，到短轴的距离为ea)2．椭圆的方程、顶点、中心与焦点方程与图形顶点·中心·焦点12222byax(标准方程)或tbytaxsincos(参数方程，t为与M点对应的同心圆(半径为a,b)的半径与x轴正方向的夹角)顶点A,B(a,0)C,D(0,b)中心G(0,0)焦点F1,F2(c,0)22bac1)()(2222bhyagx或tbhytagxsincos(t同上)顶点A,B(ga,h)C,D(g,hb)中心G(g,h)焦点F1,F2(gc,h)22bac)0(12222baaybx顶点A,B(0,a)C,D(b,0)中心G(0,0)焦点F1,F2(0,c)22baccos1ep，e1(极坐标方程，极点位于椭圆一焦点上，极轴为从焦点指向最近一个顶点的射线，为极角，p,e如前述)长轴2122epa短轴2122epb焦距2122epec3．椭圆的性质1椭圆是到两定点(即焦点)的距离之和为常数(即长轴)的动点M的轨迹(r1+r2=2a).2椭圆也是到一定点(即焦点之一)的距离与到一定直线(即一准线L)的距离之比为小于1的常数(即离心率)的动点M的轨迹(MF1/ME1=MF2/ME2=e).3椭圆是将半径为a的圆沿y轴方向按比ab(即压缩系数)压缩而得到.4椭圆上一点M(x0,y0)的切线(MT)方程为12020byyaxx切线把点M的两焦点半径间的外角(即∠F1MH)平分(即=,02tantancyb),M点的法线MN把内角(即∠F1MF2)平分(图7.3).如果椭圆的切线(MT)的斜率为k,则其方程为222bakkxy式中正负号表示直径两端点的两切线.5椭圆的任一直径把平行于其共轭直径的弦平分(图7.4)如果两共轭直径的长分别为2a1和2b1,两直径与长轴的夹角(锐角)分别为和,则a1b1sin(+)=aba12+b12=a2+b26椭圆上任一点M的焦点半径之积等于它的对应半共轭直径的平方.7设MM,NN为椭圆的两共轭直径,通过M,M分别作直线平行于NN;又通过N,N分别作直线平行于MM,则这四条直线构成的平行四边形的面积为一常数4ab(图7.5).4.椭圆各量计算公式12222byax图7.3图7.4图7.5椭圆各量计算公式[曲率半径]R3232123424222sin)(pabrrbyaxbaR式中r1,r2为焦点半径,p为焦点参数,为点M(x,y)的焦点半径与切线的夹角.特别,顶点的曲率半径abpRRBA2,baRRDC2[弧长]=2arcsin22arccos022dsin1dcos1axaxtteattea式中e为离心率[周长]L20222,4sin14eaEdtteaL式中,56425313423121122,624222eeeeE设baba,则16384252566441)(8642baLabbaL)(5.1或241664364)(baL[面积]S扇形(OAM)面积axabSOAMarccos21弓形(MAN)面积xyaxabSMANarccos椭圆面积S=ab[几何重心]G椭圆形G与O重合半椭圆形bGO34(a,b为椭圆的半轴长)[转动惯量]J椭圆的转轴通过b轴maJ42式中m为质量三、双曲线1．双曲线的基本元素主轴(对称轴))0(2)0(2bbCDaaAB轴虚轴实顶点A,B中心G焦点F1,F2焦距F1F2=2c,22bac离心率1ace焦点参数abp2(等于过焦点且垂直于实轴的弦长之半,即F1H)焦点半径r1,r2(双曲线上一点(x,y)到焦点的距离,即MF1,MF2)r1=(exa),r2=(ex+a)直径PQ(通过中心的弦)共轭直径二直径斜率为k,k,且满足22abkk准线L1和L2(垂直于实轴,到中心的距离为ea)2．双曲线的方程、顶点、中心、焦点与渐进线方程与图形顶点·中心·焦点·渐近线12222byax(标准方程)或tbytaxshch(参数方程)或tbytaxtansec顶点A,B(a,0)中心G(0,0)焦点F1,F2(c,0)22bac渐近线xaby12222byax(与12222byax成共轭双曲线)顶点),0(,bDC中心)0,0(G焦点),0(,21cFF22bac渐近线xaby1)()(2222bhyagx顶点),(,hagBA中心),(hgG焦点),(,21hcgFF渐近线hgxaby)(图7.6方程与图形顶点·中心·焦点·渐近线1,cos1eep(极坐标方程.极点位于一焦点上，极轴为从焦点背向顶点的射线，p,e如前述.由此方程只能确定一支，另一支可由对称性而得到)实轴1222epa虚轴1222epb焦距1222epecxky(等轴双曲线)顶点),(,kkBA中心)0,0(G焦点)2,2(,21kkFF(当k0时取同号，k0时取异号)轴长kAB22渐近线0,0yxdcxbaxy(等轴双曲线)dcbaD顶点cDacDdBA,(,(当D0时取同号，D0时取异号)中心cacdG,轴长cDAB22渐近线caycdx,3.双曲线的性质1双曲线是到两定点(焦点)的距离之差为常数(等于实轴2a)的动点M的轨迹(使arr221的各点属于双曲线的一支，而使arr221的各点属于其另一支).2双曲线也是到一定点(焦点之一)的距离与到一定直线(准线L1)的距离之比为大于1的常数(即离心率)的动点M的轨迹(eMEMFMEMF2211//).3双曲线上一点M),(00yx的切线(MT)的方程为12020byyaxx它把M点两焦点半径间的内角(即21MFF)平分(即02tantan,cyb)，而M点的法线MN把外角(即MHF1)平分(图7.7).如果双曲线的切线的斜率为k，则其切线的方程为222bakkxy式中正负号表示在直径两端点的两切线.4两条渐近线xaby之间的切线线段TT1被切点M平分(TM=MT1)，且OTT1的面积abSOTT1，平行四边形OJMI的面积(图7.8的阴影部分)2abSOJMI5双曲线的任一直径把平行于共轭直径的弦平分(图7.9)如果两共轭直径的长分别为2a1,2b1,两直径与实轴夹角(锐角)分别为和()，则22212111)sin(babaabba6双曲线上任一点M的焦点半径之积等于它的对应半共轭直径的平方.7设MM,NN为双曲线的两共轭直径，通过M,M分别作直线平行于NN；又通过N,N分别作直线平行于MM，则这四条直线构成的平行四边形的面积为一常数4ab(图7.10).4．双曲线各量计算公式12222byax双曲线各量计算公式[曲率半径]R3232123424222sin)(pabrr