第七章 解析几何与微分几何 SECTION8

§8重要平面曲线表[三次曲线]方程与图形特征2xcxbay)4(122acbcbxaxy(a0,b0,Δ0)(a0,b0,Δ=0)(a)(b)这些曲线都是关于直线abx2对称的曲线由两支组成渐近线y=a与x=0曲线与y=a的交点abcA,曲线与x轴的交点0,24,2aacbbCB极值点cbabcD4,22拐点cbabcE92,32(a)不连续点abx2极大点aabA4,2渐近线abxy20与（b）不连续点abx2渐近线abxy20与（c）极大点aabA4,2拐点aaabCB3,322,在这两点的斜率分别为2323a渐近线y=0方程与图形特征)4(22acbcbxaxxy[注],为方程02cbxax的两个根，并设（a）不连续点x=，x=渐近线y=0和x=，x=（b）不连续点x=，x=极大点acbacA2,极小点acbacB2,拐点C渐近线y=0和x=，x=(c)不连续点x=，x=极大点acbacA2,极小点acbacB2,拐点C渐近线y=0和x=，x=（d）不连续点abx2极大点acbacA21,拐点C渐近线y=0和abx2（e）不连续点abx2极小点acbacA21,拐点C渐近线y=0和abx2（f）极大点acbacA2,极小点acbacB2,拐点C,D,E三点渐近线y=0上述三次曲线的图形，只列出a0的情况，对于a0时，除曲线2xcxbay（当a0时渐近线在x轴上方，当a0时，渐近线在x轴下方）外，一般作适当变化后，与a0时的曲线都是关于x轴对称的.例如a0时，两条曲线：cbxaxy21与cbxaxy21是关于x轴对称的，而后者x2系数0a.[抛物型曲线]方程与图形特征的整数）为大于3(1110naxaxaxaynnnn立方抛物线）()3,0(323acbadcxbxaxy的整数）为大于1(naxyn(a)00a，n为偶数：y由变到极值点奇数个（1～n1）拐点偶数个（0～n2）(b)00a，n为奇数y由变到极值点偶数个（0～n1）拐点奇数个（1～n2）曲线与x轴的交点A1,A2,A3(或一个交点A1)为方程023dcxbxax的实根与y轴的交点),0(dB极值点)0(时C,Ddaabcbab23327292,3（C取正号，D取负号）拐点daabcbabE232792,3它是曲线的对称中心，该点的切线斜率为a3方程与图形特征(a)(b)(a)0a，n为偶数：顶点（同极值点）O(0,0)曲线关于y轴对称(b)0a，n为奇数：拐点O(0,0)曲线关于原点对称nmaxy（m,n为两个互素的整数）)0aaxynm的各种情况（曲线n为偶数m奇数n为奇数m偶数n为奇数m奇数相切情况mnmn对称情况关于x轴对称关于y轴对称关于原点对称在原点处与x轴相切在原点处与y轴相切方程与图形特征[双曲型曲线]为正整数）naxyn((a)n为偶数：不连续点O（0,0）渐近线y=0与x=0曲线关于y轴对称(b)n为奇数：曲线关于原点对称为两个互素的正整数）nmaxynm,([半立方抛物线]3223atytxaxy或[箕舌线]taytaxaxay2223costan或[笛卡儿叶形线]axyyx333或)tan(1313323ttatytatx(a)0a，n为偶数，m为奇数：不连续点O（0,0）渐近线y=0与x=0曲线关于x对称(b)0a，n为奇数，m为偶数：曲线关于y对称(c)0a，n为奇数，m为奇数：曲线关于原点对称尖点)0,0(O在该点与x轴相切曲率半径axaxR6)94(232弧长]8)94[2712322xaa极大点),0(aA，在该点的曲率半径为2a拐点aaCB43,3,，在这两点的切线斜率分别为833渐近线0y曲线与渐近线之间的面积2aS结点)0,0(O，在该点与x轴和y轴相切，曲率半径为23a顶点23,23aaA渐近线0ayx圈套所围成的面积2321aS曲线与渐近线之间的面积2322aS[蔓叶线]xaxy32或)tan(112322ttatytatx或cossin2a[环索线]xaxaxy22或)tan(11112222tttatyttax或cos2cosa[尼哥米德蚌线]22222)()(xbyxax或tbtaytbaxsintancos或)0(cosbba（外支线取正曲线是使PQOM的点M的轨迹（P是直径为a的母圆与OQ的交点）尖点)0,0(O，在该点曲线与x轴相切渐近线ax曲线与渐近线之间的面积243aS曲线是使PM1=PM2=OP的点M1,M2的轨迹（P为y轴上一点，M1,M2在过A,P两点的射线上）顶点A(a,0)结点O(0,0)渐近线x=a圈套所围成的面积22122aaS曲线与渐近线之间的面积22222aaS曲线是使OM1=OP+b,OM2=OPb的点M1,M2的轨迹(分别称为外支线(右)和内支线(左))外支线顶点A(a+b,0)拐点B,C，它们的横坐标等于方程x3–3a2x+2a(a2–b2)=0的最大根号，内支线取负号）内支线顶点D(ab,0)拐点（ab时）E,F，它们的横坐标等于方程x3–3a2x+2a(a2–b2)=0的第二个正根尖点（a=b时）O(0,0)结点（ab时）O(0,0)内外支线的渐近线x=a[帕斯卡蜗线])()(222222yxbaxyx或tbttaytbtaxsinsincoscoscos2或）为圆的直径aba(cos曲线是使OM=OPb的点M的轨迹（P点在直径为a的圆周上）顶点Ak,Bk(ab,0)(k=1,2,3,4,5)，B2与原点重合结点（ba时）O(0,0)，在该点的切线的斜率为bba22，该点的曲率半径为2221ba尖点（b=a时）O(0,0)孤立点（ba时）O(0,0)极值点当ba时有4个，当ba时有2个：)5,4,3,2,1(48cos,,2211kaabbDCDCkk和当b从0变到时，所有极值点构成蔓叶线cossin2a拐点（ab2a时）abbaFE32cos,22二重切线的切点（b2a时）：)3,2(44,4,222kabababHGkk这些切点在圆=acos上蜗线所围成的面积222baS（当ba时，内圆的面积计算了两次）[注]当b=a时，即为心脏线.[卡西尼卵形线]44222222)(2)(cayxcyx或)0(2sin2cos24422ccac曲线是使MF1MF2=a2的点M的轨迹（F1,F2为固定焦点，F1F2=2c，a为常数）.顶点)0,(,2211acBA)5,4,3,2,1()0,(,22kcaBAkk极值点)5,4,3(),0(,22kcaCCkk)3,2,1(2,24,,,244kcacacHGHGkkkk或222sin,cac当a从0变到2c时，所有极值点构成一个圆（半径为c）拐点)2(时cac)4,3,2,1(2,2knmnmEk其中244443,3ccancam或22cos,cmm当a从c变到2c时，所有拐点构成双纽线[注]当a=c时，即为双纽线.[心脏线]2222222)(2)(yayxaxyx或)cos1(sin)cos1(costtayttax或)cos1(a[双纽线]0)(2)(222222yxayx或2cos222a[普通旋轮线（摆线）]为圆周半径）atayttax()cos1()sin(或ayaayayxarccos)2(（i）它是使OM=OPa的点M的轨迹（a为圆的直径，P为圆周上的一点）（ii）它是圆外旋轮线的特例（动圆与定圆的直径相等）尖点O(0,0)顶点A(2a,0)极值点aaDC433,43,二重切线的切点aaFE43,4,曲线长L=8a面积223aS（i）它是使MF1MF2=a2的点M的轨迹（OF1=a）（ii）它是使OM=PQ的点M的轨迹（P,Q在圆心为F1，半径为a22的圆周上）结点（同拐点）O(0,0)，在该点的切线的斜率为1顶点)0,2(,aBA极值点223,,,,aaDCDC，即曲率半径322aR双纽面积S=2a2曲线是一圆周沿x轴滚动而无滑动时，圆周上一点M所描成的轨迹（圆的半径为a）周期T=2a极值点),2,1()2,)12((kaakAk曲率半径2sin4taR渐屈线为一旋轮线（图中虚线）拱长aLOAO811面积2311aSOOAO[长（或短）辐旋轮线（次摆线）]为圆周半径）atayttax()cos1()sin(长轴(λ1)短轴(λ1)[圆外旋轮线（外摆线）]tbbabtbaytbbabtbaxsinsin)(coscos)(（a为定圆的半径，b为动圆的半径，t=COx）曲线是一圆周沿x轴滚动而无滑动对，圆外一点M（或圆内一点N）所描成的轨迹（圆的半径为a）周期T=2a结点))1(,2()1(202taakDk时最小正根）的是方程式中tttksin,,2,1,0(0拐点),3,2,1())1(),1(Arccos122kaEk时）（极大值点))1(,)12((aakAk极小值点))1(,2(aakBk曲率半径)(cos)cos21(232ttaR对应于极值点（1时）处的曲率半径为22)1(,)1(aRaRkkBA曲线是一圆周沿另一圆周外部滚动而无滑动时，圆周上一点M所描成的轨迹，曲线的形状由bam的值而定（i）当m=1时，曲线是心脏线（ii）当m为整数时，曲线由m支组成，动点M描完m支后（即动圆绕定圆一周），返回起始位置（iii）当m为分数（hgm，g,h为互素的整数）时，曲线由g支组成，动点M描完g支后（即动圆绕定圆h周），返回起始位置（iv）当m为无理数时，有无穷多的分支，动点M不能返回起始位置尖点))1(2,(mkaAk顶点212,2kmbaBk（式中k为整数，当m为整数时，mk1；当hgm时，gk1；当m为无理数时，k1）曲线长（一支）mbaLABA)(8211⌒曲率半径bababaaR2sin2)(4扇形A1B1A2A1的面积（不包括定圆的面积）)23(2baabS[圆内旋轮线（内摆线）]tbbabtbaytbbabtbaxsinsin)(coscos)(（a为定圆半径，b为动圆半径，t=COx）曲线是一圆周沿另一圆周的内部滚动而无滑动时，圆周上一点M所描成的轨迹.