零指数幂与负整数指数幂

零指数幂与负整数指数幂(1)知识技能目标1.使学生理解a0的意义，并掌握a0＝1(a≠0)；2.使学生理解a-n（n是正整数）的意义，并掌握a-n＝na1（a≠0，n是正整数）；3.使学生理解并掌握幂的运算律对于整数指数都成立，并会正确运用．过程性目标1.使学生理解引进a0、a-n（n是正整数）规定的必要性，体会到数学的严密性和逻辑性；2.使学生在复习正整数指数幂的运算律时，体会到它对0指数幂、负整数整数指数幂的运算也适用，能把运算律一起记住，并会正确运用．情感态度目标简洁的内容，在形式上尽可能做到活泼，从而培养学生之间的感情，有利于形成和发展学生的数学观念和思维方式．重点和难点重点：幂与负整数指数幂；难点：幂与负整数指数幂的有意义的条件．教学过程一、创设情境问题1在§21.1中介绍同底数幂的除法公式am÷an＝am-n时，有一个附加条件：m＞n，即被除数的指数大于除数的指数．当被除数的指数不大于除数的指数，即m＝n或m＞n时，情况怎样呢？二、探究归纳先考察被除数的指数等于除数的指数的情况．例如考察下列算式：52÷52，103÷103，a5÷a5(a≠0)．一方面，如果仿照同底数幂的除法公式来计算，得52÷52＝52-2＝50，103÷103＝103-3＝100，a5÷a5＝a5-5＝a0(a≠0)．另一方面，由于这几个式子的被除式等于除式，由除法的意义可知，所得的商都等于1．概括由此启发，我们规定：50＝1，100＝1，a0＝1(a≠0)．这就是说：任何不等于零的数的零次幂都等于1．注零的零次幂没有意义．我们再来考察被除数的指数小于除数的指数的情况，例如考察下列算式：52÷55，103÷107．一方面，如果照同底数幂的除法公式来计算，得52÷55＝52-5＝5-3，103÷107＝103-7＝10-4．另一方面，我们可利用约分，直接算出这两个式子的结果为33225252515555555，4433737310110101010101010．概括由此启发，我们规定33515，4410110．一般地，我们规定nnaa1（a≠0，n是正整数）．这就是说，任何不等于零的数的-n（n是正整数）次幂，等于这个数的n次幂的倒数．三、实践应用1.判断正误：(1)a6÷a2＝a3；(2)(-a)3÷(-a)2＝a；(3)a6÷a2＝a4；(4)a3÷a＝a4；(5)(-c)4＋c2＝-c2；(6)(-c)4÷(-c)2＝c2；(7)a5÷a4＝0；(8)54÷54＝0；(9)x3n÷xn＝x2n；(10)x3n÷xn＝x3．（答案：3，6，9正确，其余错误．）2.在括号内填写各式成立的条件：(1)x0＝1；()(2)(x-3)0＝1；()(3)(a-b)0＝1；()(4)a3·a0＝a3；()(5)(an)0＝an·0；()(6)(a2-b2)0＝1．()（答案：x≠0；x≠3；a≠b；a≠0；a≠0；a2≠b2或|a|≠|b|．）例1计算：(1)810÷810；(2)10-2；(3)101031．例2用小数表示下列各数：(1)10-4；(2)2.1×10-5．现在，我们已经引进了零指数幂和负整数指数幂，指数的范围已经扩大到了全体整数．那么，在§14.1“幂的运算”中所学的幂的性质是否成立呢？与同学们讨论交流一下，判断下列式子是否成立：(1)a2·a-3＝a2+(-3)；(2)(a·b)-3＝a-3·b-3；(3)(a-3)2＝a-3×2．分析(1)一方面，aaaaa13232，另一方面，a2+(-3)＝a-1，由刚才所学公式知aa11，所以可得a2·a-3＝a2+(-3)；(2)一方面，33331)(1)(bababa，另一方面，333311baba，所以可得(a·b)-3＝a-3·b-3；(3)一方面，6232311)(aaa，另一方面，66231aaa，所以可得(a-3)2＝a-3×2．概括当a、b都不等于0时，下列运算律成立：(1)同底数幂的乘、除法am·an＝am+n（m，n都是整数）；am÷an＝am-n（m，n都是整数）；(2)幂的乘方(am)n＝amn（m，n都是整数）；(3)积的乘方(ab)n＝anbn（n是整数）．例3计算下列各式，并且把结果化为只含有正整数指数幂的形式：(1)(x-5y2z-1)2；(2)(a2b-2)-1(a3b－4)3．四、交流反思1.进行有关0次幂和负整数幂的运算要注意底数一定不能为0，特别是当底数是代数式时，要使底数的整体不能为0；2.在正整数幂的基础上，我们又学习了零次幂和负整数幂的概念，使指数概念推广到整数的范围；3.对0指数幂、负整数指数幂的规定的合理性有充分理解，才能明了正整数指数幂的运算性质对整数指数幂都是适用的．五、检测反馈1．计算：(1)(-0.1)0；(2)020031；(3)2-2；(4)221．2.计算：(1)510÷254；(2)(-117)0；(3)4-2；(4)241．3.计算下列各式，并且把结果化为只含有正整数指数幂的形式：(1)(x-3yz-2)2；(2)(a3b-1)-2(a-2b2)2；(3)(2m2n-3)3(-mn-2)-2．