抛物线的简单几何性质公开课

前面我们已学过椭圆与双曲线的几何性质,它们都是通过标准方程的形式研究的,现在请大家想想抛物线的标准方程、图形、焦点及准线是什么?一、复习回顾：图形方程焦点准线lFyxOlFyxOlFyxOlFyxO2px2px2py2py)0,2(pF)0,2(pF)2,0(pF)2,0(pFy2=2px（p0）y2=-2px（p0）x2=2py（p0）x2=-2py（p0）二、练习：填空（顶点在原点，焦点在坐标轴上）方程焦点准线开口方向xy62yx420722yx)0,(23F)0,1(F)1,0(F),0(87F23x1x1y87yxy42开口向右开口向左开口向上开口向下1、范围yox)0,2(pFP(x,y)一、抛物线的几何性质由抛物线y2=2px（p0）220pxy而0p0x所以抛物线的范围为0x2、对称性yox)0,2(pFP(x,y)抛物线y2=2px（p0）关于x轴对称.pyxpyxpxy222222x轴y轴y轴注：焦点在对称轴上定义：抛物线和它的轴的交点称为抛物线的顶点。由y2=2px（p0）当y=0时,x=0,因此抛物线的顶点就是坐标原点（0，0）。注:这与椭圆有四个顶点,双曲线有两个顶点不同。３、顶点yox)0,2(pFP(x,y)4、离心率yox)0,2(pFP(x,y)抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义，可知e=1。下面请大家得出其余三种标准方程抛物线的几何性质。（二）归纳：抛物线的几何性质图形方程焦点准线范围顶点对称轴elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2=2px（p0）y2=-2px（p0）x2=2py（p0）x2=-2py（p0）)0,2(pF)0,2(pF)2,0(pF)2,0(pF2px2px2py2pyx≥0y∈Rx≤0y∈Ry≥0x∈Ry≤0x∈R(0,0)x轴y轴1特点：1.抛物线只位于半个坐标平面内2.抛物线只有1条对称轴,没有对称中心;3.抛物线只有1个顶点、1个焦点、1条准线;4.抛物线的离心率是确定的,为1;yox)0,2(pFP(x,y)例１：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（２，），求抛物线的标准方程。例题22课堂练习：求适合下列条件的抛物线的方程1、顶点在原点，焦点F为（0，5）;2、顶点在原点，关于x轴对称,并且经过点M(-5,4).3、若抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，过点P(2,2)；20xy2165yx2222yxyx2或2.若抛物线的焦点在直线x－2y－4＝0上，求抛物线的标准方程。解析：由x＝0，y＝－2，由y＝0，x＝4即(0，－2)或(4,0)为抛物线的焦点∴抛物线方程为y2＝16x或x2＝－8y.答案：y2＝16x或x2＝－8y1lyx直线的方程为：2216104yxxxyx解法1抛物线的焦点F(1,0),1212322322222222xxyy或221212AB=(x-x)+(y-y)=8例2.斜率为1的直线l经过抛物线24yx的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.1lyx的方程为：2216104yxxxyx解法2:抛物线的焦点F(1,0),1212x+x=6,xx=1|AB|=|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|=(x1+1)+(x2+1)=x1+x2+2=812345678-1-2123456xyOABFA1B1例2.斜率为1的直线l经过抛物线24yx的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.（二）焦点弦：通过焦点的直线，与抛物线相交于两点，连接两点的线段叫做抛物线的焦点弦。12ABxxpxOyFA),(11yxB),(22yx特别的，过焦点而垂直于对称轴的弦AB，称为抛物线的通径。|AB|=2p焦点弦公式：（一）焦半径：连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。焦半径公式：12pAFx（一）本节课我们学习了抛物线的几个简单几何性质：范围、对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义。（二）了解了抛物线的焦半径，焦点弦和通径（三）我们运用了数形结合，待定系数法来求解抛物线方程，在解题过程中，准确体现了函数与方程以及分类讨论的数学思想。四、归纳总结作业：28yx22xy24yx1、抛物线上的点M横坐标为4，求点M与抛物线的焦点的距离2、上的点M纵坐标为2，求点M与抛物线的焦点的距离3、抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，过焦点且与y轴垂直的弦长为8，求抛物线方程4、抛物线的焦点为F,斜率为2的直线过抛物线的焦点,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.