出入相补原理

出入相补原理作者：吴文俊我国古代几何学不仅有悠久的历史，丰富的内容，重大的成就，而且有一个具有我国自己的独特风格的体系，和西方的欧几里得体系不同。这一几何体系的全貌还有待于发掘清理，本文仅就出入相补原理这一局部方面，就所知提出几点，主要根据是流传至今的以下各经典著作：《周髀算经》（简称《周髀》），《九章算术》（简称《九章》），刘徽《九章算术注》（简称《刘注》），《海岛算经》（简称《海岛》），赵爽《日高图说》和《勾股圆方图说》（简称《日高说》和《勾股说》）。田亩丈量和天文观测是我国几何学的主要起源，这和外国没有什么不同，二者导出面积问题和勾股测量问题。稍后的计算容器容积、土建工程又导出体积问题。我国古代几何学的特色之一是，依据这些方面的经验成果，总结提高成一个简单明白、看起来似乎极不足道的一般原理──出入相补原理，并且把它应用到形形色色多种多样的不同问题上去。以下将列举这些不同的应用。简单应用和比例理论所谓出入相补原理，用现代语言来说，就是指这样的明显事实：一个平面图形从一处移置他处，面积不变。又若把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积，因而图形移置前后诸面积间的和、差有简单的相等关系。立体的情形也是这样。应用这一原理，容易得出三角形面积等于高底相乘积的一半这一通常的公式，由此以定任意多角形的面积。作为另一简单实例，可以观察左图，如果看作把△ACD移置△ACB处，又把Ⅰ、Ⅱ各移到Ⅰ＇、Ⅱ＇，那么依出入相补原理有：Ⅲ＝Ⅲ＇，□PC＝□RC，……（指面积相等）由此得PO×OS＝RO×OQ，PO×QC＝RB×BC，……而PO＝AR，OS＝QC，PQ＝AB，RB＝OQ，……因而AR∶OQ＝RO∶QC，AB∶OQ＝BC∶QC，……就是相似勾股形ARO和OQC、ABC和OQC的相应勾股成比例。并且可以导出其他相应部分的比例关系。以上这些极简单的结果虽然没有在《九章》中明白说出，但是曾经多处用这些关系来解决各种具体问题，参看《刘注》。测望术和重差理论在《周髀》中，就有用两表测日影以求日高的方法，计算的公式是：见上图，其中A是日，BI是地平面，ED、GF是先后两表，DH和FI是日影。《海岛》改测日高为测海岛的高，同图AB是海岛，H、I是人目望岛顶和两表上端相参合的地方，于是日高公式成为：刘徽证明和所用的图都已经失传，但是据现存《日高说》和残图以及其他佐证，原证当大致如下：由出入相补原理，得□JG＝□GB，（1）□KE＝□EB，（2）相减得□JG－□KE＝□GD，所以（FI－DH）×AC＝ED×DF，即表目距的差×（岛高－表高）＝表高×表距。这就得到上述公式。按《海岛》共九题都属测望之类，所得公式分母上都有两测的差，“重差”这一名称可能由此而来。其余八题公式都可依出入相补原理用和上面类似的方法证明，现在从略。元朱世杰《四元玉鉴》中有和《海岛》完全类似的几个题，朱世杰对这些题的解法应该有古代相传下来的一定来历。依据朱对海岛一题的解法，我们认为原证比上面所示的可能稍复杂一些。如下图，现在重作证明如下：由出入相补原理，除（1）、（2）外又有□PG＝□GD，（3）由（1）、（2）、（3）得□JN＝□EB＝□KE，所以MI＝DH，（4）FM＝FI－MI＝FI－DH＝表目距的差。由（3）式就得到海岛公式。如果依照欧几里得几何体系的习惯证法，那就自然应该添一平行线GM＇‖AH，如下图，再利用相似三角形和比例理论作证。清代李璜以及近代中外数学史家大都依这一方法补作海岛公式的证明，这当然不是刘徽的原意，也和我国古代几何的传统相违背。注意作平行线的时候应有FM＇＝DH，和前面（4）式相比，M和M＇的位置完全不同。明末耶稣会传教士利玛窦（1552—1610）来我国，他的主要学术工作之一是介绍欧几里得几何体系。他曾口授《测量法义》一书，其中载有和海岛题完全类似的一题。在他所作的证明中，需要在FI上取一点M使（4）式成立，再用比例理论作证，见本页上图。按常理来说，利玛窦应该作平行线而取M＇使FM＇＝DH，但是他一反欧几里得惯例而和我国古代传统不谋而合，颇使人迷惑不解。现在提出这一问题，希望大家共同探讨。勾股定理在《周髀》和《九章》中，都已经明确给出了勾股定理的一般形式：勾2＋股2＝弦2。虽然原证不传，但是据《勾股说》以及《刘注》，都依出入相补原理证明，并且有遗留到现在可以用来作证的赵爽残图，这几方面互相参照，原证应该大致如下：如下图所示，勾股形是ABC，BCED是勾方，EFGH是股方，把二者的和DBCFGH中的△IBD移到△ABC，△GIH移到△GAF，就得到ABIG＝弦2，由此就得到勾股定理。欧几里得《几何原本》中勾股定理的证明如下图所示，其中要先证有关三角形全等形以及三角形面积的一些定理，为此要作不少准备工作，因而在《几何原本》中直到卷一之末出现这一定理，而在整个《几何原本》中几乎没有用到。而在我国，勾股定理在《九章》中已经有多种多样的应用，成为两千来年数学发展的一个重要出发点，参阅以下各节和文末附表。在东西方的古代几何体系中，勾股定理所占的地位是颇不相同的。勾、股、弦和它们的和差互求勾、股、弦和它们之间的和差共九个数，只须知道其中的二个就可以求得其他几个。除勾、股、弦互求就是开平方之外，《九章》勾股章中有不少这方面的问题：第一，知股弦差、勾，求股、弦（五题）；第二，知勾股差、弦，求勾、股（一题）；第三，知股弦差、勾弦差，求勾、股、弦（一题）；第四，知股弦和、勾，求股、弦（一题）。各题都列出了一般公式，《勾股说》的许多命题也属这一类，《刘注》还给出了证明，公式的来历和证明的方法都依据出入相补原理，有的也用比例原理作别证。试以勾股章第十三折竹题为例。题设竹高已知，竹在某处折断，竹梢着地，着地处和竹根距离也已知。求折断处的高度，见上图。如果以竹梢着地处和竹根的距离作为勾，就是从股弦和、勾求股的问题，《九章》原文给出的公式是：股弦差＝勾2/股弦和，《刘注》又给出了另一公式：为了证明前一公式，可以考虑上图，其中正方形ABCD和AEFG的边各是勾股形的弦和股。依勾股定理曲尺形EBCDGF的面积应该等于勾2。现在把□FD如图移到□CH，那么依出入相补原理，□BH的面积是勾2，而它的边长各是股弦和、股弦差，就得到上面的前一公式。另一公式的刘徽证明也相类似。试考察下图，其中右下角曲尺部分的面积依勾股定理等于勾2，所以粗黑线围成部分的面积等于股弦和2－勾2。把长方形Ⅰ移到Ⅱ，依出入相补原理，这一面积是斜线部分面积的两倍，就是2×股×股弦和，由此就得到另一公式。秦九韶公式秦九韶《数书九章》中有一题是已知不等边三角形田地三边的长（称大斜、中斜、小斜，以下简记为大、中、小），求田地面积。秦九韶的解法相当于下面的一般公式：秦的公式来历不明，证明也失传了。现在补作一证如下：作大斜上的高分大斜成两部分，作为勾股形的股和弦，见上图。由求高，或怎样求股。由于股弦和＝大，勾2＝弦2－股2＝中2－小2，所以问题归结为怎样从股弦和、勾求股。依上节的刘徽公式，得由此就得到秦的公式。按秦公式的形式十分古怪，当是依某种思路自然引导到这一形式的。上面的证法颇为自然，也符合我国古代几何的传统特色，说它是原证，也是不无可能的。在西方有所谓海伦公式（a、b、c是三角形三边的长）：三角形面积＝这一公式形式十分漂亮。正因为这样，如果已知海伦公式而再来推出秦的公式，将是不可思议的。相反，从秦的公式化简成海伦的公式，却是比较自然的发展。据此我们至少可以断言，秦的公式是独立于海伦公式而得来的。关于海伦的生平，从公元前二世纪到公元后十世纪以后，数学史家聚讼纷纭。至于海伦留传到现在的著作，也已经人指出，历代都经过重新编纂，有所增改，已经不是本来面目。这是熟悉希腊数学史的应予澄清的事，这里就不考虑了。开平、立方从勾、股求弦，先把勾、股平方后相加，再开平方就得弦。因而勾股定理的应用自然导致开平方的问题。事实上，《周髀》中已经给出了若干具体数目的平方根，而在《九章》中，更详细说明了开平方的具体方法步骤。这一方法的根据是几何的，就是出入相补原理。试以求55225的平方根为例。这相当于已知正方形ABCD的面积是55225，求边AB的长，见上图。按我国记数用十进位位值制。因AB显然是一个百位数，所以求AB的方法就是依次求出百位数字、十位数字和个位数字。先估计（《九章》中用“议”字）百位数字是2，因而在AB上截取AE＝200，并且作正方形AEFG，它的边EF的两倍称为“定法”。把AEFG从ABCD中除去，所余曲尺形EBCDGF的面积是55225－2018＝15225。其次估计十位数字是3，在EB上截取EH＝30，并且补成正方形AHIJ。从AEFG所增加的曲尺形EHIJGF可以分解成三部分：□FH，□FJ，□FI，面积依次是30×EF，30×FG，302，其中EF＝FG＝200，所以从ABCD中除去AHIJ，所余曲尺形HBCDJI的面积是15225－（2×30×200＋302）＝2325。现在再估计个位数字是5，在HB上截取HK＝5，并补作正方形AKLM，从ABCD中除去AKLM后所余曲尺形面积和前同法应该是2325－（2×5×230＋522）＝0。由此知K和B重合而55225的平方根恰好是235。求立方根的方法步骤和这相似，但是要把一立方体逐步进行分解，比平方根求法稍复杂，所依据的仍是出入相补原理，这在《九章》中也有详细叙述。我国开平立方法来源很古，它的几何本质十分清晰，而且方法上可以看出我国独有而世界古代其他民族所无的位值制记数法的高度优越性。不仅这样，至迟到十一世纪中叶，我国就已经把开平立方法推广到开任何高次幂，就是所谓“增乘开方法”，并且出现了有关的二项式定理系数表，就是所谓“开方作法本源图”。从这一方法的几何渊源看来，如果说当时我国数学家已经有高维方体和高维几何的稚影，似乎不是全无根据的。解二次方程在开平方的过程中，曾经出现像第84页下图中黑线部分那样的图形，其中2×EF称定法。开平方在求得AE以后，其次几步在于从曲尺形EBCDGF的已知面积求得EB。现在把□DF移到□CH，那么依出入相补原理，□BH面积已知，此外□BH的两边EH和EB的差就是定法2×EF，也有已知数值。因而求EB的问题可以转化为下面的问题：（A）已知一长方形（□BH）的面积、长阔差，求长阔。反过来，这一问题的解法，可依开平方中第二步以下的方法求得，称为“开带从平方”。这在《九章》以来是用下面的语句来表达的。（B）“以‘长方形面积’为实，‘长阔差’为从法，开方除之，得‘阔’”。以上“从法”一名，当来自开平方过程中的“定法”，“开方”一词也说明了它的来历。下面的例取自《九章》，见下图。图中ABCD是一方城，出北门北行若干步到G有木，出南门南行若干步到F再西行若干步到H，恰可望见木G，问题是求方城每边的长。据《刘注》的方法是依出入相补原理得□EJ＝2□EG＝2□KG＝2×北步×西步。□EJ的长阔差是“南步＋北步”，所以解法是以“2×北步×西步”为实，以“南步＋北步”为从法，开平方除之，得EI，也就是方城边长。不仅应用开平方法可得问题（A）的数值解，而且应用出入相补原理，还可以求得解答的精确表达式。如果以长方形的阔作为勾，长作为股，那么问题（A）相当于：（C）已知勾股积、勾股差，求勾、股。为此考赵爽残图如附图。图中大小两正方形的边长各是勾股和、勾股差，所以得勾股和2＝4×勾股积＋勾股差2。由此得勾股和，因而得勾和股。同样也可从勾股和、勾股积求得勾和股，这一方法可以参阅《勾股说》的末一命题。宋元时期明确引入了未知数的概念。如果以X（当时称为天元一）表长方形阔，那么问题（A）相当于解一个二次方程x2+ax=b，其中a相当于从法，b相当于实。所以在古代实质上已经给出了这一形式二次方程（a，b都是正数）的近似解和精确解，前者在宋元时期发展为求任意高次方程的数值解法，后者虽文献散佚不可查考，但是据唐初王孝通的著作以及史书关于祖冲之的引述看来，不能排除我国曾经对三次方程用几何方法求得精确表达式的可能性。在其他各国，公元九世纪的时候，阿拉伯数学家花刺子模（约