50矩阵分析课件

第1章：线性空间与线性变换内容：线性空间的一般概念重点：空间结构和其中的数量关系线性变换重点：其中的矩阵处理方法特点：研究代数结构——具有线性运算的集合。看重的不是研究对象本身，而是对象之间的结构关系。研究的关注点：对象之间数量关系的矩阵处理。学习特点：具有抽象性和一般性。1.1线性空间一、线性空间的概念几何空间和n维向量空间的回顾推广思想：抽象出线性运算的本质，在任意研究对象的集合上定义具有线性运算的代数结构。定义1.1（P.1）要点：•集合V与数域F•向量的加法和数乘向量运算•运算的性质刻画常见的线性空间Fn={X=（x1，x2，…，xn）T：xF}运算：向量加法和数乘向量Fmn={A=[aij]mn：aijF}；运算：矩阵的加法和数乘矩阵Rmn；Cmn。Pn[x]={p(x)=：aiR}11niiixa运算：多项式的加法和数乘•C[a，b]={f（x）：f（x）在[a，b]上连续}运算：函数的加法和数乘•eg5：V=R+，F=R，ab=ab，a=aF=R或C线性空间的一般性的观点：线性空间的一般形式：V（F），元素被统称为向量：，，，线性空间的简单性质（共性）：定理1.1：V（F）具有性质：（1）V（F）中的零元素是惟一的。（2）V（F）中任何元素的负元素是惟一的。（3）数零和零元素的性质：0=0，k0=0，k=0=0或k=0（4）=（1）数0向量0二、线性空间的基和维数向量的线性相关与线性无关：定义形式和向量空间Rn中的定义一样。有关性质与定理和Rn中的结果一样。例题1证明C[0，1]空间中的向量组{ex，e2x，e3x…，enx}，x[0，1]线性无关。二、线性空间的基和维数基与维数的概念：P.2，定义1.2常见线性空间的基与维数：Fn，自然基{e1，e2，…,en}，dimFn=nRmn，自然基{Eij}，dimRmn=mn。Pn[x]，自然基{1，x，x2，x3…,xn-1}，dimPn[x]=nC[a，b]，{1，x，x2，x3…xn-1…}C[a,b]，dimC[a，b]=约定：Vn（F）表示数域F上的n维线性空间。只研究有限维线性空间。三、坐标1定义1.3（P.3)设{1，2，…，n}是空间的一组基，，=，则x1，x2，…，xn是在基{i}下的坐标。例1：求R22中向量在基{Eij}下的坐标。5413)F(Vnn1iiix)F(Vn要点：坐标与基有关坐标的表达形式例2设空间P4[x]的两组基为：{1，x，x2，x3}和{1，（x-1）1，（x-1）2，（x-1）3}求f（x）=2+3x+4x2+x3在这两组基下的坐标。归纳：任何线性空间Vn[F]在任意一组基下的坐标属于Fn。每一个常用的线性空间都有一组“自然基”，在这组基下，向量的坐标容易求得。求坐标方法的各异性。2、线性空间Vn（F）与Fn的同构坐标关系Vn（F）Fn基{1，2，。。。n}由此建立一个一一对应关系Vn（F），XFn，（）=X（1+2）=（1）+（2）（k）=k（）在关系下，线性空间Vn（F）和Fn同构。同构的性质定理1.3:Vn（F）中向量{1，2，…n}线性相关它们的坐标{X1,X2,…,Xn}在Fn中线性相关。同构保持线性关系不变。应用：借助于空间Fn中已经有的结论和方法研究一般线性空间的线性关系。例题2设R22中向量组{Ai}3120A22111A11013A37342A41讨论{Ai}的线性相关性.2求向量组的秩和极大线性无关组.3把其余的向量表示成极大线性无关组的线性组合.四、基变换和坐标变换讨论：不同的基之间的关系同一个向量在不同基下坐标之间的关系基变换公式设空间中有两组基：},...,,{n21},...,,{n21nnn21n21C)...()...(过渡矩阵C的性质：C为非奇异矩阵C的第i列是i在基{i}下的坐标则过渡矩阵2坐标变换公式已知空间中两组基：满足::;讨论X和Y的关系},...,,{n21},...,,{n21X)...(n21nnn21n21C)...()...(Y)...(n21X=CY123例题4、已知空间R中两组基（I）{Eij}（II）；{}1.求从基（I）到基（II）的过渡矩阵C。2.求向量在基（II）的坐标Y。00120110130030002137例题3、（P6例题11）§1.1五、子空间概述：线性空间Vn（F）中，向量集合V可以有集合的运算和关系：WiV，W1W2，W1W2，问题：这些关系或运算的结果是否仍然为线性空间？1、子空间的概念定义：设集合WVn（F），W，如果W中的元素关于Vn（F）中的线性运算为线性空间，则称W是Vn（F）的子空间。判别方法：定理1·5W是子空间W对Vn（F）的线性运算封闭。子空间本身就是线性空间。子空间的判别方法可以作为判别线性空间的方法重要的子空间：设向量组｛1，2，···，m｝Vn（F），由它们的一切线性组合生成的子空间：L{1，2，···，m}=｛}m1iiiiFkk矩阵AFm×n，两个子空间：•A的零空间：N（A）=｛X：AX=0｝Fn，•A的列空间：R（A）=L{A1，A2，···，An｝Fm，Ai为A的第i列。2、子空间的“交空间”与“和空间”讨论：设W1Vn（F），W2Vn（F），且都是子空间，则W1W2和W1W2是否仍然是子空间？1.（1）交空间交集：W1W2=｛W1而且W2｝Vn（F）定理1·6W1W2是子空间，被称为“交空间”（2）和空间和的集合：W1＋W2=｛=X1＋X2X1W1，X2W2｝，W1W2W1＋W2定理1·6W1＋W2是子空间，被称为“和空间”，W1W2不一定是子空间，W1W2W1＋W2例1·7设R3中的子空间W1=L{e1}，W2=L{e2}求和空间W1＋W2。比较：集合W1W2和集合W1＋W2。如果W1=L{1，2，…，m}，W2=L{1，2，…，k}，则W1＋W2=L{1，2，…，m，1，2，…，k}3、维数公式子空间的包含关系：)F(V212121dimW1W2dimWidimW1＋W2dimVn（F）。•定理1·7：dimW1＋dimW2=dim（W1＋W2）＋dim（W1W2）证明：4、子空间的直和分析：如果dim（W1W2）0，则dim（W1＋W2）dimW1＋dimW2所以：dim（W1＋W2）=dimW1＋dimW2dim（W1W2）=0W1W2={0}直和的定义：定义1·6：dim（W1W2）=0，则和为直和W=W1＋W2=W1W2，子空间的“和”为“直和”的充要–条件：定理1·8设W=W1＋W2，则下列各条等价：（1）W=W1W2（2）XW，X=X1＋X2的表是惟一的（3）W中零向量的表示是惟一的（4）dimW=dimW1＋dimW2例1P12eg18例2设在Rn×n中，子空间W1={AAT=A}，W2={BBT=–B}，证明Rn×n=W1W2。例3子空间W的“直和补子空间”1·2内积空间主题：定义内积的概念，借助于内积建立线性空间的度量关系。一、欧氏空间和酉空间1几何空间中度量关系的定义基础2内积的定义定义1·7(P13)：要点内积(，)是二元运算：Vn(F)F(，)的公理性质(，)是任何满足定义的运算。讨论(，1＋2),(，k)3.内积空间的定义[Vn（F）；（，）]，F=R，欧氏空间；F=C，酉空间4常见的内积空间：[Rn；(，)=T],[Cn；(，)=H],[Cm×n；(A，B)=tr(BHA)][Pn[X]；(f(x)，g(x))=]10dx)x(g)x(f5向量的长度定义：||||=),(),(6欧氏空间中向量的夹角：定义：0，0，夹角定义为：cos=性质：||k||=k||||；Cauchy不等式：，[Vn(F)；(，)],|(，)|||||||||。||＋||||||＋||||和正交（，）=07线性空间的内积及其计算：设{1，2，…,n}是内积空间Vn(F)的基，，Vn(F)，则有=x11＋x22＋…＋xnn=(12…n)X；=y11＋y22＋…＋ynn=(12…n)Y(，)==YHAX，n1in1jjiji),(yx定义内积在一个基{1，2，…，n}中定义内积定义一个度量矩阵A。度量矩阵A度量矩阵的性质：二、标准正交基1标准正交的向量组：定义：｛1，2，…，n｝为正交组(i，j)=0性质：2标准正交基基｛1，2，…，n｝是标准正交基(i，j)=ji0ji1标准正交基的优点：标准正交基的优点：度量矩阵是单位矩阵，即A=I=(12…n)X，=(12…n)Y，(，)=YHX=x11＋x22＋…＋xnn，xi=(，i)和正交其坐标X和Y正交坐标空间Fn的内积求标准正交基的步骤：1.Schmidt正交化2.标准化3.矩阵方法讨论正交补”子空间(i)集合的U的正交集：U=｛Vn(F)：U，(，)=0｝(ii)U是Vn(F)的子空间U是Vn(F)子空间(iii)Vn(F)=UU。U的正交补子空间§1·3线性变换一、线性变换的概念定义1.11(P.19)要点：（i）T是Vn（F）中的变换：T：Vn（F）Vn（F）。(ii)T具有线性性：T（＋）=T（）＋T（）T（k）=kT（）从一般性的角度给出的定义例题1Vn（F）中的相似变换T：是F中的数，Vn（F），T（）=。特例：=1，T是恒等变换，=0，T是零变换。可以在任何线性空间中定义相似变换!例题2Fn中的变换TA：设AFn×n是一个给定的矩阵，XFn，TA（X）=AX。例题3Pn[X]中的微分变换：2线性变换的性质：（i）T(0)=0（ii）T(－)=－T()（iii）m1im1iiiii)(TkkT3线性变换的象空间和零空间设线性变换T：Vn(F)Vn(F)，象空间R(T)=｛：Vn(F)，=T()｝零空间N（T）=｛：Vn(F)，T()=0｝定义：T的秩=dimR（T）；T的零度=dimN（T）线性变换保持线性相关性不变！例题27求Fn线性中的变换TA:Y=AX的象空间和零空间。R（TA）=R（A）；N（TA）=N（A）4线性变换的运算设T1，T2都是空间Vn(F)中的线性变换，常见的用它们构成的新的变换：（i）T1＋T2Vn（F），（T1＋T2）（）=T1（）＋T2（）（ii）T1T2Vn（F），(T1T2)（）=T1（T2（））（iii）kTVn（F），（kT）（）=k（T（））（iv）若T－1是可逆变换，T－1T－1()=当且仅当T()=。定义二、线性变换的矩阵1线性变换的矩阵与变换的坐标式Vn（F）上线性变换的特点分析：定义变换T确定基中向量的象T（i）。定义T（i）确定它在基下{i}的坐标Ai。定义变换T确定矩阵A=[A1，A2，…，An]（i）A为变换矩阵（ii）变换的坐标式：Y=AX（iii）应用意义例题1对线性变换:P4[X]P4[X]，1求D在基{1，X，X2，X3}下的变换矩阵。2求向量在变换D下的象。dxdD32x3x2x210