两角和与差的余弦正弦正切公式第一课时课件-数学高一必修4第三章三角恒等变换3.1.2人教A版

第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.2两角和与差的余弦正弦正切公式1.能利用两角差的余弦公式及诱导公式导出两角和的余弦公式。2.能利用两角和与差的余弦公式及诱导公式导出两角差(和)的正弦公式.(难点)3.能利用两角和与差的余弦公式、正弦公式推导出两角和与差的正切公式.4.掌握两角和与差的余弦正弦正切公式的变形使用，能利用公式进行简单的求值、化简等.(重点、难点)知识点1两角和的余弦公式【问题导思】1.如何利用两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式？把公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ中的β用－β代替，结果如何？【提示】cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.知识点2两角和与差的正弦公式【问题导思】1.如何利用两角和(差)的余弦公式推导出两角和的正弦公式？【提示】sin(α＋β)＝cos[π2－(α＋β)]＝cos[(π2－α)－β]＝cos(π2－α)cosβ＋sin(π2－α)sinβ＝sinαcosβ＋cosαsinβ.即sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ.2.把公式sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ中的β用－β代替，结果如何？【提示】sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.(1)两角和的正弦公式：sin(α＋β)＝(α，β∈R).(2)两角差的正弦公式：sin(α－β)＝(α，β∈R).sinαcosβ＋cosαsinβsinαcosβ－cosαsinβ知识点3两角和与差的正切公式【问题导思】已知tanα，tanβ的值，能否利用公式S(α±β)和C(α±β)推导出tan(α±β)?【提示】tan(α＋β)＝sinα＋βcosα＋β＝sinαcosβ＋cosαsinβcosαcosβ－sinαsinβ＝sinαcosβ＋cosαsinβcosαcosβcosαcosβ－sinαsinβcosαcosβ＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ，tan(α－β)＝tanα＋tan－β1－tanαtan－β＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ.名称简记符号公式使用条件两角和的正切Tα＋βtan(α＋β)＝tanαtanβ1－tanαtanβα、β、α＋β≠kπ＋π2(k∈R)且tanα·tanβ≠1两角差的正切Tα－βtan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβα、β、α－β≠kπ＋π2(k∈Z)且tanα·tanβ≠－1类型1给角求值例1.(1)求sin157°cos67°＋cos23°sin67°的值；(2)求sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)的值.【思路探究】(1)的形式与公式有差异，应先由诱导公式化角，再逆用公式求值.(2)所给角有差异，应先拆角，将角统一再用公式，θ＋75°＝(θ＋15°)＋60°，θ＋45°＝(θ＋15°)＋30°.【自主解答】(1)原式＝sin(180°－23°)cos67°＋cos23°sin67°＝sin23°cos67°＋cos23°sin67°＝sin(23°＋67°)＝sin90°＝1.(2)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)＝sin(θ＋15°＋60°)＋cos(θ＋15°＋30°)－3cos(θ＋15°)＝sin(θ＋15°)cos60°＋cos(θ＋15°)sin60°＋cos(θ＋15°)cos30°－sin(θ＋15°)sin30°－3cos(θ＋15°)＝12sin(θ＋15°)＋32cos(θ＋15°)＋32cos(θ＋15°)－12sin(θ＋15°)－3cos(θ＋15°)＝0.1.对于非特殊角的三角函数式，要想利用两角和与差的正弦、余弦公式求出具体数值，一般有以下三种途径：(1)化为特殊角的三角函数值；(2)化为正负相消的项，消去，求值；(3)化为分子、分母形式，进行约分再求值.2.在进行求值过程的变换中，一定要本着先整体后局部的基本原则，先整体分析三角函数式的特点，如果整体符合三角公式，则整体变形，否则进行各局部的变换.求下列各式的值：(1)sin165°；(2)sin14°cos16°＋sin76°cos74°.【解】(1)法一sin165°＝sin(90°＋75°)＝cos75°＝cos(45°＋30°)＝cos45°cos30°－sin45°sin30°＝6－24.法二sin165°＝sin(180°－15°)＝sin15°＝sin(45°－30°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝6－24.(2)法一sin14°cos16°＋sin76°cos74°＝sin14°cos16°＋cos14°sin16°＝sin(14°＋16°)＝sin30°＝12.法二sin14°cos16°＋sin76°cos74°＝cos76°cos16°＋sin76°sin16°＝cos(76°－16°)＝cos60°＝12.例2.求下列各式的值：(1)tan15°；(2)1－3tan75°3＋tan75°；(3)tan23°＋tan37°＋3tan23°tan37°.【思路探究】解决本题的关键是把非特殊角转化为特殊角(如(1))及公式的逆用(如(2))与活用(如(3))，通过适当的变形变为可以使用公式的形式，从而达到化简或求值的目的.【自主解答】(1)tan15°＝tan(45°－30°)＝tan45°－tan30°1＋tan45°tan30°＝1－331＋33＝3－33＋3＝3－13＋1＝2－3.(2)1－3tan75°3＋tan75°＝33－tan75°1＋33tan75°＝tan30°－tan75°1＋tan30°tan75°＝tan(30°－75°)＝tan(－45°)＝－tan45°＝－1.(3)∵tan(23°＋37°)＝tan60°＝tan23°＋tan37°1－tan23°tan37°＝3，∴tan23°＋tan37°＝3(1－tan23°tan37°)，∴原式＝3(1－tan23°tan37°)＋3tan23°tan37°＝3.1.公式T(α＋β)，T(α－β)是变形较多的两个公式，公式中有tanα·tanβ，tanα＋tanβ(或tanα－tanβ)，tan(α＋β)(或tan(α－β)).三者知二可表示或求出第三个.2.一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换.(1)(2014·遵义高一检测)化简：tan5°＋tan40°＋tan135°tan5°tan40°tan30°；(2)已知tan(α＋β)＝5，tan(α－β)＝3，求tan2α，tan2β，tan2α＋π4.【解】(1)原式＝tan45°1－tan5°tan40°－tan45°tan5°tan40°×33＝－tan5°tan40°tan5°tan40°×33＝－3.(2)tan2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝tanα＋β＋tanα－β1－tanα＋βtanα－β＝5＋31－5×3＝－47，tan2β＝tan[(α＋β)－(α－β)]＝tanα＋β－tanα－β1＋tanα＋βtanα－β＝5－31＋5×3＝18，tan2α＋π4＝1＋tan2α1－tan2α＝1－471＋47＝311.类型2给值求值例3.(2013·青岛高一检测)已知π2＜β＜α＜3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求sin2α的值.【思路探究】观察出角的关系，即2α＝(α－β)＋(α＋β)，然后求出sin(α－β)和cos(α＋β)的值，利用两角和的正弦公式求解结果.【自主解答】因为π2＜β＜α＜3π4，所以0＜α－β＜π4，π＜α＋β＜32π.又cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，所以sin(α－β)＝1－cos2α－β＝1－12132＝513，cos(α＋β)＝－1－sin2α＋β＝－1－－352＝－45.所以sin2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)＝513×(－45)＋1213×(－35)＝－5665.解答此类问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示出来，一般注意以下几方面：(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两“已知角”的和与差的形式.(2)当“已知角”有一个时，应注意“所求角”与“已知角”的和与差的形式，“所求角”再用诱导公式变成“已知角”.(3)角的拆分方法不惟一，应根据题目合理拆分.(4)用同角三角函数的基本关系式求值时，一定要注意角的范围.已知cosα＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2，则sinβ＝________.【解析】∵0＜β＜α＜π2，∴0＜α－β＜π2，sinα＝1－cos2α＝437.∴sin(α－β)＝1－cos2α－β＝3314.∴sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝32.【答案】32类型3条件求值(角)问题例4.如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为210，255.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值.【思路探究】解决本题可先由任意角的三角函数定义求出cosα，cosβ，再求sinα，sinβ，从而求出tanα，tanβ，然后利用T(α＋β)求tan(α＋β)，最后利用α＋2β＝(α＋β)＋β，求tan(α＋2β)进而得到α＋2β的值.【自主解答】由条件得cosα＝210，cosβ＝255，∵α，β为锐角.∴sinα＝7210，sinβ＝55.∴tanα＝7，tanβ＝12.(1)tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝7＋121－7×12＝－3.(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝tanα＋β＋tanβ1－tanα＋β·tanβ＝－3＋121－－3×12＝－1，∵α，β为锐角，∴0＜α＋2β＜3π2，∴α＋2β＝3π4.1.通过先求角的某个三角函数值来求角.2.选取函数时，应遵照以下原则(1)已知正切函数值，选正切函数；(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数.若角的范围是(0，π2)，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为(－π2，π2)，选正弦较好.3.给值求角的一般步骤(1)求角的某一三角函数值；(2)确定角的范围；(3)根据角的范围写出所求的角.(2014·北京高一检测)(1)已知α∈π2，π，sinα＝35，求tanα＋π4的值；(2)如下图所示，三个相同的正方形相接，试计算α＋β的大小.【解】(1)因为sinα＝35，且α∈π2，π，所以cosα＝－45，所以tanα＝sinαcosα＝35－45＝－34，故tanα＋π4＝tanα＋tanπ41－tanαtanπ4＝－34＋11－－34×1＝17.(2)由题图可知tanα＝13，tanβ＝12，且α，β均为锐角，∴tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝13＋121－13×12＝1.∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π4.类型4三角形中的三角函数例5.已知△ABC中，tanB＋tanC＋3tanBtanC＝3，且3tanA＋3tanB＋1＝tanAtanB，判断△ABC的形状.【思路探究】化简条件→求出tanA，tanC→求出角A，C→判断形状.【自主解答】由tanA＝tan[π－(B＋C)]＝－tan(B＋C)＝tanB＋tanCtanBtanC－1＝3－3tanBtanCtanBtanC－1＝－3.而0°＜∠A＜180°，∴∠A＝120°.由tanC＝tan[π－(A＋B)]＝tanA＋tanBtanAtanB－1＝tanA＋tanB3tanA＋3ta