简单的线性规划

1顺昌一中苏九新2一.复习回顾1.在同一坐标系上作出下列直线:2x+y=0;2x+y=1;2x+y=-3;2x+y=4;2x+y=7.02)0(2:平行的直线与形如结论yxttyxxYo355x=1x-4y+3=03x+5y-25=01ABCC:(1.00,4.40)A:(5.00,2.00)B:(1.00,1.00)Oxy问题1：x有无最大（小）值？问题2：y有无最大（小）值？问题3：2x+y有无最大（小）值？1255334xyxyx2.作出下列不等式组的所表示的平面区域4二.提出问题把上面两个问题综合起来:1255334xyxyx设z=2x+y,求满足时,求z的最大值和最小值.5线性规划问题：设z=2x+y，式中变量满足下列条件：求z的最大值与最小值。1255334xyxyx目标函数（线性目标函数）线性约束条件CBAx=1x-4y+3=03x+5y-25=0xOy象这样关于x,y一次不等式组的约束条件称为线性约束条件Z=2x+y称为目标函数,(因这里目标函数为关于x,y的一次式,又称为线性目标函数6线性规划线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．可行解：满足线性约束条件的解(x，y)叫可行解；可行域：由所有可行解组成的集合叫做可行域；最优解：使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解。可行域2x+y=32x+y=12(1,1)(5,2)755x=1x-4y+3=03x+5y-25=01ABCC:(1.00,4.40)A:(5.00,2.00)B:(1.00,1.00)Oxy.1255334.1所表示的区域先作出xyxyx02yx02:.20yxl作直线Rttyxll,2:.30直线平行的作一组与直线直线L越往右平移,t随之增大.以经过点A(5,2)的直线所对应的t值最大;经过点B(1,1)的直线所对应的t值最小.3112,12252minmaxZZ可以通过比较可行域边界顶点的目标函数值大小得到。思考：还可以运用怎样的方法得到目标函数的最大、最小值？81255334xyxyx设z=2x+y,求满足时,求z的最大值和最小值.线性目标函数线性约束条件线性规划问题任何一个满足不等式组的（x,y）可行解可行域所有的最优解目标函数所表示的几何意义——在y轴上的截距或其相反数。9线性规划例1解下列线性规划问题：求z=2x+y的最大值和最小值，使式中x、y满足下列条件：11yyxxy解线性规划问题的一般步骤：第一步：在平面直角坐标系中作出可行域；第二步：在可行域内找到最优解所对应的点；第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值。探索结论C(12,12)B(2,-1)A(-1,-1)xOy2x+y=02x+y=-32x+y=3答案：当x=-1,y=-1时，z=2x+y有最小值－3.当x=2,y=-1时，z=2x+y有最大值3.也可以通过比较可行域边界顶点的目标函数值大小得到。10线性规划例2解下列线性规划问题：求z=300x+900y的最大值和最小值，使式中x、y满足下列条件：探索结论x+3y=0300x+900y=0300x+900y=112500答案：当x=0,y=0时，z=300x+900y有最小值0.当x=0,y=125时，z=300x+900y有最大值112500.0025023002yxyxyxC125250150BAx+2y=2502x+y=300xOy11例3:某工厂用A,B两种配件生产甲,乙两种产品,每生产一件甲种产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙种产品使用4个B配件耗时2h,该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件,按每天工作8小时计算,该厂所有可能的日生产安排是什么?若生产1件甲种产品获利2万元,生产1件乙种产品获利3万元,采用哪种生产安排利润最大?把例3的有关数据列表表示如下:32利润(万元)821所需时间1240B种配件1604A种配件资源限额乙产品(1件)甲产品(1件)资源122841641200xyxyxy0xy4348将上面不等式组表示成平面上的区域,区域内所有坐标为整数的点P(x,y),安排生产任务x,y都是有意义的.解：设甲,乙两种产品分别生产x,y件,由己知条件可得:问题：求利润2x+3y的最大值.线性约束条件13若设利润为z,则z=2x+3y,这样上述问题转化为:当x,y在满足上述约束条件时,z的最大值为多少?,2z2把z=2x+3y变形为y=-x+,这是斜率为-333z在y轴上的截距为的直线,3当点P在可允许的取值范围变化时,z求截距的最值,即可得z的最值.3142841641200xyxyxy0xy4348233zyxM（4，2）142yx问题：求利润z=2x+3y的最大值.143224maxZ变式：若生产一件甲产品获利1万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？152841641200xyxyxy0xy4348133zyxN（2，3）142yx变式：求利润z=x+3y的最大值.max23311z16解线性规划应用问题的一般步骤：2）设好变元并列出不等式组和目标函数3）由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；4）在可行域内求目标函数的最优解1）理清题意，列出表格：5)还原成实际问题(准确作图，准确计算)画出线性约束条件所表示的可行域，画图力保准确；法1：移－在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；法2：算－线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得（当两顶点的目标函数值相等时最优解落在一条边界线段上）。此法可弥补作图不准的局限。17例4、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐18t；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐15t。现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产这两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。并计算生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？分析：设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件：xyo4x＋y≤1018x＋15y≤66x≥0y≥018解：设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料y车皮，能够产生利润Z万元。目标函数为Z＝x＋0.5y，约束条件为下例不等式组，可行域如图红色阴影部分：把Z＝x＋0.5y变形为y＝－2x＋2z，它表示斜率为－2，在y轴上的截距为2z的一组直线系。xyo由图可以看出，当直线经过可行域上的点M时，截距2z最大，即z最大。答：生产甲种、乙种肥料各2车皮，能够产生最大利润，最大利润为3万元。M容易求得M点的坐标为（2，2），则Zmax＝34y1018x15y66x0y0x＋＋线性约束条件19三、课堂练习(1)已知求z=2x+y的最大值和最小值。01y01-yx0y-x20551Oxyy-x=0x+y-1=01-1y+1=0A(2,-1)B(-1,-1)3maxzmin3z21练习2、已知求z=3x+5y的最大值和最小值。153y5x35y-x1xy22551Oxy1-15x+3y=15X-5y=3y=x+1A(-2,-1)B(3/2,5/2)11;17minmaxZZ23练习3：某工厂生产甲、乙两种产品，生产1t甲种产品需要A种原料4t、B种原料12t，产生的利润为2万元；生产1t乙种产品需要A种原料1t、B种原料9t，产生的利润为1万元。现有库存A种原料10t、B种原料60t，如何安排生产才能使利润最大？相关数据列表如下：A种原料B种原料利润甲种产品4122乙种产品191现有库存106024设生产甲、乙两种产品的吨数分别为x、y0060912104yxyxyxyxP2利润何时达到最大？25