第2章_控制系统状态空间表达式的解

第2章控制系统状态空间表达式的解2.1线性定常齐次状态方程的解(自由解)2.2矩阵指数函数与状态转移矩阵2.3线性定常系统非齐次状态方程的解2.4线性时变系统的解2.5离散时间系统状态方程的解2.6连续时间状态空间表达式的离散化本章主要学习和掌握内容：1、状态转移矩阵的定义、性质以及几种计算方法；2、线性定常系统齐次状态方程的解（自由解）及非齐次状态方程的解的形式及计算方法；3、离散时间系统状态方程的解以及连续时间系统状态方程的离散化。2.1线性定常齐次状态方程的解(自由解)主要学习和掌握内容：1、学习和理解系统自由解的概念；2、掌握线性定常系统自由解的形式；3、理解和掌握矩阵指数函数的概念和定义。系统的自由解：系统输入u为零时，由初始状态x(t0)引起的自由运动x(t)，也称为零输入响应。态方程的解。自由解即为系统齐次状因此，线性定常系统的：态方程为齐次微分方程当系统输入为零时，状Axx0at00kkk0kk22k0k30320200xe)xtak!1()xtak!1ta2!1at(1txak!1txa3!1txa2!1taxxx(t)：即；xak!1xaa1)!-k(k1abk1b；xa3!1xaa2!31ab31bxa2!1aax21ab21b；axabb：系数得等式两边比较0k01-k1kk03022302012001kk1k1k2210k1k1kk232100tabtabtabtababaxt1)b(ktkbt3bt2bbx：有，axx将假设解代入微分方程；xbx(0)时，0t当0kkkkk221000)为待定系数(；tbtbtbtbbx(t)为解的0)t初始时刻(xx(0)，axx设标量微分方程推导：(1)ib00kkk0kk22k0k30320200)xtAk!1()xtAk!1tA2!1At(txAk!1txA3!1txA2!1tAxx即x(t)I;Ak!1AA1)!-k(k1Ak1;A3!1AA2!31A31A2!1AA21A21；AA：比较系数得0k01-k1kk03022302012001xxbbxxbbxxbbxbbkk1k1k2210k1k1kk232100tAtAtAtAAAt1)(ktkt3t2有,A将假设解代入状态方程；(0)时0t当bbbbbxbbbbbxxxxbx)b(tttt(t)解)(0)0A设状态方程(2)0kkkkk22100为待定列向量其中；为的，初始状态初始时刻为推导：ibbbbbxxxx(x0Atxe；tAk!1tAk!1tA2!1Ate0kkkkk22AtI0)(txex(t)x(t)则x)x(t0t(1)若初始BuAxx0At000，为：系统的自由解，，初始状态时刻，统结论：对于线性定常系0kk0kk0k2020)tA(t)t(tAk!1)t(tAk!1)t(tA2!1)tA(te0I的函数。分或全部为矩阵，矩阵中的元素部在形式上为，该函数)指数为矩阵称为矩阵指数函数(e或e此处，)tA(tAt0tnn式中：)t(txex(t):x(t)x)x(tt初始(2)00)tA(t0000，为下，系统的自由解，在时刻为任意时刻若式中：2.2矩阵指数函数与状态转移矩阵主要学习和掌握内容：1、学习和掌握状态转移矩阵的概念；2、学习和掌握状态转移矩阵的重要性质；3、学习和掌握状态转移矩阵的四种求解方法（后3种可获得解析解）：(1)根据定义计算(非解析解形式)(2)非奇异变换法（对角线阵法或约当阵法）(3)反拉氏变换法(4)凯莱-哈密顿定理法。或为状态转移矩阵，记为空间转移，因此又称之不断在状态从初态开始随时间推移量矩阵指数函数使状态向味着从时间角度而言，它意次方程解为时变函数阵。对于齐数体现的函数，即矩阵指数函般为矩阵指数函数的元素一，即矩阵指数函数。或阵为的状态转移，而转移矩到终态x(t)或该解反映系统从初态或态方程解线性定常系统的齐次状)()()()((0))()((0))()()(0ttAAt00ttAAtt-tΦtΦtxteetxxtxetxxetx00，，为0为t初始时刻，eΦ(t)0At一、状态转移矩阵0)tA(t0t初始时刻为任意时刻，e)tΦ(t0或))x(ttΦ(tx(t)00则：或Φ(t)x(0)x(t)状态由x(0)转移到x(t)状态由x(t0)转移到x(t)为初始时刻，则有：t，若以)t)和Φ(tx(t已知若1121；))x(tt-Φ(txx)x(t:则，)t-Φ(t和)若已知x(t；))x(tt-Φ(txx)x(t则)t-和Φ(txx)已知x(t00222122020001211110120100,)tA(t)tA(t)tA(t020112020112eee即：)tΦ(t)t)Φ(ttΦ(t可知：))x(ttΦ(t)x(t又：))x(tt)Φ(ttΦ(t))x(ttΦ(t)x(t0022001121122例：B)t(ABtAtnnnneee：有，)可交换B和BA时(A当且仅当AB，B,5.AIIt)A(te)Φ(t)2.Φ(t或0At1At1ee或t)Φ(Φ(t)3.；AAΦ(0)(0)Φ，0时t当；AeAeedtd或Φ(t)AAΦ(t)(t)Φ4.AtAtAtτ)A(tAτAteee或τ)Φ(t1.Φ(t)Φ(τ)二、状态转移矩阵Φ(t)的基本性质由定义可证由性质1、2可证由定义可证由定义可证Φ(t)和A可交换组合性质时间可逆转tλtλtλAtn21n21eeee则Φ(t),λλλΛA0000即1.若A为对角线阵，tttttAttttAteeeeeeee0001000000000e100000001A000000e100020001A02，则＝若，则＝若如：三、几个特殊的矩阵指数函数(状态转移矩阵)，TeT)TtA2!1At(TTtAT2!1ATtTtΛ2!1Λte，ATTΛ:证明At1221221122Λt1III1t1tλtλtλAtTTeTeeeTeΦ(t)n21Λ1Λ，则AT角线化，即T变换(变换阵为T)对2.若A能通过非奇异001ΛtAt1TTee:即得左乘T右乘T可通过变换阵T求A阵状态转移矩阵13t-2t-t-At－1111Te000e000e＝T，则e300020001AT＝T非奇异变换阵T，使得3；则必存在一＝2，λ＝1，λ＝，易知：λ6116100010例：A＝121111211212ttttnttn0!)!(!λtJtAteeeΦ(t)分两种情况:A为约当阵若3.0011)1(JA即：阵只包含一个约当块，A则：1000100!210!3!21e1000110001100011A10010!21e200120012A0101e1011A23222ttttttettteeteetetAttAtttttAt，则＝若，则＝若，则＝若例：。对应的矩阵指数函数为式中e，eeeee则Φ(t)tJtJtJtJJtAti21),,2,1(liJil00),,2,1(liil为约当块阵J为约当阵，J式中，，J0J0JJA即：阵包含若干个约当块，(2)A21，＝若1000001000003000001000011AttttttAteeeetee0000000000000000000e3则tttttttttAteteeetteeetee22222220000000!2000000000e则，＝若2000012000012000001000011A。，，非奇异标准型T为化约当，值独立特征向量的重特征4.若系统含只对应一1JtAt1TTe则eATT即J变换阵的例：四、状态转移矩阵eAt的求解方法(4种方法)3232323222Att25t273t1t373t2tt67t23ttt12!t3210t32101001e32101.A例2kk22AttAk!1tA2!1AtIe非封闭解求：非解析形式解根据矩阵指数函数定义/.12001-1112T,2111λλ11T121,A为友矩阵，因此可得：因。反求与变换阵的矩阵指数函数利用约当阵，方法系统变换为约当标准型矩阵阵将ttee)(.2AJTJJA变换为约当Ate32102.A例2，求;TTee,eeeeATT则Λ(1)A特征值互异,1ΛtAttλtλtλΛt1n21002λ1,λ0,2)1)(λ(λ23λλAλ212I2tt2tt2tt2tt2tt1ΛtAt2ee2e2eeee2e1112e00e2111TTee2t2t2t2t2t2t2t1JtAt2tee2te2te2tee222110t1e1/2111TTee;e,4220A例At求：2012J2221T,1/2111ppT:p,求出ppA)p(λ0A)p由(λ1211112211,，则可和II。TTeAT，则有：eTJ非奇异变换阵T，使得则存在一个值,独立特征向量的重特征(2)A有只对应一个1JtAt10,44λλ4λ22λAλ2I。，易验证其只对应一独立特征向量2λ1,2.eAt求452100010A例2-3。，则，因此：个，秩为，可知由：2tttte000e00teeJte200010011ATTJ独立特征向量只对应一λ故重特征值2Aλ352110011Aλ11,211)(II121132252T,411201111pppT得0A)p(λpA)p(λ0A)p(λ13213312111III。，。为友矩阵，则：21025λ4λλAλA2331,2λλI