第8章_广义线性模型

•回归分析中假定随机扰动服从这样的一些正态分布：其方差取常值，而均值则为附属数据的线性函数．•很多精算问题可以利用特殊的广义线性模型来处理，如方差分析，泊松回归以及Logistic对数（logit）与概率（Probit）模型等的几类。精算数据与模型•实践中采集的数据往往显示方差要大于均值．•用于描述索赔额的分布通常具有厚重的右尾．•有待建模的现象极少关于附属数据是可加的,一般往往可用乘法模型．广义线性模型•它允许偏离均值的随机误差服从不是正态分布。如，随机误差可服从指数散布族中的任一种分布，包含了泊松分布、（负）二项分布、伽玛分布与逆高斯分布等.•并不要求随机变量的均值是解释变量的线性函数。但进行某些变换后它仍是是线性的．譬如，当对数时，我们可以用乘法模型替代了加法模型．广义线性模型具有以下三个特征：1.假定观测量是相互独立的随机变量,1,,.iYin,其密度函数为指数散布族．最重要的例子有：·正态随机变量(,);iiN·泊松随机变量();iPossion·总体服从泊松分布()iPossion的样本容量为1/iin的样本均值；·i与二项随机变量的积：1(,)iiiB（从而表示1/i次试验中的成功的次数211(,).iiiiIG11(,)iii•伽玛随机变量•逆高斯随机变量i上面所列的分布的均值。i是与均值无关，但与随机变量的方差有关的一个参数。我们取i等于/iw，并称为散布参数，而称iw为权重．2．一个线性预估量,iijjjx，它是诸参数1,,p的线性函数，可以作为模型观察值的估计。3．设iY的期望值i，则可用联结函数与线性预估量i的关系：)(iig.注8.2.1（典则联结）注8.2.2（方差函数）以下依方差函数中的幂次的升幂序，分别表述之：1．具有常值方差20的正态分布（同方差性）2．方差与均值相等的泊松分布以及泊松总体的样本均值．对前者，我们有21，对后者而言，方差与均值成正比，即有21;3．如列举的参数化所示，(,)句分布具有固定的形状参数，从而其变异系数/取常值，故有22;4．如列举,必参数化所示，(,)IG分布的方差等于232.§8.3若干传统的估计方法与广义线性模型我们将风险因子评级成I与J个风险类而生成关于诸观测量(1,,;1,,)ijYiIJ的一个表格．如：观测量ijY便可表示具有特征i与j的所有司机的已观测到的事故总次数．i表示某一保单的签约年，j表示发展年，而观测量ijY便表示在日历年1ij针对附属于年i的诸保单而支付的总索赔额．假设观测量ijY概率分布服从一广义线性模型的假定．确切地说，假定它们可视为是一个以i与j作为解释变量的对数线性模型．即ijY的期望值可表为该模型的参数是，i与.j至少应有二个约束条件。不妨先假定11.方法8.3.5(BaileySimon方法=关于泊松总体的最小2估计）利用BaileySimon方法，可乘模型中的参数估计量ˆi与ˆj由下述解确定：这一方法之所以受到重视可如下解释：若以ijS表示服从泊松分布的索赔次数，则由（8.2）表示的BS恰是一2统计量现就（8.2）中的BS针对每一参数求偏导，即得一正规方程组：逐项置换法性质8.3.7(BaileySimon方法导致“安全保费”）可以证明，利用这一方法所得保费总额要较观测到的损失总额多．即：若ˆi与ˆj表示（8.4）的解，则有首先可将（8.4）中的第一组方程改写为设随机变量U为一离散型分布Pr[],jjUdp其中：则其二阶矩22ˆiUE。由Jensen不等式，22[]([]),EUEU可知：因此方法8.3.8（边缘总和法）在一个“良好”的收费系统内，对于一个拥有众多被保险人的组合来说，保费总额相等于观测到的损失总额.在可乘模型中，为估计参数我们需解下述含IJ个未知数，且由IJ个方程组成的方程组：解上述方程组的方法之一是从关于j的任意正初值开始，采用逐次置换法解之．为此可将该方程组改写成下述形式：性质8.3.9（对数线性泊松的GLM＝边缘总和法）假设位于单元(,)ij中的被保险人共有ijw位，其中每一人引发的索赔次数皆服从()ijPossion分布；再假定ijij，则由极大似然法与边缘总和法给出的i与j的估计值是相同的。证明因为位于单元(,)ij的索赔总数服从()ijijPossionw分布，故以ijs为观察到的索赔总数的诸参数ij的极大似然函数可表为若将下述关系式代入上式：对i与j求其最大值，则恰可导出方程组（8.11）.方法8.3.10（最小二乘法＝关于正态的极大似然法）下述（8.15）中诸项具有相同的均值，因此将它们相加是有意义的．参数i与j的估计量由下述解确定：就上式中的SS针对每一参数求偏导，可得一正规方程组，我们将其写成一种适合于逐次置换的形式：方法8.3.11（直接法＝关于伽玛分布的极大似然法）直接法通过求解下述方程组而确定关于参数i和j的估计量：例8.3.12（上述诸方法的数值说明）我们将上述4种方法运用于下表中的数据，数据的形式为,,1,2.ijijwyij§8.4偏差与比例偏差例8.4.1（正态分布）假设1,,nYY是相互独立的正态随机变量，其中iY是iw个相互独立且服从(,)iN分布的随机变量的平均，于是(,/).iiiYNw现记L为关于上述诸观测量参数的似然函数。再记ˆL和L分别表示在L中当以ˆi和i置换i后所得之值，我们有显然，对全模型而言，借助逐项最大化（8.20）即知，对每一皆有如以表示偏差便得这表明，对正态分布而言，最小化偏差（或等价地最大化似然函数）是和确定参数的最小二乘法等效的．例8.4.2（泊松样本均值）现令/,iiiYMw其中(/).iiiMPossionw以下简记(,).iiYPossion特别地，当1iw且1时，即化为通常的泊松随机变量．如/iw为一整数，iY便可视为/iw个相互独立的()iPossion随机变量之和．不过，没有这一限定，上述模型仍是合理有效的，其似然函数可表述于下：例8.4.3（伽玛分布）现假设(/,/{}),iiiiYww显然，iY与iw个相互独立的(1/,1/{})i随机变量的算术平均同分布，或等价地，与/iw个相互独立且服从(1/)iExp分布的随机变量的算术平均同分布．我们有此时，对全模型仍可得这是因为,iiy不难验证，此例中的偏差由下式给出：自然，上式中必须取正值iy指数散布族定义8.6.1（指数散布族）指数散布族密度具有以下形式上述和是实参数，)(b和),(c是实函数，密度的支撑集.D§8.6广义线性模型参数的作用与不同，因不影响均值的取值，而均值正是我们最感兴趣的．除个别特殊情形外，的值是固定与均值无关，但是未知的。支撑集D与无关，函数),(c也与无关。它是作为规范化函数出现的，用以保证密度的求和或积分恰等于1。对连续型分布：正态分布的支撑集是,，伽玛与逆高斯分布的支撑集皆为(0,)。对离散型分布，支撑集为可数集．例如，对泊松乘数分布来说，{,2,},D例8.6.2（指数散布族的若干成员）下述参数族是指数散布族中最重要的一些成员：1．正态分布2(,),N经参数化后，有2(,)与22(,)2．泊松分布()Possion，此时参数log,而1.3．二项分布(,),Bmp其中m是任意固定且已知的自然数，相应地有log1pp与1.4．负二项分布(,),NBrp其中r是任意固定且已知的正实数，相应地有log(1)p与1.5．伽玛分布(,),经参数化后，有(,)/,(,)1/.6．逆高斯分布(,),IG此时2221(,)/,(,)/,2且也必然有0。有三种不同的参数化形式：贯穿全书的“标准”参数化。在§8.2中采用的由均值和散布参数表示的参数化。本节中采用的由和表示的参数化。最后一种参数化称为是自然或典则参数化.例8.6.3（伽玛分布与指数散布族）本书其余部分采用的参数化是借助形状参数和刻度参数来表述的．为确定和,我们可将(,)密度函数的对数与（8.29）进行比较，由此可得(1)1,.a注意，此时我们有0.(2)令()log().b(3)(;)log(1)loglog()cyy.在,参数化中，是作为均值出现的，故有.由此即可推断，在,的参数化中，这些随机变量的均值是和无关的.引理8.6.4（指数散布族的矩母函数）对于每一个实数t,若在(8.29)中以t替换后，仍然得一密度.密度(8.29)以t为自变量的矩母函数由下式给出：证明:我们仅给出连续情形的证明；关于离散情形的证明，只须将该证明中的在支撑集D上的积分改为关手y在D上的求和即可．可将矩母函数如下依次写出：上述最后一个不等式成立，是因为(8.34)中第二个积分号内的被积函数也是一个密度函数。推论8.6.5（累积量母函数，半不变量，均值与方差）若Y具有密度(8.29),则其累积量母函数等于半不变量,2,1,jj由下式给出：鉴于这一原因，通常)(b称为累积量函数．由半不变量可推知Y的均值与方差分别为注意，均值仅依赖于,而方差等于散布参数和()b的乘积．方差函数()V等于(()).b推论8.6.6（取样本均值）假设1,,mYY是随机变量Y的m个相互独立的拷贝，记1()/mYYYm为其样本均值．如果Y是具有固定函数)(b和),(c,又以和为参数的指数散布族中的一员，则Y属于以和/m为参数的同一类型的指数散布族，若这一对参数是允许取的话．证明:由(8.33),我们有这恰是以和/m为参数的指数散布族中一员的矩母函数．例8.6.7（泊松乘数与样本均值）由推论8.6.6,m个独立的()Possion随机变量的样本均值具有指数散布族密度，其中)(b，),(c与和泊松密度表示式中的一致，但需以1/m置换1,且以12{0,,,}mm为其支撑集．这样的样本均值事实上可视为是()Possionm随机变量与1/m相乘．令0是任一实数，不一定是某一整数m的倒数．记：1exptMttYeEeEe)()(expbtb其中：log,().be这恰和通常的泊松分布的密度表达式是一致的。当为任一正数时，对每一，皆可定义一个以为参数的指数散布族的子类．Y的可能取值为{0,,2,}.当1/,m我们得到的是一个m个()Possion随机变量的平均值．当n时，相应的随机变量具有这样的性质，它的一个样本容量为n的样本均值服从()Possion分布．当/,(8.39)nm中的Y便是m个n型的随机变量的样本均值．当1时，我们将得到一个方差大于均值的随机变量，所以文献中也将这样的随机变量命名为“超散布泊松”.当2j时，M服从参数为2/的泊松分布，MY2，Y的支撑集为},4,2,0{因些被称为稀疏泊松分布。（二项与负二项分布）负二项分布(,)NBrp仅当视r为固定常数，且取1时，才能由指数分布族(8.29)描述．现考虑两个具有相同,不同的分布．由此推出这两个分布具有相同的均值和不同的方差．若以00,rp与11,rp分别表示这两个负二项分布的参数，则由(8.36)知，它们的方差之比恰等于它们的参数之比，而它们的三阶半不变量之比则为前述比例的平方．上述最后两个等式仅当01pp时才能同时成立，所以也必然有01rr推论8.6.9（指数散布族与Esscher变换）一个连续密度的以h为参数