3-2稳定性和误差

13.5线性系统的稳定性分析3.5.1稳定的概念和线性系统稳定的充要条件如果系统受到有界扰动，不论扰动引起的初始偏差有多大，当扰动取消后，系统都能以足够的准确度恢复到初始平衡状态，则这种系统称为大范围稳定的系统；如果系统受到有界扰动，只有当扰动引起的初始偏差小于某一范围时，系统才能在取消扰动后恢复到初始平衡状态，否则就不能恢复到初始平衡状态，则称为小范围稳定的系统。23对于稳定的线性系统，它必然在大范围内和小范围内都能稳定，只有非线性系统才可能有小范围稳定而大范围不稳定的情况。4线性控制系统稳定性的定义如下：若线性控制系统在初始扰动(t)的影响下，其过渡过程随着时间的推移逐渐衰减并趋向于零，则称系统为稳定。反之，则为不稳定。线性系统的稳定性只取决于系统自身固有特性，而与输入信号无关。根据定义输入(t)，其输出为脉冲过渡函数g(t)。如果当t→∞时，g(t)收敛到原来的平衡点，即有0)(limtgt那么，线性系统是稳定的。5qirkkdktktpitteBeAtgkki)0()sin()(01110111)()()(asasasabsbsbsbsDsMsnnnnmmmm线性系统稳定的充要条件是：闭环系统特征方程的所有根都具有负实部，或者说，闭环传递函数的极点均位于s左半平面（不包括虚轴）。根据稳定的充要条件决定系统的稳定性，必须知道系统特征根的全部符号。如果能解出全部根，则立即可判断系统的稳定性。然而对于高阶系统，求根的工作量很大，常常希望使用一种直接判断根是否全在s左半平面的代替方法，下面就介绍劳斯代数稳定判据。不失一般性，设n阶系统的闭环传递函数为63.5.2线性系统的代数稳定判据首先给出系统稳定的必要条件：设线性系统的闭环特征方程为0)()(10122110niinnnnnssaasasasasasD式中，a00,si（i=1,2,,n）是系统的n个闭环极点。根据代数方程的基本理论，下列关系式成立：0211011aassaasnjijijinii01)1(aasnnnii7从上式可以导出，系统特征根都具有负实部的必要条件为：aiaj0(i,j=1,2,,n)即闭环特征方程各项同号且不缺项。如果特征方程不满足上式的条件，系统必然非渐近稳定。但满足上式，还不能确定一定是稳定的，因为上式仅是必要条件。下面给现系统稳定的充分必要条件。1.劳斯判据系统稳定的充要条件是：该方程式的全部系数为正，且由该方程式作出的劳斯表中第一列全部元素都要是正的；劳斯表中第一列元素符号改变的次数，等于相应特征方程式位于右半s平面上根的个数。81,11,11,21,21,11jiijiiiijcccccc表中：1）最左一列元素按s的幂次排列，由高到低，只起标识作用，不参与计算。2）第一，二行元素，直接用特征方程式的元素填入。3）从第三行起各元素，是根据前二行的元素计算得到。a0a2a4…a1a3a5…c1c2c3…┋…cn(an)snsn−1sn−2┋s1s0(i3,j=1,2,)92.劳斯判据的应用（1）判断系统的稳定性例3-5设有下列特征方程D(s)=s4+2s3+3s2+4s+5=0试用劳斯判据判别该特征方程的正实部根的数目。解：劳斯表第一列元素符号改变了2次，∴系统不稳定，且s右半平面有2个根。s4s3s2s1s013524615510例3-6系统的特征方程为D(s)=s33s+2=0试用劳斯判据确定正实数根的个数。解：系统的劳斯表为第一种特殊情况：劳斯表中某行的第一列元素为零，而其余各项不为零，或不全为零。对此情况，可作如下处理：s3s2s1s01302∞①用一个很小的正数ε来代替第一列为零的项，从而使劳斯表继续下去。②可用因子（s+a）乘以原特征方程，其中a可为任意正数，再对新的特征方程应用劳斯判据。11321b∵ε→0+时，b10，劳斯表中第一列元素符号改变了两次∴系统有两个正根，不稳定。（s+3）乘以原特征方程，得新的特征方程为：D1(s)=D(s)(s+3)=s4+3s33s27s+6=0s3s2s1s0130(ε)22s4s3s2s1s0136372/3620612例3-7设某线性系统的闭环特征方程为D(s)=s4+s33s2s+2=0试用劳斯判据判断系统稳定性。解:该系统的劳斯表如下第二种特殊情况：劳斯表中某行元素全为零。此时，特征方程中存在对原点对称的根（实根，共轭虚根或共轭复数根）。对此情况，可作如下处理：s4s3s2s1s013211220013由于劳斯表中第一列元素的符号改变了两次，∴系统有两个正根，系统不稳定。关于对原点对称的根，可解辅助方程求出。得s1=1和s2=1。对本例题，可用长除法求出另二个根，分别为s3=1和s4=2。用全为零上一行的系数构成一个辅助方程，对辅助方程求导，用所得方程的系数代替全零行，继续劳斯表。s4s3s2s1s0132112242F(s)=2s2+2F(s)=4s14（2）分析参数变化对稳定性的影响例3-8已知系统结构图如下，试确定使系统稳定时K的取值范围。解：系统特征方程式s3+3s2+2s+K=0要使系统稳定，劳斯表中第一列元素均大于零。0K6s3s2s1s0123K(6K)/3Ks(s+1)(s+2)R(s)C(s)K﹣+15（3）确定系统的相对稳定性例3-9检验多项式2s3+10s2+13s+4=0是否有根在s右半平面，并检验有几个根在垂直线s=1的右边？解：1)劳斯表中第一列元素均为正∴系统在s右半平面没有根，系统是稳定的。2)令s=s11坐标平移，得新特征方程为2s13+4s12s11=0s3s2s1s021310412.2416劳斯表中第一列元素不全为正，且第一列元素符号改变了一次，故系统在s1右半平面有一个根。因此，系统在垂直线s=1的右边有一个根。s13s12s11s1021410.512s13+4s12s11=0173.6稳态误差的定义及一般计算公式3.6.1误差的基本概念1.误差的定义误差的定义有两种：①从系统输入端定义，它等于系统的输入信号与主反馈信号之差，即E(s)=R(s)B(s)②从系统输出端定义，它定义为系统输出量的实际值与希望值之差。（性能指标中经常使用）对于单位反馈系统，两种定义是一致的。2.两种定义的关系G(s)R(s)C(s)﹣+H(s)E(s)B(s)18由图可知，R'(s)表示等效单位反馈系统的输入信号，也就是输出的希望值。因而，E'(s)是从输出端定义的非单位控制系统的误差。E(s)=R(s)B(s)=R(s)H(s)C(s))()()(1)()()(sCsRsHsCsRsE由此可见，从系统输入端定义的稳态误差，可以直接或间接地表示从系统输出端定义的稳态误差。G(s)H(s)R(s)C(s)1H(s)E'(s)R'(s)﹣+)()(1)]()()([)(1sEsHsCsHsRsH193.稳态误差ess定义：)(lim)(lim0sssEteetss终值定理例3-10设单位反馈控制系统的开环传函为试求当输入信号分别为r(t)=t2/2，r(t)=1(t)，r(t)=t，r(t)=sinωt时，控制系统的稳态误差。解：TssG1)(TssTssGssRsEe/1/111)(11)()()((1)当r(t)=t2/2R(s)=1/s3解法一：终值定理的条件31/1)(sTsssEsTsssEessss1/11lim)(lim0020解法二：TsTsTsTsTsssE/11/1)(2223e(t)=T(t－T)+T2e－t/T)(lim)(teeesstssss(2)当r(t)=1(t)R(s)=1/ssTsssRsGsE1/1)()(11)(0)(lim0ssEesss(3)当r(t)=tR(s)=1/s221/1)(sTsssETsTsssEsessss1/1lim)(lim0021221)(ssssET222222122111scssTTsTTTtTTtTTeTTteTtsin1cos11)(22222222)sin(cos1)(22tTtTTtess0)(sse)sin(122tTTTtg11(4)当r(t)=sinωtR(s)=ω/(s2+ω2)终值定理的条件不成立！223.6.2控制系统的类型不失一般性，开环传函可写为：N=0称为0型系统；N=1称为Ⅰ型系统；N=2称为Ⅱ型系统。等等在一般情况下，系统误差的拉氏变换为：)()(11)()()(sRsGsRssEke)()1()1()()()(011sGsKsTssKsNsMsGNNniimjjNk233.6.3给定信号作用下的稳态误差分析1.阶跃输入作用下的稳态误差)()(lim111)()(11lim00sHsGssHsGsessss令)()(lim0sHsGKsp系统的静态位置误差系数pssKe11容许位置误差容许位置误差希望输出的位置sssspeeK10型系统：Kp=Kess=1/(1+K)Ⅰ型及Ⅰ型以上系统：Kp=∞ess=0242.单位斜坡输入作用下的稳态误差)()(lim11)()(11lim020sHssGssHsGsessss令100lim)()(limNssvsKsHssGK静态速度误差系数vssKe1容许的位置误差希望的输出速度ssveK10型系统：Kv=0ess=∞Ⅰ型系统：Kv=Kess=1/KⅡ型及Ⅱ型以上系统：Kv=∞ess=0253.加速度输入作用下的稳态误差)()(lim11)()(11lim2030sHsGsssHsGsessss令2020lim)()(limNssasKsHsGsK静态加速度误差系数assKe1容许位置误差希望输出的加速度ssaeK10型系统：Ka=0ess=∞Ⅰ型系统：Ka=0ess=∞Ⅱ型系统：Ka=Kess=1/KⅢ型及Ⅲ型以上系统：Ka=∞ess=026阶跃、斜坡、加速度输入作用下的稳态误差r(t)=t2/2r(t)=tr(t)=1(t)静态误差系数系统型别ess=1/Kaess=1/Kvess=1/(1+Kp)KpKvKaN∞∞1/(1+K)K000∞1/K00∞∞K21/K0∞K0127例3-11已知两个系统如图所示，当参考输入r(t)=4+6t+3t2，试分别求出两个系统的稳态误差。解：图（a），Ⅰ型系统Kp=∞，Kv=10/4，Ka=0avpssKKKe66141图（b），Ⅱ型系统Kp=∞，Kv=∞，Ka=10/44.24/1066142sse10s(s+4)R(s)C(s)E(s)（a）﹣+10(s+1)s2(s+4)R(s)C(s)E(s)（b）﹣+283.6.4扰动作用下的稳态误差所有的控制系统除承受输入信号作用外，还经常处于各种扰动作用之下。因此，系统在扰动作用下的稳态误差数值，反映了系统的抗干扰能力。计算系统在扰动作用下的稳态误差，同样可以采用拉氏变换终值定理。例3-12控制系统如图G1(s)R(s)C(s)﹣+H(s)E(s)G2(s)N(s)++29H(s)=1，G1(s)=K1，G2(s)=K2/s(Ts+1)试求系统在单位阶跃给定和单位阶跃扰动共同作用下的稳态误差。解：（1）单位阶跃给定作用下的稳态误差:系统是Ⅰ型系统：Kp=∞ess=0（2）单位阶跃扰动作用下的稳态误差:系统误差为sKKsTsKsNTssKKTssKsEn1)()1(21)1()(