13本构方程

第十三章本构方程本构方程—塑性变形时应力状态与应变状态之间的关系的数学表达式，也称物理方程。应力应变关系的特点：1)弹性变形时应力应变呈线性关系且弹性变形是可拟的，可用广义胡克定律来描述。2)塑性变形时应力应变关系呈非线性的且塑性变形不可逆的。3)塑性应变状态和加载的历史过程有关。4)简单加载状态：加载过程中各应力分量始终保持比例关系且主轴的方向、顺序不变，则塑性应变分量也按比例增加，这时塑性应变全量与应力状态就有相对应的函数关系。到目前，描述应力应变关系的理论有两大类：♥增量理论(又称流动理论)—描述材料在塑性状态下应力与应变增量(或应变速度)之间的关系，如Levy-Mises理论和Prandtl-Reuss理论。♥♥全量理论—描述材料在塑性状态下应力与应变全量之间的关系，如Hencky方程和伊留辛理论。第一节弹性应力应变关系单向应力状态下线弹性阶段的应力应变关系服从虎克定律。将其推广到一般应力状态下的各向同性材料，就是广义虎克定律，即式中，E是弹性模量(MPa)；ν是泊松比；G是剪切模量(MPa)。三个弹性常数E、ν、G之间有如下关系:将式（17-1）的εx、εy、εz相加整理后得:即上式表明，弹性变形时其单位体积变化率与平均应力σm成正比，说明应力球张量使物体产生了弹性体积改变。将第一式分别减去，如同理得，因此应变偏量与应力偏量之间的关系，可写成如下形式简记为上式表示应变偏张量与应力偏张量成正比，表明物体形状的改变只是由应力偏张量引起的。由上面两式，广义虎克定律可写成张量形式广义虎克定律还可以写成比例及差比的形式及上式表明，应变莫尔圆与应力莫尔圆几何相似，且成正比。由以上分析可知，弹性应力应变关系有如下特点：1）应力与应变成线性关系。2）弹性变形是可逆的，应力应变关系是单值对应的。3）弹性变形时，应力球张量使物体产生体积变化，泊松比ν0.5。4）应力主轴与应变主轴重合。第二节塑性应力应变关系当质点应力超过屈服极限进入塑性状态时，应力应变关系一般不能一一对应，而是与加载路线有关。如图1所示，若是理想塑性材料，则同一σs可以对应任何应变(图中虚线)，若是硬化材料，则由σs加载到σe，对应的应变为εe，若由σf卸载到σe，则应变为。所以不是单值的一一对应关系。图1单向拉伸时的应力-应变曲线又例如，图2a为刚塑性硬化材料的单向拉伸和纯切时的应力-应变关系曲线。而图2b表示此材料承受拉、切复合应力时，在σ−τ坐标平面上的屈服轨迹，AB曲线为初始屈服轨迹，CD为后继屈服轨迹。图2不同加载路线的应力与应变a)应力-应变曲线b)屈服轨迹现将材料先单向拉伸至初始屈服点A(图2a)，再继续拉伸到后继屈服点C点，此时质点的应力为σc，应变为。因塑性变形不可逆，若卸载到E点，应变保留在变形体中，再施加切应力到后继屈服轨迹CD上的F点，这时的应力为，由于F点与C点在同一后继屈服轨迹上，等效应力相同，并未增加，不能进一步变形，所以应变状态并无变化，仍为C点的应变状态。说明应力应变不一一对应，主轴亦不重合。同理，先加切应力到B，继而到D，应力为，应变为，从D点再经另一条路线DIF到达F点，此时应力为，应变不变，仍为。从上例可以看出：由于加载路线不同，同一种应力状态可以对应不同的应变状态，同一应变状态，也可以对应不同的应力状态，而图2不同加载路线的应力与应变且应力与应变主轴不一定重合。根据以上的分析，塑性应力与应变关系有如下特点：1）应力与应变之间的关系是非线性的。2）塑性变形是不可逆的，应力应变关系不是单值对应的，与应变历史有关。3）塑性变形时可认为体积不变，即应变球张量为零，泊松比ν=0.5。4）全量应变主轴与应力主轴不一定重合。由于塑性应力应变关系与加载路线或加载的历史有关。因此，离开加载路线来建立应力与全量塑性应变之间的普遍关系是不可能的，一般只能建立应力与应变增量之间的关系，仅在简单加载下，才可以建立全量关系。所谓简单加载，是指在加载过程中各应力分量按同一比例增加，应力主轴方向固定不变。如图2b中，由原点O到F点的直线所表示的就是简单加载。第三节增量理论一、列维-密塞斯（Levy-Mises）理论Levy和Mises分别于1871和1913年建立了理想塑性材料的流动理论，该理论建立在下面四个假设基础上。1)材料是理想刚塑性材料，即弹性应变增量为零。塑性应变增量就是总应变增量。2)材料符合Mises屈服准则，即。3)每一加载瞬时，应力主轴与应变增量主轴重合。4)塑性变形时体积不变，即所以塑性应变增量偏张量就是应变增量张量，即在上述假设前提下，得到应变增量和应力偏量成正比的结论，即一、列维-密塞斯（Levy-Mises）理论式中，dλ是瞬时的非负比例系数，在加载的不同瞬间是变化的，在卸载时dλ=0。式称为Levy-Mises方程。由于，所以上式与广义虎克定律式形式上相似，也可以写成比例形式和差比形式：或一、列维-密塞斯（Levy-Mises）理论经推导得出联立以上两式可知，Levy-Mises方程还可以写成广义表达式由上式可以证明平面变形和轴对称问题的一些结论。一、列维-密塞斯（Levy-Mises）理论1)平面塑性变形时，设z向没有变形，则有，由上式，则得一、列维-密塞斯（Levy-Mises）理论2)若两个正应变增量相等，其对应的应力也相等。例如在某些轴对称问题中，，由式有，因此。Levy-Mises方程仅适用于理想刚塑性材料，它只给出了应变增量与应力偏量之间的关系。由于，因而不能确定应力球张量。因此，如果已知应变增量，只能求得应力偏量分量，一般不能求出应力。另一方面，如果已知应力分量，因为为常数，是不定值，也只能求得应变增量各分量之间的比值，而不能直接求出它们的数值。二、普朗特-劳斯（Prandtl-Reuss）理论Prandtl-Reuss理论是在Levy-Mises理论基础上进一步考虑弹性变形部分而发展起来的。即总应变增量的分量由弹、塑性两部分组成，即式中，塑性应变增量由Mises理论确定，弹性应变增量由广义虎克定律可写成张量形式，微分可得所以Prandtl-Reuss方程二、普朗特-劳斯（Prandtl-Reuss）理论上式也可写成Prandtl-Reuss理论与Levy-Mises理论的基本假设是类似的，差别在于前者考虑了弹性变形而后者未考虑，实质上后者是前者的特殊情况。增量理论着重指出了塑性应变增量与应力偏量之间的关系，可解释为它是建立起各瞬时应力与应变的关系，而整个变形过程可以由各瞬时的变形累积而得。因此增量理论能表达加载过程的历史对变形的影响，能反映出复杂加载情况。上述理论仅适用于加载情况，而卸载情况下需按虎克定律进行计算。第四节全量理论在小变形的简单加载过程中应力主轴保持不变，由于各瞬时应变增量主轴和应力主轴重合，所以应变主轴也将保持不变。在这种情况下，对应变增量积分便可得到全量应变。在这种情况下建立塑性变形的全量应变与应力之间的关系称为全量理论，亦称为形变理论。全量理论最早是由汉基（H.Hencky）于1924年提出。如果假定是刚塑性材料，而且不考虑弹性变形，则可用全量应变代替Mises方程中的应变增量，即：式中，上式也可以写成比例形式和差比形式，进一步写成广义表达式。如果是弹塑性材料的小变形，则同时要考虑弹性变形。此时，Hencky方程为：上式中第一式表示形状变形：前一项是塑性应变；后一项是弹性应变。第二式表示弹性体积变形。为了便于与广义虎克定律式进行比较，令G′为塑性切变模量，使得于是上式第一式可写成这样便与广义虎克定律式在形式上是一样的，区别仅在于G是材料常数，而G′是随变形过程而变的。且所以，可以把小变形全量理论看成是广义虎克定律在小塑性变形中的推广。例试确定下图两端封闭的受内压p的薄壁圆筒，产生塑性变形时，圆筒的周向、径向和轴向应变的比例（设径向应力可以忽略，即按求解）解:在上例中已求出圆筒的各应力分量为其平均应力为则应力偏量的分量为由列维－密塞斯方程得所以这是平面变形状态。