一、微分的定义二、微分的基本公式三、微分的四则运算法则

一、微分的定义二、微分的基本公式三、微分的四则运算法则四、微分形式的不变性五、微分在近似计算中的应用微分及其运算一、微分的定义当正方形的边长从变到时，相应的面积增量.函数增量分成两部分，一部分是的线性部分，一部分是关于的高阶无穷小0xxx0202020)(2)(xxxxxxSSxxx02x.)()(2xox当立方体的边长从变到时，相应的体积增量0xxx0.))()(3(3)(3220203030xxxxxxxxV函数增量分成两部分，一部分是的线性部分一部分是关于的高阶无穷小Vx,320xxx.)()()(3320xoxxx定义设y=f(x)在点的某邻域内有定义，属于该邻域.若0xxx0),()()(00xoxAxfxxfyx)(xox0xxA0x.|d,|d,|d000xAyfyxxxxxx即或其中A与无关，而是关于的高阶无穷小，则称y=f(x)在可微，而称为y=f(x)在点处的微分，记为定理3.7y=f(x)可微的充分必要条件是y=f(x)可导，且有.xxfyd)(d由于，即函数的导数等于函数的微分与自变量微分之比，因此导数也称微商.xyxfdd)(微分dy的几何意义，就是曲线y=f(x)在点处的切线的纵坐标的增量.0M二、微分的基本公式微分的基本公式：).(0d为常数cc.)(dd1为常数axaxxaa.dedexxx.d1lndxxx.dsincosdxxx.1)0(dlnd,aaxaaaxx).10(dln11logd,aaxaxxa.dcossindxxx.d11rccotd2xxxa.d11arccosd2xxx.d11arsind2xxx.d11arctand2xxx.dcsccotd2xxx.dsectand2xxx.dcotcsccscdxxxx.dtansecsecdxxxx三、微分的四则运算法则定理3.8设u=u(x)，v=v(x)可微，则,u,v可微，且有,dd)(dvuvu.dd)(dvuuvuv.ddddvuxvxu证xvuxvuvud)(d)()(dxvuvuxuvuvd)(d)()(d.ddddvuuvxvuxuvvu定理3.9设u=u(x)，v=v(x)可微，且，则可微,且有.0vvu2dd)(dvvuuvvu证xvvuvuxvuvudd)()(d22ddvxvuxuv.dd2vvuuv.d112yxxy，求例1设解22222)1()1(d)1()1(d)1()11(ddxxxxxxxy.d)1(21)1(d2)1(d)1(222222xxxxxxxxxx例2设y=xtanx－sinx，求dy.解)sind()tan(d)sintan(ddxxxxxxyxxxxxxdcos)tand(dtanxxxxxxxdcosdsecdtan2.d)cossec(tan2xxxxx注意，当然也可以直接用公式求微分.xyyddxxxxxxxd)sintan()sintan(d.d)cossec(tan2xxxxx.dln2yxxy，求例3设解xxxxxyd)ln()ln(dd22.d)ln2(d)1ln2(2xxxxxxxxx四、微分形式的不变性设y=f(u),u=g(x)都可微，则复合函数y=f(g(x))也可微，此时有.d)(d)()(dduufxxgufxyyx可见，若y=f(u)可微，不论u是自变量还是中间变量，总有，这就是微分形式的不变性.利用微分形式的不变性，可以计算复合函数的微分.uufyd)(d.d,)1(43yxy求例4设uuyd4d3解，则令1,34xuuy如果不引入中间变量u，则可.d)1(12d3)1(4332233xxxxxx.d)1(12d3433223xxxxxu)1(d)1(4d333xxy.desinyyxx，求例5设解)sin(dedsinxxyxx当然，也可以直接用公式来求微分，即求出后再乘以dx得到dy.xyyxddxy.d)cos(sinesinxxxxxx五、微分在近似计算中的应用设y=f(x)在可导，当自变量从变到x(即取得增量)，则有0x0x0xxx0xxx).()()()()(0000xxoxxxfxfxfx当x很接近时，即很小时，就有近似公式0x||||0xxx，xxxfxfxf)()()()(000即.)()()()(000xxxfxfxf当容易计算时，就可以用上述的近似公式来计算附近点的函数值.)(),(00xfxf0x例6.2的近似值计算解则令,)(,4.196.1xxf)96.12()96.1(')96.1()2(2fff.3414.104.04.1214.1