第十三章函数列与函数项级数

第十三章函数列与函数项级数首页ק1一致收敛性§2一致收敛函数列与函数项级数的性质§1一致收敛性一、函数列及其一致收敛性二、函数项级数及其一致收敛性三、函数项级数的一致收敛性判别法首页×首页×设)1(,,,,21nfff是一列定义在同一数集E上的函数，称为定义在E上的函数列，简记为{fn}或fn,n=1,2,...设x0∈E,将x0代入上述函数列，可得数列.),(,),(),(00201xfxfxfn一、函数列及其一致收敛性若此数列收敛，则称x0为函数列(1)的收敛点，若此数列发散，则称函数列(1)在x0发散．首页×使函数列(1)收敛的全体收敛点构成的集合，称为函数列(1)的收敛域．若函数列(1)在数集D⊂E上每一点都收敛，则称函数列(1)在数集D上收敛．记极限函数为f,则有Dxxfxfnn,)()(lim此极限的ε–N的定义是：对任何x∈D,任给的ε0,存在N0,使得当nN时，总有|fn(x)–f(x)|ε其中N既与ε有关也与x有关．首页×对于函数列，我们不仅要研究它在哪些点上收敛，而更重要的是要研究极限函数所具有的解析性质：即连续性、可微性、可积性．为此讨论函数列的一致收敛性．定义1设函数列{fn}与函数f都在数集D上有定义,若对任给的ε0,存在N0,使得当nN时，对任何x∈D,都有|fn(x)–f(x)|ε则称{fn}在D上一致收敛于f，记为.),()()(Dxnxfxfn首页×若函数列{fn}在D上一致收敛，则必在D上每一点都收敛，反之，不一定成立．例2证明函数列,2,1,sin)(nnnxxfn在(–∞,+∞)上一致收敛．证对任给的ε0,取N=1/ε,当nN时，对任何x∈(–∞,+∞),都有|0sin|nnxn1N1,所以函数列}sin{nnx在(–∞,+∞)上一致收敛于0．首页×函数列{fn}在D上不一致收敛于f的定义：若存在ε00,对任何N0,都存在n0N，且存在x0∈D,使得|fn0(x0)–f(x0)|≥ε0则称{fn}在D上不一致收敛于f．首页×例证明函数列{xn}在(0,1)上不一致收敛于0．证取,210对任何正整数N，当nN时，取nnnx10)1(,)1,0(则有|0)(|0nx1nn.21所以{xn}在(0,1)上不一致收敛于0．首页×定理13.1(函数列一致收敛的柯西准则)函数列{fn}在D上一致收敛于f的充要条件是：对任给的ε0,存在N0,使得当n,mN时，对任何x∈D,都有|fn(x)–fm(x)|ε．首页×定理13.2函数列{fn}在D上一致收敛于f的充要条件是：.0|)()(|suplimxfxfnDxn首页×设{un(x)}是定义在数集E上的一个函数列，表达式二、函数项级数及其一致收敛性)9()()()(21Exxuxuxun称为定义在E上的函数项级数，简记为1)(nnxu或)(xun称nkknxuxS1)()(为函数项级数(9)的部分和函数列．首页×若x0∈E时，数项级数)()()(00201xuxuxun收敛，则称x0为函数项级数(9)的收敛点，若此级数发散，则称函数项级数(9)在x0发散．函数项级数(9)在数集D⊂E上每一点都收敛，则称函数项级数(9)在D上收敛．级数(9)全体收敛点构成的集合D称为级数(9)的收敛域．级数(9)在收敛域D上的和S(x)称为级数(9)的和函数．记为.)()(1DxxuxSnn首页×.)()(limxSxSnn即函数项级数(9)的一致收敛性定义如下：定义2设{Sn(x)}是函数项级数∑un(x)的部分和函数列．若{Sn(x)}在数集D上一致收敛于函数S(x)，则称函数项级数∑un(x)在数集D上一致收敛于函数S(x)，或称∑un(x)在D上一致收敛．由于函数项级数的一致收敛性是由其部分和函数列的一致收敛性来定义的，所以由函数列一致收敛的定理可推出相应的函数项级数的定理：首页×定理13.3(一致收敛的柯西准则)函数项级数∑un(x)在D上一致收敛的充要条件是：对任给的ε0,存在N0,使得当mnN时，对任何x∈D,都有|Sm(x)–Sn(x)|ε．或.|)()()(|21xuxuxumnn.|)(|1mnkkxu首页×推论函数项级数∑un(x)在D上一致收敛的必要条件是：函数列{un(x)}在D上一致收敛于零．设函数项级数∑un(x)在D上的和函数为S(x),称Rn(x)=S(x)–Sn(x)为函数项级数∑un(x)的余项．定理13.4函数项级数∑un(x)在D上一致收敛于S(x)的充要条件是.0|)()(|suplimxSxSnDxn首页×例4函数项级数,102nnnxxxx的收敛域为(-1,1)，其和函数为.11)(xxS级数在[-a,a](a1)上一致收敛于;11)(xxS而在(-1,1)上不一致收敛于.11)(xxS首页×证级数的部分和函数为121)(nnxxxxS,11xxn|)()(|sup],[xSxSnaax|1|sup],[xxnaaxaan1.)(0n由此可得级数∑xn在[-a,a]上一致收敛．首页×但在(-1,1)上|)()(|sup)1,1(xSxSnx|1|sup)1,1(xxnx11)1(nnnnn1)1(nnnn.)(n由此可知级数∑xn在(-1,1)上不一致收敛．首页×定理13.5（魏尔斯特拉斯判别法）设函数项级数∑un(x)定义在数集D上，若对一切x∈D，有|un(x)|≤Mn,n=1,2,...且正项级数∑Mn收敛，则函数项级数∑un(x)在数集D上一致收敛．三、函数项级数的一致收敛性判别法此判别法也称为M判别法或优级数判别法．称级数∑Mn为级数∑un(x)的优级数．首页×定理13.6（阿贝尔判别法）设⑴∑un(x)在区间I上一致收敛；⑵对每一个x∈I，{vn(x)}是单调的；⑶{vn(x)}在I上一致有界，即存在M0,使得对任何x∈I，|vn(x)|≤M,n=1,2,...则函数项级数∑un(x)vn(x)在数集I上一致收敛．首页×定理13.7（狄利克雷判别法）设⑴∑un(x)的部分和函数列,2,1)()(1nxuxUnkkn在I上一致有界；⑵对每一个x∈I，{Un(x)}是单调的；⑶{vn(x)}在I上一致收敛于0，则函数项级数∑un(x)vn(x)在数集I上一致收敛．