3.2导数与函数的单调性、极值、最值

中国教育培训领军品牌全力以赴赢在环雅1§3.2导数与函数的单调性、极值、最值1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间。2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值；会求闭区间上函数的最大值、最小值。1．函数的单调性设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，如果在(a，b)内，f′(x)0，则f(x)在此区间是增函数；如果在(a，b)内，f′(x)0，则f(x)在此区间是减函数．2．函数的极值已知函数y＝f(x)，设x0是定义域(a，b)内任一点，如果对x0附近所有点x，都有f(x)f(x0)，则称函数f(x)在点x0处取极大值，记作y极大＝f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个极大值点；如果在x0附近都有f(x)f(x0)，则称函数f(x)在点x0处取极小值，记作y极小＝f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个极小值点．3．求可导函数极值的步骤(1)求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的所有实数根；(3)考察在每个根x0附近，从左到右，导函数f′(x)的符号如何变化．如果f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；如果f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值．如果在f′(x)＝0的根x＝x0的左、右侧，f′(x)符号不变，则f(x0)不是极值．4．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)求可导函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在(a，b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．教学目标学习内容知识梳理例题讲解中国教育培训领军品牌全力以赴赢在环雅2题型一利用导数研究函数的单调性例1已知函数f(x)＝ex－ax－1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)是否存在a，使f(x)在(－2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．思维启迪函数的单调性和函数中的参数有关，要注意对参数的讨论．解f′(x)＝ex－a，(1)若a≤0，则f′(x)＝ex－a≥0，即f(x)在R上单调递增，若a0，ex－a≥0，∴ex≥a，x≥lna.因此当a≤0时，f(x)的单调增区间为R，当a0时，f(x)的单调增区间是[lna，＋∞)．(2)∵f′(x)＝ex－a≤0在(－2,3)上恒成立．∴a≥ex在x∈(－2,3)上恒成立．又∵－2x3，∴e－2exe3，只需a≥e3.当a＝e3时，f′(x)＝ex－e3在x∈(－2,3)上，f′(x)0，即f(x)在(－2,3)上为减函数，∴a≥e3.故存在实数a≥e3，使f(x)在(－2,3)上为减函数．思维升华(1)利用导数的符号来判断函数的单调性；(2)已知函数的单调性求函数范围可以转化为不等式恒成立问题；(3)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)≠0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．巩固(1)设函数f(x)＝13x3－(1＋a)x2＋4ax＋24a，其中常数a1，则f(x)的单调减区间为________．答案(2,2a)解析f′(x)＝x2－2(1＋a)x＋4a＝(x－2)(x－2a)，由a1知，当x2时，f′(x)0，故f(x)在区间(－∞，2)上是增函数；当2x2a时，f′(x)0，故f(x)在区间(2,2a)上是减函数；当x2a时，f′(x)0，故f(x)在区间(2a，＋∞)上是增函数．综上，当a1时，f(x)在区间(－∞，2)和(2a，＋∞)上是增函数，在区间(2,2a)上是减函数．中国教育培训领军品牌全力以赴赢在环雅3(2)若f(x)＝－12x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是________．答案(－∞，－1]解析转化为f′(x)＝－x＋bx＋2≤0在[－1，＋∞)上恒成立，即b≤x(x＋2)在[－1，＋∞)上恒成立，令g(x)＝x(x＋2)＝(x＋1)2－1，所以g(x)min＝－1，则b的取值范围是(－∞，－1]．题型二利用导数求函数的极值例2设a0，函数f(x)＝12x2－(a＋1)x＋a(1＋lnx)．(1)求曲线y＝f(x)在(2，f(2))处与直线y＝－x＋1垂直的切线方程；(2)求函数f(x)的极值．思维启迪(1)通过f′(2)的值确定a；(2)解f′(x)＝0，然后要讨论两个零点的大小确定函数的极值．解(1)由已知，得x0，f′(x)＝x－(a＋1)＋ax，y＝f(x)在(2，f(2))处切线的斜率为1，所以f′(2)＝1，即2－(a＋1)＋a2＝1，所以a＝0，此时f(2)＝2－2＝0，故所求的切线方程为y＝x－2.(2)f′(x)＝x－(a＋1)＋ax＝x2－a＋1x＋ax＝x－1x－ax.①当0a1时，若x∈(0，a)，f′(x)0，函数f(x)单调递增；若x∈(a,1)，f′(x)0，函数f(x)单调递减；若x∈(1，＋∞)，f′(x)0，函数f(x)单调递增．此时x＝a是f(x)的极大值点，x＝1是f(x)的极小值点，函数f(x)的极大值是f(a)＝－12a2＋alna，极小值是f(1)＝－12.②当a＝1时，f′(x)＝x－12x0，所以函数f(x)在定义域(0，＋∞)内单调递增，此时f(x)没有极值点，故无极值．③当a1时，若x∈(0,1)，f′(x)0，函数f(x)单调递增；中国教育培训领军品牌全力以赴赢在环雅4若x∈(1，a)，f′(x)0，函数f(x)单调递减；若x∈(a，＋∞)，f′(x)0，函数f(x)单调递增．此时x＝1是f(x)的极大值点，x＝a是f(x)的极小值点，函数f(x)的极大值是f(1)＝－12，极小值是f(a)＝－12a2＋alna.综上，当0a1时，f(x)的极大值是－12a2＋alna，极小值是－12；当a＝1时，f(x)没有极值；当a1时，f(x)的极大值是－12，极小值是－12a2＋alna.思维升华(1)导函数的零点并不一定就是函数的极值点．所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是函数的极值点．(2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．巩固设f(x)＝ex1＋ax2，其中a为正实数．(1)当a＝43时，求f(x)的极值点；(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围．解对f(x)求导得f′(x)＝ex·1＋ax2－2ax1＋ax22.①(1)当a＝43时，若f′(x)＝0，则4x2－8x＋3＝0，解得x1＝32，x2＝12.结合①，可知x－∞，121212，323232，＋∞f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值所以x1＝32是极小值点，x2＝12是极大值点．(2)若f(x)为R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号，结合①与条件a0，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立，即Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0，由此并结合a0，知0a≤1.所以a的取值范围为{a|0a≤1}．题型三利用导数求函数的最值例3已知函数f(x)＝ax2＋1(a0)，g(x)＝x3＋bx.(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；中国教育培训领军品牌全力以赴赢在环雅5(2)当a＝3，b＝－9时，若函数f(x)＋g(x)在区间[k,2]上的最大值为28，求k的取值范围．思维启迪(1)题目条件的转化：f(1)＝g(1)且f′(1)＝g′(1)；(2)可以列表观察h(x)在(－∞，2]上的变化情况，然后确定k的取值范围．解(1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x2＋b.因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，所以f(1)＝g(1)且f′(1)＝g′(1)，即a＋1＝1＋b且2a＝3＋b，解得a＝3，b＝3.(2)记h(x)＝f(x)＋g(x)，当a＝3，b＝－9时，h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，所以h′(x)＝3x2＋6x－9.令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1.h′(x)，h(x)在(－∞，2]上的变化情况如下表所示：x(－∞，－3)－3(－3,1)1(1,2)2h′(x)＋0－0＋＋h(x)28－43由表可知当k≤－3时，函数h(x)在区间[k,2]上的最大值为28；当－3k2时，函数h(x)在区间[k,2]上的最大值小于28.因此k的取值范围是(－∞，－3]．思维升华(1)求解函数的最值时，要先求函数y＝f(x)在[a，b]内所有使f′(x)＝0的点，再计算函数y＝f(x)在区间内所有使f′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．(2)可以利用列表法研究函数在一个区间上的变化情况．巩固已知函数f(x)＝xlnx.(1)求函数f(x)的极值点；(2)设函数g(x)＝f(x)－a(x－1)，其中a∈R，求函数g(x)在区间[1，e]上的最小值．(其中e为自然对数的底数)．解(1)f′(x)＝lnx＋1，x0，由f′(x)＝0得x＝1e，所以f(x)在区间(0，1e)上单调递减，在区间(1e，＋∞)上单调递增．所以，x＝1e是函数f(x)的极小值点，极大值点不存在．(2)g(x)＝xlnx－a(x－1)，则g′(x)＝lnx＋1－a，由g′(x)＝0，得x＝ea－1，所以，在区间(0，ea－1)上，g(x)为递减函数，在区间(ea－1，＋∞)上，g(x)为递增函数．当ea－1≤1，即a≤1时，在区间[1，e]上，g(x)为递增函数，中国教育培训领军品牌全力以赴赢在环雅6所以g(x)的最小值为g(1)＝0.当1ea－1e，即1a2时，g(x)的最小值为g(ea－1)＝a－ea－1.当ea－1≥e，即a≥2时，在区间[1，e]上，g(x)为递减函数，所以g(x)的最小值为g(e)＝a＋e－ae.综上，当a≤1时，g(x)的最小值为0；当1a2时，g(x)的最小值为a－ea－1；当a≥2时，g(x)的最小值为a＋e－ae.A组1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f′(x)0是f(x)为增函数的充要条件．(×)(2)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的．(×)(3)函数的极大值不一定比极小值大．(√)(4)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件．(×)(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．(√)(6)函数f(x)＝xsinx有无数个极值点．(√)2．函数f(x)＝x2－2lnx的单调减区间是()A．(0,1)B．(1，＋∞)C．(－∞，1)D．(－1,1)答案A解析∵f′(x)＝2x－2x＝2x＋1x－1x(x0)．∴当x∈(0,1)时，f′(x)0，f(x)为减函数；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)0，f(x)为增函数．3．(2013·浙江)已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，则()A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值答案C解析当k＝1时，f′(x)＝ex·x－1，f′(1)≠0.∴x＝1不是f(x)的极值点．当k＝2时，f′(x)＝(x－1)(xex＋ex－2)综合题库中国教育培训领军品牌全力以赴赢在环雅7显然f′(1)＝0，且x在1的左边附近f′(x)0，x在1的右边附