3.2导数的计算

3.2.1几个常用函数的导数一、复习1.求函数的导数的方法是:(1)()();yfxxfx求函数的增量(2):()();yfxxfxxx求函数的增量与自变量的增量的比值0(3)()lim.xyyfxx求极限，得导函数说明:上面的方法中把x换成x0即为求函数在点x0处的导数.2.函数f(x)在点x0处的导数就是导函数在x=x0处的函数值,即.这也是求函数在点x0处的导数的方法之一。)(0xf)(xf0|)()(0xxxfxf3.函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率.二、几种常见函数的导数根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式.0()CC公式一：为常数:(),yfxC解1)函数y=f(x)=c的导数.()()0,yfxxfxCC0,yx0()lim0.xyfxCx二、几种常见函数的导数'1x公式二：:(),yfxx解2)函数y=f(x)=x的导数.()()(),yfxxfxxxxx1,yx0()'lim1.xyfxxx二、几种常见函数的导数2'2xx公式三：（）2:(),yfxx解3)函数y=f(x)=x2的导数.222()()()2,yfxxfxxxxxxx222,yxxxxxxx220002()()'limlimlim(2)2.xxxyxxxfxxxxxxx二、几种常见函数的导数211'xx公式三：（）1:(),yfxx解4)函数y=f(x)=1/x的导数.11()()()xyfxxfxxxxxxx1,()yxxxx200111()()'limlim.()xxyfxxxxxxx可以直接使用的基本初等函数的导数公式11.(),'()0;2.(),'();3.()sin,'()cos;4.()cos,'()sin;5.(),'()ln(0);6.(),'();17.()log,'()(0,1);ln8.aaxxxxafxcfxfxxfxaxfxxfxxfxxfxxfxafxaaafxefxefxxfxaaxa公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则且公式若1()ln,'();fxxfxx则练习：1求下列幂函数的导数35325)4()3(1)2(1xyxyxyxy）（注意:关于是两个不同的函数,例如:axxa和)3)(1(x))(2(3x3ln3x23x练习1、求下列函数的导数。(1)y=5(2)y=x4(3)y=x-2(4)y=2x(5)y=log3x0y34xy3ln1xy3322xxy2ln2xy练习2、求下列函数的导数。1、y=52、y=xn3、y=sinx4、y=cosx5、y=ax6、y=ex7、y=logax8、y=lnx9、y=x5+sinx-7x10、y=6x-cosx+log7x11、y=ex+lnx+9x712、y=4ex-2cosx+7sinx导数的运算法则:二、知识新授法则1:两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差），即：).()(])()([xgxfxgxf.sin)()1(.12的导数求函数例xxxfxxxxxxxfcos2)(sin)()sin()(22解：.2623)()2(23的导数求函数xxxxg633)6()23()()623()(22323xxxxxxxxxg解：法则2:两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数的导数．即：).()()()(])()([xgxfxgxfxgxf法则3:)).((])([为常数CxfCxCf.ln2)()2(.sin)()1(2的导数求函数的导数求函数：例xxxfxxxhxxxxxxxxxxhcossin)(sinsin)sin()()1(:解2ln2))(ln2(ln)2()ln2()()2(xxxxxxxxf法则4:两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方,即：)()()()()(])()([2xgxgxfxgxfxgxf0)(xg其中.1)()1(32的导数求函数：例ttts)1()()1(:解2ttts222)1()1(ttttt22222112ttttt的导数.ex(2)求函数f(x)x)()()2(:解xexxf2)()(xxxeexexxxxxxxxexexeeeexex1)()(22的导数xxysin.32xxxxxy2'2'2'sin)(sinsin)(解：xxxxx22sincossin2处的导数在点求333.42xxxy222')3(2)3()3(1xxxxy解：222)3(36xxx61)33(3363)3(,3222fx时当例2：求下列函数的导数：(1)y＝x5－3x3－5x2＋6；(2)y＝(2x2＋3)(3x－2)；(3)y＝x－1x＋1；(4)y＝x·tanx.解：(1)y′＝(x5－3x3－5x2＋6)′＝(x5)′－(3x3)′－(5x2)′＋6′解：(2)法一：y′＝(2x2＋3)′(3x－2)＋(2x2＋3)(3x－2)′＝5x4－9x2－10x.＝4x(3x－2)＋(2x2＋3)·3解：(2)法二：∵y＝(2x2＋3)·(3x－2)＝6x3－4x2＋9x－6，＝18x2－8x＋9.∴y′＝18x2－8x＋9.题型一：导数公式及导数运算法则的应用解：(3)y′＝(x－1x＋1)′例2：求下列函数的导数：(3)y＝x－1x＋1；(4)y＝x·tanx.＝x－1′x＋1－x－1x＋1′x＋12＝x＋1－x－1x＋12＝2x＋12例2：求下列函数的导数：(3)y＝x－1x＋1；(4)y＝x·tanx.解：(4)y′＝(x·tanx)′＝(xsinxcosx)′＝xsinx′cosx－xsinxcosx′cos2x＝sinx＋xcosxcosx＋xsin2xcos2x＝sinxcosx＋xcos2x.练习：求下列函数的导数(1)y＝x(x2＋1x＋1x3)；(2)y＝exsinx；(3)y＝x＋3x2＋3.解：(1)∵y＝x(x2＋1x＋1x3)＝x3＋1＋1x2，解：(2)y′＝(exsinx)′＝(ex)′sinx＋ex(sinx)′∴y′＝3x2－2x3.解：(3)y′＝(x＋3x2＋3)′＝x＋3′x2＋3－x＋3x2＋3′x2＋32＝exsinx＋excosx＝ex(sinx＋cosx)．＝x2＋3－x＋3×2xx2＋32＝－x2－6x＋3x2＋32.练习:求下列函数的导数:322224(1)2312(2);(3);1(4)tan;(5)(23)1;1(6);(7);yxxyxxxyxyxyyxyxxxx答案:2(1)32;yx2221(3);(1)xyx21(4);cosyx326(5);1xxyx2314(2);yxx54(6);yx3(7);2yx练习：已知函数xf的导函数为xf'，且满足2'232xfxxf，则5'f.如何用导数解决与切线有关的问题?设切点求出切线方程依据题意，代人条件代数求解得到结论3.函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率.4.求切线方程的步骤：（2）求出函数在点x0处的变化率，得到曲线在点(x0,f(x0))的切线的斜率。0()fx（3）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即000()()().yfxfxxx（1）找切点一、已知切点，求曲线的切线曲线的切线问题，是高考的常见题型之主要有以下几类问题：1、函数lgyx在点1,0处的切线方程是__________一、已知切点，求曲线的切线曲线的切线问题，是高考的常见题型之主要有以下几类问题：1、已知函数y＝xlnx（1）求这个函数的导数（2）求这个函数的图像在点1x处的切线方程【变式训练】1．（2010全国Ⅱ卷）若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则a＝，b＝．a＝1，b＝12．（2010辽宁）已知点P在曲线y＝4ex＋1上，θ为曲线在点P处的切线的倾斜角，则θ的取值范围是．[3π4，π)二、过曲线上一点，求切线方程例2已知函数f(x)＝x3－3x(x∈R）的图像为曲线C，曲线C的切线l经过点A(2，2)，求切线l的方程．解设切点为(t，t3－3t)，切线l的斜率为k＝3t2－3，切线方程为y－(t3－3t)＝(3t2－3)(x－t)．因为l过点A(2，2)，所以2－(t3－3t)＝(3t2－3)(2－t)，即t3－3t2＋4＝0，解得t＝2或t＝－1．①当t＝2时，l：9x－y－16＝0；②当t＝－1时，l：y＝2．综上，切线l的方程为y＝2或9x－y－16＝0．三、过曲线外一点，求切线方程例3过点A(0,16)作曲线f(x)＝x3－3x(x∈R）的切线，求此切线方程．练习：已知曲线y=.34313x（1）求曲线在点（2，4）处的切线方程；（2）求曲线过点（2，4）的切线方程.．1.已知曲线C：f(x)=x3求曲线C上横坐标为1的点处的切线方程(3,5)P变式1：试求过点且与曲线相切的直线方程。2yx21010250xyxy或解：因为点不在曲线上，设此切线过抛物线上的点，则(3,5)P200(,)xx思路：设出切点利用导数的几何意义和已知条件去求点不在曲线上的切线方程3.已知P（-1，1），Q（2，4）是曲线y=x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线y=x2的切线方程。看几个例子:2log2.yx例3.已知x，求曲线在点处的切线方程12(2)22ln2yx例5：点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．解：根据题意设平行于直线y＝x的直线与曲线y＝ex相切于点(x0，y0)，该切点即为与y＝x距离最近的点，如图．则在点(x0，y0)处的切线斜率为1，∵y′＝(ex)′＝ex，即y′|x＝x0＝1.∴ex0＝1，得x0＝0，代入y0＝ex0，得y0＝1，利用点到直线的距离公式得距离为22.即P(0,1)．例6.已知曲线S1:y=x2与S2:y=-(x-2)2,若直线l与S1,S2均相切,求l的方程.解:设l与S1相切于P(x1,x12),l与S2相切于Q(x2,-(x2-2)2).对于则与S1相切于P点的切线方程为y-x12=2x1(x-x1),即y=2x1x-x12.①,2,1xyS对于与S2相切于Q点的切线方程为y+(x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即y=-2(x2-2)x+x22-4.②),2(2,2xyS因为两切线重合,.02204)2(222121222121xxxxxxxx或若x1=0,x2=2,则l为y=0;若x1=2,x2=0,则l为y=4x-4.所以所求l的方程为:y=0或y=4x-4.思考讨论1：若曲线C：上任意一点处的切线的倾斜角都是锐角，求的取值范围。3222yxaxaxa01.5a2.求在曲线的切线斜率中斜率最小