数学期望

1随机变量的数学期望教学目的与要求：使学生掌握数学期望的定义及计算随机变量的数学期望教学重点：随机变量函数的期望的定义与求法.教学难点：随机变量函数的期望的定义与在其他学科方面的应用.教学课时：2教学方法：讲授法及多媒体辅助教学。教学内容与步骤：一数学期望概念的引入历史上著名的分赌本问题：17世纪中叶，一位赌徒向法国数学家帕斯卡（1623-1662）提出一个使他苦恼长久的分赌本问题：甲、乙两赌徒赌技相同，各出赌注50法郎，每局中无平局。他们约定谁先赢三局，则得全部赌本100法郎。当甲赢了二局，乙赢了一局时，因故要中止赌博。问这100法郎如何分才算公平？这个问题涉及数学期望。二、数学期望的定义1.定义设离散随机变量X的分布列为()(),1,2,,iiippxPXxin如果1||()iiixpx，则称1()()iiiEXxpx为随机变量X的数学期望，或称为该分布的数学期望，简称期望或均值。若级数1||()iiixpx不收敛，则称X的数学期望不存在。2.定义设连续随机变量X的密度函数为p(x),如果||()xpxdx，则称()()EXxpxdx为X的数学期望，或称为该分布的数学期望，简称期望或均值。若||()xpxdx不收敛，则称X的数学期望不存在。2例1．假设有10只同种电器元件，其中两只废品，从这批元件中任取一只，如果是废品，则扔掉重新取一只，如仍是废品，则扔掉再取一只，试求在取到正品之前，已取出的废品只数的数学期望和方差。解设X为已取出的废品只数，则X的分布为012881104545XP所以82245459EX，例2设X服从区间(,)ab上的均匀分布，求()EX。解:21)(baxdxabXEba注：例:设随机变量X具有如下的分布，求E(X).,...2,1,21}2)1({kkXPkkk说明：虽然有kkxXPxkkkkkkkkk1)1(212)1(}{111收敛，但是：111}{||kkkkkxXPx发散，所以E(X)不存在。例3（数学期望在医学中的应用）在某地区进行某种疾病普查,为此要检验每一个人的血液,如果当地有N个人,若逐个检验就需要检验N次,现在要问:有没有办法减少检验的工作量？我们先把受检验者分组,假设每组有k个人,把这k个人的血液混合在一起进行检验,如果检验的结果为阴性,这说明k个人的血液全为阴性,因而这k个人总共只要检验一次就够了,检验的工作量显然是减少了.但是如果检验的结果为阳性,为了明确k个人中究竟是哪几个人为阳性,就要对这k个人再逐个进行检验,这时k个人检验的总次数为k+1次,检验的工作量反而有所增加.显然,这时k个人需要的检验次数可能只要1次,也可能要k+1次,是一个随机变量,为了和老方法比较工作量的大小,应该求出它的平均值(也就是平均检验次数).3在接受检验的人群中,各个人的检验结果是阳性还是阴性,一般都是独立的(如果这种病不是传染病或遗传病),并且每一个人是阳性结果的概率为p,是阴性结果的概率为q=1-p,这时k个人一组的混合血液呈阴性结果的概率为qk,呈阳性结果的概率则为1-qk.现在令为k个人一组混合检验时每人所需的检验次数,由上述讨论可知的分布列为:kkqqkk1/11/1.由此即可求得每个人所需的平均检验次数为:kqqkqkEkkk11)1)(11(1)(而按原来的老方法每人应该检验1次,所以当111kqk,即kkq1时,用分组的办法(k个人一组)就能减少检验的次数.如果q是已知的,还可以从kqEk11)(中选取最合适的整数k0,使得平均检验次数)(E达到最小值,从而使平均检验次数最少.对一些不同的p值,下表给出了使)(E达到最小的k0值.阳性反应率pk0阳性反应率pk0阳性反应率pk0阳性反应率pk00.14030.06050.01680.008120.13030.05050.01590.007120.12040.04060.01490.006130.11040.03060.01390.005150.10040.02080.012100.004160.09040.01980.011100.003190.08040.01880.010110.002230.07040.01780.009110.00132我国某医疗机构在一次普查中,由于采用了上述这种分组方法,结果每100个人的平均检验次数为21,减少工作量达79﹪.当然,减少的工作量的大小与p的数值有关,也与每组人数k有关.我们已经熟悉了随机变量的数学期望,由定义,在求数学期望时应该先求出该随机变量的分布列.但在求随机变量的函数)(g的数学期望时,可以不必求)(g的分布列而只要直接利用原随机变量的分布列就可以了,这对简化计算当4然是有利的.为此需要下面的定理.三、数学期望的性质1.基本性质（１）若ｃ是常数，则Ｅ（ｃ）＝ｃ．（２）对任意的常数ａ，Ｅ（ａＸ）＝ａ．2.定理若随机变量Ｘ的分布用分布列()ipx或用密度函数()px表示，则Ｘ的某一函数()gX的数学期望为1()(),(())g()(),iiigxpxEgXxpxdx在离散场合；在连续场合。对该定理进行简单说明，但不要求证明。例4（应用于经济问题）．设某种商品每周的需求量X是服从区间[10,30]上均匀分布的随机变量，而经销商店进货量为区间[10,30]中的某一个整数，商店每销售一单位商品可获利500元；若供大于求则削价处理，每处理一单位商品亏损100元；若供不应求，则从外部调剂供应，此时每一单位商品仅获利300元，为使商店所获利润期望值不少于9280元，试确定最小进货量。解设商店获得的利润为T，进货量为y，则500()300,30,()500()100,10.yXyyXTgXXyXXy300200,30,600100,10,XyyXXyXy由题意9280()()ETgxfxdx30101(600100)(300200)20yyxydxxydx27.53505250,yy即27.535040300yy.5解不等式得220263y，即使利润的期望值不少于9280元的最少进货量为21个单位.教学总结：数学期望概念在中学数学中已经引进，在大学概率中的教学着重在中学基础上的加深，1）在定义时重点强调收敛性，2）例题教学时着重应用，即解释了定义又能提高学生的兴趣。作业：1，3