9.质点动力学的基本方程

§9–1动力学的基本定律牛顿三大定律（1）惯性定律（2）（3）作用与反作用定律1。第一定律和第二定律仅对质点运动或作平动的刚体有效。2。第二定律仅在惯性参照系内成立。3。第三定律不仅适用于惯性系，同时也适用于非惯性系下物体之间的相互作用关系。第九章质点动力学的基本方程iFam§9–2质点的运动微分方程iintFsmFsmS2上投影：将其在自然轴iiizyxFzmFymFxm影：将其在直角坐标系下投∑∑i22iFdtrdmFam==有：矢量形式的微分方程式由第二定律的数学表达Fdtrdm22作用在质点的合力为图示的FxFxmyFymzFzm直角坐标下tFsmnFsm2自然坐标下tanaS(t)MFaxyzOMtrFaxayazakzjyixr(2)已知力求运动—用积分法。1》力是时间的函数—直接积分。2》力是常矢量—直接积分。3》力是空间位置（坐标）的函数—作变量替换后再积分。)(tFF)()(),,(FFSFFzyxFF§9–3质点动力学两类基本问题xFxmyFymzFzmtFsmnFsm2已知x=x(t)y=y(t)z=z(t)或S=S(t)(1)已知运动求力–用微分法或代数法。ccvvcdSSFmvmvdSSFmvdvdSSFmvdvdSSFSdSmSFdtdSdSSdmSFSmSFma运动路径）（）（）（）（即）（例如：:)(2121)(2021104》力是其他变量的函数—较难积分。小球质量为m，悬挂于长为L的细绳上，绳重不计。小球在铅垂面内摆动。小球在最低处时速度为vo，摆到最高处时小球的速度为零，且绳与铅垂夹角为θo。求：1》小球在最低处A和最高处B时绳子的拉力。2》小球在绳子与铅垂成任意夹角θ时的速度。例一、nFsm2由解:1》取小球在A、B处进行受力及运动分析:mgFLvmAo12位置对02cos0mgFB位置对oOBAAovnagm1FBθogmta2FmgLvmF20102cosmgFsinmgSmFSmt得由BOAStanagmov2》取运动到任意位置的小球分析dddtddd由变量替换DLgcos22积分得(求:小球在绳子与铅垂成任意夹角θ时的速度.)LgLvDLv222000得由)cos1(22202LgLvcos12cos1220202gLvvgLvvdLgdsinsinsinLggL例二、质量为m的小球以水平速度vo射入静水中.水对小球的阻力F与小球的速度方向相反,而大小为F=v,μ为阻尼系数.忽略水对小球的浮力.求小球在重力和阻力作用下的运动方程.MOxyovvFgm)2(vmgdtdvymgymyy解:取小球分析运动及受力)1(vmdtdvxxmxx由动力学基本方程的水平投影式:由动力学基本方程的铅垂投影式:由初始条件：0v,vv,0ty0x将（1），（2）定积分分别得：)4(dtmdvvmg1)3(dtmdvv1t0yv0yt0xvvxyx0)6()e1(mgv5evvtmytm0x）（gtm)1e(gmy)e1(vmx:tm22tm0整理可得MOxyovvFgm将（3），（4）计算得：由初始条件：0y,0x,0t再将（5），（6）定积分分别得：dte1mgdydtevdxt0tmy0tmt00x0例三、(参见书上例9–3)一圆锥摆.小球质量m=0.1kg,细绳长l=0.3m.小球在水平面内作匀速圆周运动,此时绳与水平面成=60º.求小球的速度及绳子的拉力的大小.解：取小球为研究对象，受力及运动分析如图示.建立自然投影坐标由动力学基本方程iFamNmgFFmgb13.13260sin0:0方向smVVFrVmFmann/92.08475.01.060cos3.013.15.05.030sin:0220方向FnanbmgAO60ºMV方向的投影如何?例四、(书上例9–4)粉碎机滚筒半径为R,绕通过中心的水平轴匀速转动,筒内铁球由筒壁上的凸棱带着上升.为了使铁球获得粉碎矿石的能量,铁球应在=0时才掉下来.求滚筒每分钟的转数.00解:取位置在0处的小球为研究对象，受力及运动情况如图FNFgmna由题意,当=0时FN=0.由nFsm202cosmgRm02cosRg0cosRg0cos30260Rgn例五、滑块B重G=9.8(N).通过固结在滑块上的销钉由摇杆OA带动.在摇杆与水平线夹角=30º时,=2rad/s,=2rad/s²,OB=0.5m.设摇杆的质量与各处的摩擦不计.求:此时,导槽对滑块的约束力及销钉B与摇杆之间的作用力.OAB解:首先对系统进行运动分析.取销钉为动点,OA杆为动系.速度分析：30ºaVrVeVBsmVVsmVVsmOBVareae/3130sin/3230cos/15.0200加速度分析：BaaraneaeaCa60º22/25.04smOBane22/3342/1smVasmOBarCeBaaraneaeaCaxy加速度分析.：22/25.04smOBane22/3342/1smVasmOBarCe20/82.330cos:smaaaayaaaaaaCeaCrenea轴投影向由即是B点的加速度为3.82m/s²取滑块B为研究对象,分析其运动和受力.xy30ºNFBFGBaBNFGFmaGFymBBBB73.152330cos0NFFFxmNBN86.730sin00为了求B点的加速度,我们还可以用‘函数法’.OAB取过滑块的中线与过O点的水平线的交点为坐标原点,建立坐标轴O1y.O1yB点的运动方程：mOBOO4330cos01tgtgOOyB431222222sec43sec23sec43secsec23sec43tgtgyyBB230/82.3332380smyB2/82.3smaBBa例六、质量为20kg的物块B用2m长的绳子悬挂在30kg的小车上.不计摩擦。试确定系统从图示位置释放瞬时,小车的加速度和绳子的张力.AB30°F´BBagmBBAaAa030AFgmAAa030)2(8.92020)1(5.08.9153030sin30sin:00FaFmgamBFaFgmamBBBAAAA分析取物块取小车分析解)(126/7:)3(),2(),1()3(5.030sin20NFsmaaaaaaaABAAABBAAB得由沿铅垂方向投影将绳为刚体平面运动释放后FN关于运动微分方程坐标轴方向的选择问题:如果由题意能判断出运动的方向(速度方向),则选择坐标轴的方向尽量与运动的方向一致.vRFgm试建立坐标列方程用如图示受重力和空气阻力的作已知运动质点vFmRxyOymgymvmgFmgymxvFxmyRyxRxvRFgmxyOymgymvmgFmgymxxmyRy思考题9–4.某人用枪瞄准了空中一悬挂的靶体.如在子弹射出的同时靶体开始自由下落,不计空气阻力,问子弹能否击中靶体?答曰:必中靶体.tytvysin02021singttvy221gth课后作业:9–3,9–7,9–10