牛顿拉夫逊法

牛顿拉夫逊法（一）牛顿-拉夫逊法在数学上是求解非线性代数方程式的有效方法。其要点是把非线性方程式的求解过程变成反复地对相应的线性方程式进行求解的过程，即通常所称的逐次线性化过程。牛顿法解非线性方程原理：将非线性方程线性化——Taylor展开取x0x*，将f(x)在x0做一阶Taylor展开:20000)(!2)())(()()(xxfxxxfxfxf，在x0和x*之间。将(x*x0)2看成高阶小量，则有：)*)(()(*)(0000xxxfxfxf)()(*000xfxfxx线性xyx*x0x1)()(1kkkkxfxfxx迭代公式：将非线性代数方程组(1-22)在待求量的某一个初始估计值附近，展开成泰勒级数并略去二阶及以上的高阶项，得到线性化方程组(1-24)称为牛顿法的修正方程式。0)(xfx)0(x(0)(0)(0)()()0fxfxx由上式根据初值可求得第一次迭代的修正量(1-25)将和相加，得到变量的第一次改进值。(0)(0)1(0)[()]()xfxfx)0(x)0(x)0(x)1(x因此，应用牛顿法求解的迭代格式为(1-26)(1-27)上两式中：是函数对于的一阶偏导数矩阵，即雅可比矩阵，为迭代次数。牛顿法当初值和方程的精确解足够接近时，具有平方收敛特性。()()()()()kkkfxxfx)()()1(kkkxxx()fx)(xfxJk)0(x（二）牛顿潮流算法的修正方程式将牛顿法用于求解电力系统潮流计算问题时，由于所采用的数学表达式以及复电压变量采用的坐标形式的不同，可以形成牛顿潮流算法的不同形式。以下讨论用得最广泛的采用功率方程式模型，而电压变量分别采用极坐标和直角坐标的两种形式。)(xf1极坐标形式令，对每个节点及节点，根据式(1-13)，有(1-28)对每个节点，根据式(1-14)，有(1-29)iiiUUPQPV0)sincos(iijijijijijjiiPBGUUPPQ0)cossin(iijijijijijjiiQBGUUQ将上述方程式在某个近似解附近用泰勒级数展开，略去二阶及以上的高阶项后，得到以矩阵形式表示的修正方程式(1-30)式中：为节点个数，为节点数，雅可比矩阵是阶非奇异方阵。1111PnnHNMLQUUnmnmnmPV22mn雅可比矩阵各元素的表示式如下：2(sincos)()(1-31)()(1-32)ijijijijjiiijiiiijUUGBjiPHUBQji2(cossin)(ji)(1-33)(ji)(1-34)ijijijijijiijjiiiijUUGBPNUUGPU2(cossin)(ji)(1-35)(ji)(1-36)ijijijijijiijiiiijUUGBQMUGP2(sincos)(ji)(1-37)(ji)(1-38)ijijijijijiijjiiiijUUGBQLUUBQU2直角坐标形式令，此时每个节点，都有两个方程式。因此共有个方程式。对每个PQ节点，根据式(1-11)和式(1-12)有：(1-39)(1-40)iiijfeU2(1)nPQ()()0iiijjijjiijjijjijiPeGeBffGfBeP()()0iiijjijjiijjijiijiQfGeBfeGfBeQ对每个节点，除了有与式(1-39)相同的有功功率方程式之外，还有(1-41)采用直角坐标形式的修正方程式为(1-42)PV2222()0iiiiUefU21e11f1nPHNnnmQMLnRSmU雅可比矩阵各元素的表示式如下：ji()(ji)(1-43)()(ji)(1-44)ijiijiiijijjijjiiiiiijGeBfPHGeBfGeBfe(ji)(1-45)()(ji)(1-46)ijiijiiijijjijjiiiiiijjiBeGfPNGfBeBeGff(ji)(1-47)()(ji)(1-48)ijiijiiijijjijjiiiiiijjiBeGfQMGfBeBeGfeji(ji)(1-49)()(ji)(1-50)ijiijiiijijjijjiiiiiijGeBfQLGeBfGeBff20(ji)(1-51)2(ji)(1-52)iijijURee20(ji)(1-53)2()(1-54)iijijUSfjif分析以上两种类型的修正方程式，可以看出两者具有以下的共同特点。(1)修正方程式的数目分别为及个，在节点比例不大时，两者的方程式数目基本接近个。(2)雅可比矩阵的元素都是节点电压的函数，每次迭代，雅可比矩阵都需要重新形成。mn1212nPV12n(3)从雅可比阵非对角元素的表示式可见，某个非对角元素是否为零决定于相应的节点导纳矩阵元素是否为零。如将修正方程式按节点号的次序排列，并将雅可比矩阵分块，把每个阶子阵作为分块矩阵的元素，则按节点号顺序而构成的分块雅可比矩阵将和节点导纳矩阵具有同样的稀疏结构，是一个高度稀疏的矩阵。ijY22等如ijijijijijijijijSRNHLMNH(4)和节点导纳矩阵具有相同稀疏结构的分块雅可比矩阵在位置上对称，但由于，所以雅可比矩阵不是对称阵。修正方程式的这些特点决定了牛顿法潮流程序特点，在设计算法时应重点考虑。jiijjiijjiijjiijLLMMNNHH,,,（三）修正方程式的处理和求解有效地处理修正方程式是提高牛顿法潮流程序计算速度并降低内存需求量的关键。结合修正方程式的求解，目前实用的牛顿法潮流程序的程序特点主要有以下三个方面，这些程序特点对牛顿法潮流程序性能的提高起着决定性的作用。1对于稀疏矩阵，在计算机中只储存其非零元素，且只有非零元素才参加运算。2修正方程式的求解过程，采用对包括修正方程常数项的增广矩阵以按行消去的方式进行消元运算。由于消元运算按行进行，因此可以边形成增广矩阵，边进行消元运算，边存储结果，即每形成增广矩阵的一行，便马上进行消元，并且消元结束后便随即将结果送内存存储。3节点编号优化。经过消元运算得到的上三角矩阵一般仍为稀疏矩阵，但由于消元过程中有新的非零元素注入，使得它的稀疏度比原雅可比矩阵有所降低。分析表明，新增非零元素的多少和消元的顺序或节点编号有关。节点编号优化的作用即在于找到一种网络节点的重新编号方案，使得按此构成的节点导纳矩阵以及和它相应的雅可比矩阵在高斯消元或三角分解过程中新增的非零元素数目能尽量减少。节点编号优化通常有三种方法：(1)静态法―按各节点静态连接支路数的多少顺序编号。由少到多编号；(2)半动态法一按各节点动态连接支路数的多少顺序编号；(3)动态法一按各节点动态增加支路数的多少顺序编号。消去节点后出现新支路数最少的节点。三种节点编号优化方法中动态法效果最好，但优化本身所需计算量也最多，而静态法则反之。对于牛顿法潮流计算来说，一般认为，采用半动态法似乎是较好的选择。例题：如图所示，母线1为平衡节点，δ1＝0，U1＝1.0，母线2为PV节点，U2＝0.95，P2＝PG2－PL2＝4－2＝2，母线3为PQ节点，P3＝－PL3＝－4.0，Q3＝－QL3＝－1.5。试写出此系统的功率方程。～～（1）将xi(0)代入，算出△f，J中各元素，代入上式方程组，解出△xi(0)；（2）修正xi(1)＝xi(0)＋△xi(0)，算出△f，J中各元素，代入上式方程组，解出△xi(1)；2)(1)(x)x(kkf或直至计算步骤：注意：xi的初值要选得接近其精确值，否则将不迭代。