同济高数七版第一章

高等数学教学课件课件研制：军械工程学院张士军高等教育出版社高等教育电子音像出版社教材版本：同济七版绪论一、高等数学课程介绍二、预备知识绪论一、高等数学课程介绍二、预备知识绪论一、高等数学课程介绍（一）研究对象（二）教学内容（三）研究方法（四）教学目的一、高等数学课程介绍（一）研究对象（二）教学内容（三）研究方法（四）教学目的函数一、高等数学课程介绍（一）研究对象（二）教学内容（三）研究方法（四）教学目的一、高等数学课程介绍（一）研究对象（二）教学内容（三）研究方法（四）教学目的导数微分函数极限连续分析引论微分学不定积分定积分积分学应用中值定理元素法切线、图形、速度…面积、体积、作功…多元函数偏导数全微分重积分线面积分多元函数微分学多元函数积分学应用切线、法平面、梯度…曲面面积、体积、质心…空间解析几何无穷级数常微分方程一元函数微积分多元函数微积分导数微分函数极限连续分析引论微分学不定积分定积分积分学应用中值定理元素法切线、图形、速度…面积、体积、作功…多元函数偏导数全微分重积分线面积分多元函数微分学多元函数积分学应用空间解析几何无穷级数常微分方程微分学积分学切线、法平面、梯度…曲面面积、体积、质心…导数微分函数极限连续分析引论微分学不定积分定积分积分学应用中值定理元素法切线、图形、速度…面积、体积、作功…多元函数偏导数全微分重积分线面积分多元函数微分学多元函数积分学应用空间解析几何无穷级数常微分方程微积分主体专题切线、法平面、梯度…曲面面积、体积、质心…导数微分函数极限连续分析引论微分学不定积分定积分积分学应用中值定理元素法切线、图形、速度…面积、体积、作功…多元函数偏导数全微分重积分线面积分多元函数微分学多元函数积分学应用空间解析几何无穷级数常微分方程理论切线、法平面、梯度…曲面面积、体积、质心…应用导数微分函数极限连续分析引论微分学不定积分定积分积分学应用中值定理元素法切线、图形、速度…面积、体积、作功…多元函数偏导数全微分重积分线面积分多元函数微分学多元函数积分学应用切线、法平面、梯度…曲面面积体积、质心…空间解析几何无穷级数常微分方程一、高等数学课程介绍（一）研究对象（二）教学内容（三）研究方法（四）教学目的一、高等数学课程介绍（一）研究对象（二）教学内容（三）研究方法（四）教学目的极限方法导数微分函数极限连续分析引论微分学不定积分定积分积分学应用中值定理元素法切线、图形、速度…面积、体积、作功…多元函数偏导数全微分重积分线面积分多元函数微分学多元函数积分学应用切线、法平面、梯度…曲面面积体积、质心…空间解析几何无穷级数常微分方程导数微分函数极限连续分析引论微分学不定积分定积分积分学应用中值定理元素法切线、图形、速度…面积、体积、作功…多元函数偏导数全微分重积分线面积分多元函数微分学多元函数积分学应用切线、法平面、梯度…曲面面积体积、质心…空间解析几何无穷级数常微分方程导数微分函数极限连续分析引论微分学不定积分定积分积分学应用中值定理元素法切线、图形、速度…面积、体积、作功…多元函数偏导数全微分重积分线面积分多元函数微分学多元函数积分学应用切线、法平面、梯度…曲面面积体积、质心…空间解析几何无穷级数常微分方程导数微分函数极限连续分析引论微分学不定积分定积分积分学应用中值定理元素法切线、图形、速度…面积、体积、作功…多元函数偏导数全微分重积分线面积分多元函数微分学多元函数积分学应用切线、法平面、梯度…曲面面积体积、质心…空间解析几何无穷级数常微分方程导数微分函数极限连续分析引论微分学不定积分定积分积分学应用中值定理元素法切线、图形、速度…面积、体积、作功…多元函数偏导数全微分重积分线面积分多元函数微分学多元函数积分学应用切线、法平面、梯度…曲面面积体积、质心…空间解析几何无穷级数常微分方程导数微分函数极限连续分析引论微分学不定积分定积分积分学应用中值定理元素法切线、图形、速度…面积、体积、作功…多元函数偏导数全微分重积分线面积分多元函数微分学多元函数积分学应用切线、法平面、梯度…曲面面积体积、质心…空间解析几何无穷级数常微分方程导数微分函数极限连续分析引论微分学不定积分定积分积分学应用中值定理元素法切线、图形、速度…面积、体积、作功…多元函数偏导数全微分重积分线面积分多元函数微分学多元函数积分学应用切线、法平面、梯度…曲面面积体积、质心…空间解析几何无穷级数常微分方程导数微分函数极限连续分析引论微分学不定积分定积分积分学应用中值定理元素法切线、图形、速度…面积、体积、作功…多元函数偏导数全微分重积分线面积分多元函数微分学多元函数积分学应用切线、法平面、梯度…曲面面积体积、质心…空间解析几何无穷级数常微分方程一、高等数学课程介绍（一）研究对象（二）教学内容（三）研究方法（四）教学目的一、高等数学课程介绍（一）研究对象（二）教学内容（三）研究方法（四）教学目的一、高等数学课程介绍二、预备知识绪论一、高等数学课程介绍二、预备知识绪论二、预备知识逻辑符号对任意的，对所有的，(Any)存在一个，（Exist)充要条件A是B的充分条件，B是A的必要条件A是B的充要条件绝对值不等式或第一讲映射与函数函数映射特例函数概念映射映射的概念定义设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对X中每个元素x，按法则f，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，那么称f为从X到Y的映射，记作：y=f(x)XYxyf原像像定义域值域注（1）映射的三要素：定义域、值域的范围、对应法则；（2）映射的像唯一，但原像不一定唯一；（3）映射又称为算子，在不同数学分支中有不同的名称非空集X数集YX上的变换非空集X非空集XX上的函数实数集X实数集YfX上的泛函XY集合区间邻域函数概念映射构造逆映射逆映射若f是从集合X到集合Y的映射满射、单射和双射XYf逆映射设f是从集合X到集合Y的映射满射、单射和双射若即Y中的任一元素y都是X中某元素的像,则称f为X到Y上的映射或满射若对X中任意两个不同的元素它们的像则称f为X到Y的单射XYfY=f(X)逆映射若f是从集合X到集合Y的映射若映射f既是满射又是单射,则称f为一一映射或双射.满射、单射和双射若即Y中的任一元素y都是X中某元素的像,则称f为X到Y上的映射或满射若对X中任意两个不同的元素它们的像则称f为X到Y的单射XYf逆映射若f是从集合X到集合Y的映射若映射f既是满射又是单射,则称f为一一映射或双射.满射、单射和双射若即Y中的任一元素y都是X中某元素的像,则称f为X到Y上的映射或满射若对X中任意两个不同的元素它们的像则称f为X到Y的单射Xf逆映射若f是从X到Y的单射，可定义一个从到X的新映射g对每个规定这x满足这个映射g称为f的逆映射，记作注(1)只有单射才存在逆映射(2)逆映射的定义域值域集合区间邻域函数概念映射构造逆映射复合映射复合映射定义设有两个映射其中则由映射g和f可以定出一个从X到Z的对应法则，它将每个映成这个对应法则确定了一个从X到Z的映射，这个映射称为映射g和f构成的复合映射，记作即：注(1)映射g和f构成复合映射的条件：(2)映射g和f的复合是有顺序的1Y例题设对每个映射f是否单射？是否满射？例1设映射f将平面上的一个圆心在原点单位圆周上的点投影到x轴的区间上(1)3.写出下列映射的定义域和值域，并回答如下问题：若存在逆映射，求出逆映射(2)1.2.设对每个例2设有映射对每个映射对每个求复合映射集合区间邻域函数概念映射构造逆映射复合映射概念函数的概念定义设数集,RD则称映射为定义在D上的函数,通常简记为Dxxfy,)(f(D)因变量自变量定义域值域注(1)注意符号f和f(x)的区别(2)表示函数的记号可以任意选取(3)函数的要素：定义域对应法则函数的要素1．定义域定义域是非空的数集定义域的求法：(1)使表达式有意义的自变量的集合.(2)例3求函数)12arcsin()34ln()(xxxf的定义域2．对应法则表示法：(1)解析法表格法图象法解析式的理解：(2)一系列的运算程序例如：xxxf11)(理解为：11)(f注只有当两个函数的定义域和对应法则都相同时，这两个函数才是相同的，否则就是不同的.例4下列函数是否相同，为什么？(1)(2)函数的几种特性1．函数的有界性设函数f(x)的定义域为D，数集DX如果存在数使得,1K1)(Kxf对任一Xx都成立那么称函数f(x)在X上有上界称为函数f(x)在X上的一个上界1Kxoy类似可以定义函数f(x)在X上有下界函数的几种特性1．函数的有界性设函数f(x)的定义域为D，数集如果存在数使得DX,1K1)(Kxf对任一Xx都成立那么称函数f(x)在X上有上界称为函数f(x)在X上的一个上界1K类似可以定义函数f(x)在X上有下界xoy注(1)有界性的概念须明确数集DX(2)若函数f(x)在X上有上(下)界，则上(下)界不唯一例：xxf1)(在)1,0(内有下界，但没有上界在)2,1(内既有下界，也有上界函数的几种特性1．函数的有界性设函数f(x)的定义域为D，数集DX注函数f(x)在X上有界例：xxf1)(在)1,0(内无界如果存在正数使得,MMxf|)(|对任一Xx都成立那么称函数f(x)在X上有界如果这样的不存在M就称函数f(x)在X上无界即：,0M,1Xx使Mxf|)(|1函数f(x)在X上既有上界，又有下界xxfsin)(在),(内有界，xoy函数的几种特性2．函数的单调性设函数f(x)的定义域为D，区间DI如果对于区间I上的任意两点x1及x2，那么称函数f(x)在区间I上是单调增加的xoy21xx当时，恒有)()(21xfxf类似可定义函数f(x)在区间I上是单调减少的x1x2函数的几种特性2．函数的单调性设函数f(x)的定义域为D，区间DI如果对于区间I上的任意两点x1及x2，那么称函数f(x)在区间I上是单调增加的xoy21xx当时，恒有)()(21xfxf类似可定义函数f(x)在区间I上是单调减少的x1x2例：2)(xxf在),0[上单调增加在]0,(上单调减少在),(上不是单调的单调增加和单调减少的函数统称为单调函数函数的几种特性3．函数的奇偶性设函数f(x)的定义域D关于原点对称那么称函数f(x)为偶函数如果对于任一,Dx)()(xfxf恒成立那么称函数f(x)为奇函数如果对于任一,Dx)()(xfxf恒成立注偶函数的图形关于y轴对称,奇函数的图形关于原点对称函数的几种特性3．函数的奇偶性例：eech2xxx偶函数称为双曲余弦函数eesh2xxx奇函数称为双曲正弦函数xxxchshth称为双曲正切函数xyoexexxychxyoexexxyshoyx11xythxoy1函数的几种特性4．函数的周期性例：Cxf)(常量函数那么称函数f(x)为周期函数，l称为f(x)的周期.注设函数f(x)的定义域为D，对于任一如果存在一个正数l，,Dx,)(Dlx有且)()(xflxf使得恒成立周期函数在每个周期上有相同的图形（1）（2）通常周期函数的周期是指最小正周期（3）并非每个周期函数都有最小正周期狄利克雷函数CxxxfQ0Q1)(集合区间邻域函数概念映射构造逆映射复合映射概念构造反函数反函数概念注(1)(2)设函数是单射，)(:DfDf则它存在逆映射DDff)(:1称映射为函数f的反函数.1f一般地，Dxxfy),(的反函数记成)(),(1Dfxxfyf在D上单调增加（减少），且1f必定存在1f在f(D)上也单调增加（减少）关于直线y=x对称函数y=f(x)与其反函数)(1xfy的图形集合区间邻域函数概念映射构造逆映射复合映射概念构造反函数复合函数复合函数概念注(1)(2)fgDR函数g与函数f构成复合函数gf的条件：设函数y=f(u)的定义域为gD且其值域