D2.3-2.5 特殊、分块、逆矩阵

§2.3几种特殊的矩阵称为对角矩阵(或对角阵）.n00000021（一）对角矩阵形如的方阵,记作.,,,21ndiagA100010001nII称为单位矩阵（或单位阵）。（二）单位矩阵,21naaaB只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量).只有一行的矩阵,,,,21naaaA称为行矩阵(或行向量)。（三）行(列)矩阵（四）上(下)三角矩阵阶上三角矩阵称为naaaaaaAnnnn22211211.21222111阶下三角矩阵称为naaaaaaBnnnn（五）对称阵与反对称阵.),,,2,1,(,,)(为对称矩阵称则如果中在方阵AnjiaaaAjiijnij为对称矩阵762681210A为反对称阵032301210B如为反对称矩阵则称如果.,,,2,1,,Anjiaajiij例1证明任一n阶矩阵A都可表示成一个对称阵与一个反对称阵之和.证明TAAC设TTTAAC)(则AAT,C所以C为对称矩阵.,TAAB设()TTTBAA则AAT,B所以B为反对称矩阵.22TTAAAAA,22BC命题得证。证明:因为例2设列矩阵X=(x1x2···xn)T,满足XTX=1,E为n阶单位矩阵,H=E–2XXT,证明:H为对称矩阵,且HHT=E.HT=(E–2XXT)T=ET–2(XXT)T=E–2XXT=H.所以,H为对称矩阵.=E2–E(2XXT)–(2XXT)E+(2XXT)(2XXT)=E–4XXT+4(XXT)(XXT)=E–4XXT+4X(XTX)XT=E–4XXT+4XXT=EHHT=H2=(E–2XXT)2例3.设()ijnnAa为证明思路：P87第26题n阶的对称矩阵，且对任意的1n矩阵X有0TXAX=，则必有A=O.110nnTijijijaxxXAX=0iia0iiijjijjijjiaaaaaaijjiaa0ijjiaa§2.4分块矩阵对于行数和列数较高的矩阵A，为了简化运算，经常采用分块法，使大矩阵的运算化成小矩阵的运算.具体做法是：将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为A的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.A1a1C002C10010a3Cbb11004C,4321AAAAbbaaA110101000001有相同的分块法采用列数相同的行数相同与设矩阵,,,1BA那末列数相同的行数相同与其中,,ijijBA.11111111srsrssrrBABABABABAsrsrsrsrBBBBBAAAAA11111111,(2)设1111rssrAAAAA,为常数,则1111rssrAAAAA1111rssrCCABCC11,,;1,,.tijikkjkCABisjr(3)即是方阵且非零子块都其余子块都为零矩阵上有非零子块角线的分块矩阵只有在主对若阶矩阵为设.,,,5AnA,21sAAAAOO,411srAAA设rA11sA.11TsrTTAAA则TsA1TrA1例1123321456A2,222222222123321456A2446642.81012例1设10000100,12101101A10101201,10411120B解:把1011012100100001A,EEO1A求.AB,AB分块成0211140110210101B11BE21B22B则2221111BBEBEAOEAB.2212111111BABBAEB.2212111111BABBAEBAB又21111BBA11012101112111012043,114202141121221BA,1333于是2212111111BABBAEBAB.1311334210410101我们知道在数学上有很多运算是成对出现的…那么，我们前面讨论的矩阵的乘法是否存在除法呢？更一般地，在初等数学中解方程ax=b，当a≠0时，x=a-1b。那么矩阵方程AX=b，是否也有X=A-1b呢？§2.5逆矩阵.2110,0112:BA如2110,0112BA其逆矩阵为可逆逆矩阵。的一个称为是可逆的，并把方阵则称方阵使得阶方阵如果存在一个阶方阵对于定义ABAIBAABBnAn*,,1如果不存在满足(*)式的方阵,则称方阵A是不可逆的。BAIAB1001则逆矩阵是唯一的。的是可逆的，那末如果矩阵定理AA1,,IACCAIABBAACB的逆矩阵，则有都是和设矩阵证即逆矩阵是唯一的。证毕。从而CICCBAACBBIB)()(方阵的A逆阵记为A－1。0B，B是奇异的例如100210321A01A，A是非奇异的100200321B0A0A设A是n阶方阵，若，则称A为非奇异方阵；若，则称A为奇异方阵。【例8】设A、B都是n阶方阵，证明AB是非奇异的充要条件是A、B都是非奇异方阵。证明：已知AB是非奇异方阵，则0AB,BAAB0,0BA即A、B都是非奇异方阵已知A、B都是非奇异方阵，则0,0BA于是0BAAB即AB是非奇异方阵OBABA22且B非奇异，证明A，A+B均是非奇异的。OBABA22由2)(BBAA得2)(BBAA则由B非奇异，知0B0)(BAABAA因此由此得0A0,BA即A，A+B均是非奇异的。证明：21Bn21Bn例（补）设n阶方阵A、B满足由逆阵的定义知：单位阵I是可逆的，且I的逆阵就是I本身。更一般地，对角矩阵时当0,,0,0,,,,2121nnaaaaaadiag其逆矩阵是).,,(11211naaadiag二、方阵可逆的充分必要条件定义2设A是n阶方阵，Aij是行列式|A|中元素aij的代数余子式，则矩阵nnnnnnAAAAAAAAA212221212111的排列顺序元素中这里特别要注意记作的伴随矩阵称为矩阵ijAAAA**.,nnnnnnaaaaaaaaa212222111211的伴随矩阵。求方阵例3431223211A2,2,2,5,6,3332313322212AAAAAA4,6,23412)1(31211111AAAaAij的代数余子式分别为中各元素矩阵解：222563462*A所以它的伴随矩阵||,***IAAAAAAAnA则有：的伴随矩阵。是阶矩阵是设引理),(),(*ijijbAAaA记证明：设代数余子式的性质知则由矩阵乘法的定义和jijiAAAabijjknkikij0||1IAAA||*类似地有,||)(||*IAAAAij的伴随矩阵。为矩阵，其中，且可逆的充要条件是阶矩阵定理AAAAAAAn**1||0||2,,,111IAAAAAA且则存在可逆若必要性证可得从若充分性IAAAAAA||,0**,11IAA两边取行列式得.0A因而,11**IAAAAAA.1,,*1AAAA且可逆由矩阵可逆的定义知若n阶矩阵A的行列式不为零，即|A|≠0，则称A为非奇异(非退化)矩阵，否则称为奇异(退化)矩阵。此外，定理不仅给出了矩阵可逆的条件，而且也告诉我们，对阶数不大的矩阵，可以通过伴随矩阵求它的逆阵。.1112/532/3231222563462211A如例1中，222563462*A343122321A因为|A|=2≠0，所以A可逆，且推论设A，B是n阶方阵，且AB=I，那么，BA=I，即A，B都可逆，且B-1=A，A-1=B。证：由条件A，B都是n阶方阵，且AB=I，得|A||B|=|I|=1≠0；所以|A|≠0，从而由定理2可知A，B都可逆。再由条件AB=I可得，BA=(A-1A)BA=A-1(AB)A=A-1IA=I。由定义1知：且B-1=A，A-1=B。:2例)0,,,.(,:,12ccbaAAOcIbAaAA且为常数且求为可逆矩阵证明满足设方阵cIbAaAOcIbAaA22:,:得由解IAIcbAcaIAcbAcac)(,)(02即IcbAcaAIBAIcbAcaB1,则使存在;)(111AA）（IAAABBAABAB11111)())(()3(证三、可逆阵的性质设A，B为同阶可逆矩阵，是非零常数，则IIAAAATTTT)()()4(11证;1)()2(11AA;)()3(111ABAB;)()()4(11TTAA.)5(11AA.)(111ABAB由推论可得：.)()(11TTAA例3设A，B为三阶方阵，I是三阶单位阵，且满足：AB+I=A2+B，又知.,301020101BA求矩阵))(()(,2IAIABIAIABAB即为将已知的矩阵方程变形解,01201010100IA因为即得式两边同乘以在可逆矩阵所以1)(**.,IAIA.401030102IAB(**)例4设方阵A与B满足A－B=AB，证明A+I可逆,且求出它的逆阵.解由条件A－B=AB可得，A+I－B－AB=I，(A+I)－(A+I)B=I，于是(A+I)(I－B)=I。所以，A+I可逆，且其逆阵(A+I)－1=I－B。。是满足求矩阵设例CAXBXCBA,103321,3512,34312232151111111111,,CBAXCBAAXBBABABA即右乘上式，左乘上式，存在，则用解：若222563462211A知的逆阵由例而可逆，且12513,013512||1ABBB1112532323111CBAX注：矩阵的左乘和右乘一定要注意！25131033