FXQ-3航天器姿态运动学和动力学

第三章航天器姿态运动学和动力学3.1航天器的姿态运动学3.2航天器的姿态动力学3.3航天器的一般运动方程3.4姿态干扰力矩航天器的姿态运动学是从几何学的观点来研究航天器的运动，它只讨论航天器运动的几何性质，不涉及产生运动和改变运动的原因；而航天器的姿态动力学则是研究航天器绕其质心运动的状态和性质。所以航天器姿态的运动方程须由两部分组成，一部分为通过坐标变换关系得出的运动学方程，另一部分则是以牛顿动力学定律(如动量矩定律)为基础的动力学方程。本章中将航天器视作刚体。第三章天器的姿态运动学和动力学3.1.1常用参考坐标系坐标系形式很多，每种坐标系都有其自己的特点，因此也就只适用于一定的范围，所以根据具体情况选择坐标系是必要的。一般来说，讨论航天器姿态运动常用的坐标系，主要有4种。3.1航天器的姿态运动学1．惯性坐标系所有的运动都要参照的基本坐标系是惯性坐标系，2．质心平动坐标系这是一个与惯性坐标系密切相关的坐标系。原点O位于航天器质心，OX，OY，OZ轴分别与某一惯性坐标系的坐标轴保持平行。3．质心轨道坐标系简称轨道坐标系。这是一个以航天器质心为原点的正交坐标系，如图3．1所示。OXYZ质心轨道坐标系4．本体坐标系Oxyz又称为星体坐标系。在此坐标系中，原点0在航天器质心，Ox，Oy，Oz三轴固定在航天器本体上。若Ox，Oy，Oz三轴为航天器的惯量主轴，则该坐标系称为主轴坐标系。3.1.2航天器的姿态运动学方程在坐标系确定以后，航天器上任何一点的位置就可以在固联于星体的本体坐标系Oxyz中表示；若要描述三轴稳定航天器的对地定向运动，则要借助于质心轨道坐标系；若要讨论自旋卫星的章动运动时，就必须运用质心平动坐标系OXYZ。而各种坐标系之间的关系可以通过一系列旋转角来表示，这些旋转角称为欧拉角。具体地说可以通过3个欧拉角,,来确定本体坐标系Oxyz相对于其他坐标系的位置。000Oxyz以坐标系Oxyz和OXYZ为例，星体轴的位置可通过3次旋转达到OXYZ坐标轴的位置。旋转顺序具有多种形式，但不能绕一个轴连续旋转两次，因为连续两次旋转等同于绕这个轴的一次旋转。为此可以得出两类12种可能的旋转顺序如下：一类：1-2-3，l-3-2，2-3-1，2-1-3，3-1-2，3-2-1；二类：3-1-3，2-l-2，1-2-1，3-2-3，2-3-2，1-3-1。显然，一类是每轴仅旋转一次，二类是某一轴不连续地旋转两次。下面详细介绍被称为经典欧拉转动顺序的“3-1-3”旋转和“1-2-3”旋转。1．“3-1-3”旋转(1)OXYZ一绕OZ(“3”)轴转角：如图3．2所示，这两个坐标系之间的变换矩阵为(3.1)cossin0sincos0001XXYYZZO(2)绕(“1”)轴转角：如图3．3所示，这两个坐标系之间的变换矩阵为(3.2)1000cossin0sincosOOO(3)绕(“3”)轴转角：如图3．4所示，这是最后一次旋转，此时已达到了航天器的本体坐标系Oxyz。两者的变换矩阵可推导为(3.3)OOOxyzcossin0sincos0001xyz综合以上变换，坐标系OXYZ与Oxyz之间的直接转换关系即为ZYXzyxαβγαβα若令,则通过A可以把质心平动坐标系OXYZ中表示的矢量分量变换成为本体坐标系Oxyz中表示的分量，即(3.4)AZYXzyxA若坐标系Ozyz中的分量已知，需要确定坐标系OXYZ中的分量，则利用两个坐标系之间正交变换的逆矩阵就等于它的转置矩阵这一性质，即得到（3.5）1TAAzyxZYXTA其中（3.6）(3.7)coscossinsinsinsincoscoscoscossinsinsincoscoscossinsinsincoscossinsincossincossincoscosAcossincossinsincossincoscoscossinsincoscossinsincossinsinsincoscoscossinsincossincoscosTA这样，利用经典欧拉转动，通过3个欧拉角就将航天器的本体坐标系Oxyz和质心平动坐标系相互联系起来了。基于欧拉转动顺序”3-1-3”，可以进一步将航天器的空间转动角速度ω在本体坐标系中的分量用欧拉角表示，从而推导出航天器的姿态运动学方程。,,zyx,,中国新一代通信卫星---东方红三号如图3．5所示。将角速度沿和轴分解，则,和在正交坐标系中的分量分别为：轴为，轴为，轴为。再将轴和轴分量按Ox和Oy轴分解，其结果表示如下：(3.8)OOOOsincoscossincossincossinsinzyxOOOO或者以逆形式表示，即（3.9）式(3．8)或(3．9)即为航天器的一组姿态运动学方程。csc)cossin(sincoscot)cossin(yxyxyxz2.“1-2-3”旋转类似地，也可以通过欧拉“1-2-3”旋转将航天器的不同坐标系相互联系起来。例如从出发，进行以下3次旋转：(1)绕(“l”)转角(2)绕(“2”)转角(3)绕(“3”)转角于是坐标系Oxyz和之间的坐标变换关系即为(3.10)000zyOx0OxOO000zyOxOOOOOOxyz000zyOx000zyxzyxB(3.11)式中(3.12)zyxzyxTB000coscoscossinsinsincossinsinsincoscoscossincoscossinsinsinsincoscossinsinsinsincoscoscoscoscossinsincossinsinsincoscoscossinsinsinsincossinsinsincoscossincoscossinsincoscososTBB同样可得按照2-3-1，3-1-2，1-3-2，2-1-3，3-2-1等不同转动顺序的变换关系。当时，即在小角度变化情况下，可近似为(3．13)其中欧拉角分别称为俯仰角、偏航角和滚动角，而Oz，oy，Oz轴分别称为航天器的滚动轴、俯仰轴和偏航轴。rad1,,B111B,,相应地，利用“l-2-3”姿态角也可以将的分量表示出来，得到另一组航天器的姿态运动学方程，即(3．14)或者以逆形式表示为(3．15)ωzyx,,tan)sincos(cossincos/)sincos(yxzyxyxsincoscossinsincoscoszyx卫星的动画作为刚体的航天器的姿态动力学是以刚体的动量矩定理为基础的。因此在确定了描述航天器姿态运动的各种坐标系和运动学之后，了解刚体的动量矩定理就成为研究航天器姿态动力学的一个重要条件。3.2航天器的姿态动力学3.2.1动量矩定理首先考察质点，如图3．6所示，力对点的矩(3．16)其中矢径，且A在力的作用线上。因此，力矩矢量，垂直于由和作用线组成的平面,并且的指向按右手规则来确定。类似地，质点的动量对点0的矩可表示成(3．17)它垂直于质点的矢径和动量所组成的平面，且的指向也由右手规则确定。FOFrFm)(oOAr)(FmorFvm)(Fmovrvmmmo)()(vmmorvm静力学里曾指出，力对于通过点O的任一轴，例如Oz轴的矩，等于它对点O的矩在该轴上的投影，并且可以写成=该动量矩具有量纲在国际单位制中，动量矩的常用单位是。12时间长度质量时间长度质量长度动量矩)1212smkg（秒米千克zo)(Fm)(Fmz设坐标系Ozyz是固定直角坐标系，以矢径r与牛顿第二定律的方程作叉乘，有等号右端就是力F对原点O的矩，左端可以改造为但，所以上式等号右端第二项等于零(两个平行矢量的叉积等于零)，而第一项就是质点对点O的动量矩矢量对时间的导数。于是得Frvr)(mdtd)(Fmovrvrvrmdtdmdtdmdtd)()(vrdtd)(vmmo(3．18)即质点对任意固定点的动量矩对时间的导数，等于该质点所受的力对同一点的矩。这就是质点的动量矩定理。若=O，则=常矢量。即若质点所受的合力对某固定点的矩恒等于零，则质点对同一点的动量矩守恒。该结论说明了质点动量矩守恒的条件。动量矩定理很容易由质点推广到质点系。按式(3．18)对质点系内每个质点写出动量矩方程，然后相加，得)()(Fmvmoomdtd)(Fmo)(vmmo)()()(Fmmvmdtdmvmdtdooo其中末等号左端方括号中就是整个质点系对固定点O的动量矩，用Ho代表，即等号右端等于质点系所受合外力对点O之矩的矢量和，用Mo代表。内力成对地出现，它们对任一点之矩的矢量和恒等于零。于是有(3．19)可见，质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于该质点系所受全体外力对同一点之矩的矢量代数和。这就是质点系动量矩定理。特殊情况：若，则Ho=常矢量。)(mvmHoooooMFmdtdH)(0)(Fmo3.2.2姿态动力学方程设航天器在空间以角速度旋转，其动量矩为Ho。为了方便起见，基准点选航天器本体坐标系Oxyz的原点，也即航天器质心0，M是作用在航天器相对于质心0的合外力矩，所以航天器的动量矩即为(3．20)式中，矢量r是刚体内相对于质心的矢径；dr/dt是质量元dm在空间相对于质心的速度矢量；m为航天器的总质量。于是在本体坐标系中，刚体的和M可以分别表示成dmdtdrrHmrHω,,(3.21)(3.22)(3.23)(3.24)式中，是航天器本体坐标系各轴的单位矢量，上两式右端的系数则是相应矢量沿各坐标轴的分量。将式（3.21）对时间t求取导数，求动量矩H在空间的变化率，即(3.25)由于刚体在空间中以的角速度进行旋转，所以与其固连的本体坐标系各轴方向也在相应变化。kjiωzyxkjiHzyxhhhkjirzyxkjiMzyxmmmkj,i,dtdhdtdhdtdhhhhdtdzyxzyxkjikjiH以知坐标轴单位矢量的导数公式是(3.26)代入式(3.25),并根据动量矩定理得(3.27)因所以式（3.27）在航天器本体坐标系中可以展开为iωidtdjωjdtdkωkdtdHωHHMdt