第6章 万有引力定律

力学教案华南师范大学物理与电信工程学院第六章万有引力定律§6.1开普勒定律一.天体究竟做怎样的运动——“地心说”和“日心说”1.地心说：托勒玫(90-168)ClaudiusPeolemy——在古代，以希腊亚里士多德为代表，认为地球是宇宙的中心。其它天体则以地球为中心，在不停地运动。这种观点，就是“地心说”。公元二世纪，天文学家托勒密，把当时天文学知识总结成宇宙的地心体系，发展完善了“地心说”，描绘了一个复杂的天体运动图象。2.日心说：哥白尼(1473-1543)NicolausCopernicus——波兰天文学家哥白尼经过近四年的观测和计算，于1543年出版了“天体运行论”正式提出“日心说”。“日心说”认为，太阳不动，处于宇宙的中心，地球和其它行星公转还同时自转。“日心说”对天体的描述大为简化，同时打破了过去认为其它天体和地球截然有别的界限，是一项真正的科学革命。§6.1开普勒定律“日心说”和宗教的主张是相反的。为宣传和捍卫这个学说，意大利学者布鲁诺被宗教裁判所活活烧死。伽利略受到残酷的迫害，后人把历史上这桩勇敢的壮举形容为：“哥白尼拦住了太阳，推动了地球。”“日心说”行星运行图§6.1开普勒定律十七世纪，德国人开普勒在“日心说”的基础上，整理了他的老师，丹麦人第谷20多年观测行星运动的数据后，经过四年艰苦计算，总结了关于行星运动的三条规律，即：3.开普勒行星运动定律：开普勒（1571-1630）JoanhesKepler开普勒第一定律（椭圆轨道定律）——所有行星分别在大小不同的轨道上围绕太阳运动。太阳在这些椭圆的一个焦点上。开普勒第二定律——对任意行星来说，他与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。开普勒第三定律——行星绕太阳运动周期的平方与运动轨道半长轴的立方成正比。§6.1开普勒定律推导:太阳质量M，行星椭圆轨道半长轴A、半短轴B。行星的轨道运动周期T，试导出开普勒第三定律。ABCMm121v2v选择长轴的两点：近日点1和远日点2，速度与径矢垂直的唯一的两点。机械能守恒CAMmGmvCAMmGmv22212121角动量守恒21)()(mvCAmvCA,1AGMBCAv面积速度AGMBvCA21)(211行星的轨道运动周期GMAAABT23224AGMT开普勒第三定律AGMBCAv2万有引力定律的发现1.科学家对行星运动原因的各种猜想2.牛顿总结了地球对地面上的物体的引力、太阳对行星的引力、以及行星对卫星的引力，都遵守相同的规律，是同一性质的力。牛顿把这种引力规律做了推广，在1687年发表了万有引力定律。3.万有引力定律内容——任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小与两个物体的乘积成正比，与他们的距离的平方成反比。其数学表达式为：122FmmrG§6.2万有引力定律122mmFGr万有引力定律：【说明】1.m1和m2表示两个物体的质量，r表示他们的距离，2.G为引力常数。G=6.67×10－11N·m2/kg2G的物理意义——两质量各为1kg的物体相距1m时万有引力的大小。【说明】万有引力定律的：①普遍性；②相互性；③宏观性；④特殊性；⑤适用条件；【注意】①万有引力公式适用于可视为质点的物体；②r—质点间的距离（球心距）。§6.2万有引力定律引力常数的测定——卡文迪许扭秤G=6.67×10－11N·m2/kg2§6.2万有引力定律1999年华中科技大学罗俊领导的引力实验室利用扭摆测得21311skgm100.00079669.6G若物体的线度与它们间的距离可相比拟时，这时物体不能视作质点，需将物体分成许多小部分，使每一部分都能视作质点，利用上式求出物体1各小部分与物体2各小部分之间的引力，每个物体所受的引力等于其各部分所受引力的矢量和.1Δm3Δm2Δm1Δm3Δm2Δm用“分割”方法计算两物体间的万有引力.§6.2万有引力定律引力质量与惯性质量引力质量——引力大小的量度.引力质量和作为惯性大小量度的惯性质量含义并不相同.最简单的实验是在地面同一地点测定各种物体的重力加速度.引力质量为m1的物体受地球的引力为211RmmGF引地二者之间的关系？§6.2万有引力定律引力质量为m2的物体受地球的引力为222RmmGF引地在同一地点，二质自由下落加速度分别为g1和g2由牛顿第二定律有1121gmRmmG惯引地2222gmRmmG惯引地实验表明,同一地点各种物体的重力加速度相等,即ggg21代入上式得§6.2万有引力定律更精确的实验证明是厄缶实验及以后的改进实验.gRGmmmmm22211地惯引惯引惯引mm选适当G值可使惯引mm关键是同一地点各种物体的重力加速度是否相等？牛顿单摆实验310Δ惯引惯惯mmmmm即惯性质量与引力质量等价.§6.2万有引力定律地球自转对重量的影响若将地球视为惯性系，物体重力即是地球与物体的万有引力.地球不是严格的惯性系，物体重力是地球万有引力与离心惯性力的矢量和.1.重力偏离引力的角度将质量为m的质点悬挂于线的末端且相对于地球静止.受力如下页图所示.平衡方程0*CTFFF重力TFW§6.2万有引力定律*CFOFWTFRRmF2*C离心惯性力RmFW2WFsinsin*C如图由正弦定理sincossinsin2*mgRmWFC地gR22sin2地§6.2万有引力定律.645则若取15rad103.7sm104.66地R很小,2sin1074.1sin32.重力与纬度的关系）（）（sin180sinsinFFW由正弦定理1cos1)sincot1(FW§6.2万有引力定律）地22cos1(gRFWg22sinsin2地R将代入上式得122cos1(）地gRFW括号内后一项是小量，所以即重量随纬度变化的定量式)(0赤道maxW（两极）2πminWFW且§6.2万有引力定律maxmin一般但W相差很小,45如）（00174.01FW所以引力是重力的主要成分.因引力与重力角度和大小都相差很小,因而WF故可将地球视为惯性系.§6.2万有引力定律[6.2.6]一匀质细杆长L，质量为M.求距其一端为d处单位质量质点受到的引力（亦称引力场强度）xdx0Ld解：选图示坐标0-x,单位质量质点在坐标原点处,在杆上取质元dm=dxM/L,其坐标为x,它对原点处质点的引力为221xdxLGMxdmGdf由于各质元对质点的引力方向均沿x轴正向，∴杆对质点的引力方向沿x轴正向，大小为：)(1112)(|LddGMLddLGMdLdxLGMLddLGMdxxf万有引力的功rrmmGArrd02作功仅与起始位置有关，是保守力.)11(0rrmGm设质点m´在m中的引力场从r0处运动到r处，rmGmE/p势能0)(pE§6.31引力势能第一宇宙速度——物体可以环绕地球表面运行所需的最小速度(环绕速度).km/s91.71v地地地RvmRmmG212§6.3.2三种宇宙速度第二宇宙速度——逃脱地球引力所需要的从地面出发的最小速度(脱离速度).02122地地RmmGmvkm/s2.1122地地RGmv第二宇宙速度与第一宇宙速度的关系是122vv第三宇宙速度——是使物体脱离太阳系所需的最小速度(逃逸速度).设质点以第三宇宙速度抛出时，其动能为23k21mvE21kkkEEE这个动能包含两部分，即脱离地球引力所需的动能Ek1和脱离太阳系所需的动能Ek2：而22k211mvE§6.3.2三种宇宙速度地球公转动速率v=29.8km/s，求脱离太阳系所需的动能Ek2.由类比质点脱离太阳引力所需速率应该是km/s2.42km/s8.29222vv设准备飞出太阳系的质点的发射方向与地球公转的方向相同，射出的质点在离开地球时相对地球速率为km/s4.12km/s)8.292.42(v与此相对的动能为2k212vmE既能摆脱地球引力又能摆脱太阳引力所需要的总能为222kk23k21212121vmmvEEmvE22223vvv即第三宇宙速度2223vvvkm/s7.16km/s4.122.1122抛体以不同速度抛出时不同类型的运动轨迹.v=v1vv2v=v2vv2第六章万有引力定律小结⒉万有引力定律：2/rGMmF⒈开普勒定律⑴行星沿椭圆轨道绕太阳运行，太阳位于一个焦点上⑵行星位矢在相等时间内扫过相等面积⑶行星周期平方与半长轴立方成正比,T2/a3=C⒋三个宇宙速度环绕速度V1=7.9km/s脱离速度V2=11.2km/s逃逸速度V3=16.7km/srGMmEp/⒊万有引力势能：[6.2.5]某彗星围绕太阳运动，远日点的速度为10km/s，近日点的速度为80km/s。若地球在半径为1.5×108km圆周轨道上绕日运动,速度为30km/s,求此彗星的远日点距离解：设彗星和太阳的质量分别为m,M,远日点和近日点的速度分别为v1,v2,远日点和近日点的矢径分别为r1,r2由机械能守恒，有②22212122212121/2/221rGMvrGMvGmvGmvrmMrmM设地球的质量为m',速度为v,对地球应用牛二定律：③22',/,'22RvGMvRGMmGRvRmM①与②'联立，可求得r1=3×108km①22112211,rvrvrmvrmv由角动量守恒，有'/2/222221221②rRvvrRvv将③代入②中，得v2v1r2r1[6.3.1]考虑一转动的球形行星，赤道上各点的速度为V，赤道上的加速度是极点上的一半，求此行星极点处的粒子的逃逸速度解：设行星半径为R,质量为M,粒子m在极点处脱离行星所需的速度为v，在无穷远处的速度、引力势能为零，由机械能守恒定律有0221RmMGmv①RGMv/2,2以球形行星为参考系（匀速转动参考系）,设粒子m在赤道上和极点上的加速度分别为a1和a2，粒子m在赤道上除受引力作用外还受离心惯性力作用,由牛二定律有②即212122,RaRVGMmaRVmRMmG粒子m在极点上只受引力作用,由牛二定律有③即2222,RaGMmaRMmG②/③,221212,,2212VRGMGMRVaaGMRVGMVvVv2422代入①中,得mMRa1a2vV[6.3.2]已知地球表面的重力加速度为9.8ms-2，围绕地球的大圆周长为4×107m，月球与地球的直径及质量之比分别是试计算从月球表面逃离月球引力场所必需的最小速度.0123.0/27.0/ememMMDD和解：设质点m脱离月球的速度为v，在距月球无穷远处的速度、引力势能为零，由机械能守恒定律，有①mmmmRGMvRmMGmv/202122将Mm=0.0123Me,Rm=0.27Re代入①中,有②eeRGMv/091.02由牛二定律gRRGMmgRmGMeeeee/,/2代入②中,有gRve091.02)(38.22/1048.9091.017msv在中学阶段，一般把天体的椭圆运动近似为匀速圆周运动。据此，无论是比例题（常以选择题、填空题出现）还是计算题，均可用“万有引力提供向心力”的动力学方程来解决。22222(2))2(mvmmrfrTrmGmrMr万有引力定律的应用一.天体质量或密度的估算二.预测未知天体——海王星的发现三.人造地球卫星和宇宙速度应用万有引力定律应特别掌握：“万有引力提供向心力”的动力学方程。22222(2))2(mvmmrfrTrmGmrMr万有引力定律的应用【例题】若月球围绕地球做匀速圆周运动，其周期为T，又知月球到地心的距离为r，试求出地