第2章 控制系统的数学模型及性能分析

1通过本章学习，应该掌握以下内容：第2章控制系统的数学模型及性能分析系统微分方程建立的一般方法传递函数的概念及其应用动态结构图及其等效变换状态空间描述与状态方程数学模型之间的相互转换系统性能的时域分析法系统性能的频率分析法2数学模型通常是指表示该系统输入和输出之间动态关系的数学表达式。具有与实际系统相似的特性，可采用不同形式表示系统内外部性能特点。建立系统数学模型，一般是根据系统实际结构、参数及计算精度的要求，抓住主要因素，略去一些次要的因素，使系统的数学模型既能准确地反映系统的动态本质，又能简化分析计算的工作。2.1.1数学模型的含义2.1数学模型概述32.1.2数学模型的建立方法（1）解析法：根据系统内在运动规律及系统结构和参数，按照元部件各变量之间所遵循的物理、化学定律，列出各变量之间的数学关系，最终推导出系统输入和输出之间关系的数学表达式。（2）实验法：对系统加入特定输入信号，采用检测仪器对系统的输出响应进行测量和分析，得到相关实验数据，从而建立系统的数学模型。42.2微分方程2.2.1微分方程的建立1.实例分析【例2.1】由弹簧—质量—阻尼器构成的机械位移系统如图2-1所示。该系统表示质量为的物体受到外力的作用，克服阻尼器的阻力和弹簧力产生位移的运动规律。建立该系统的微分方程。5My(位移)Fv(阻尼器阻力)f(阻尼系数)Fk(弹簧力)KF(外力)(弹性系数)图2-1机械位移系统6解：系统输入量是外力，输出量为位移。（1）机械位移系统的受力情况可根据牛顿运动定律表示为：（2）从式中可看出，系统有3个中间变量，即物体运动的加速度、阻尼器的阻力、弹簧力，为了得到系统输入量和输出量之间的描述，需要找出中间变量与位移Y的对应关系：kvFFFFMa　22dtyda；加速度是位移对时间的二次导数7（3）将上述中间变量带入原始方程式中，削去中间变量整理可得到系统的输出量和输入量之间的数学描述：　dtdyffVFv；阻尼器的阻力与物体运动速度成正比；弹簧力与物体的位移成正比　　FKydtdyfdtydM2282.建立微分方程的过程和步骤（1）根据系统性质确定给定的输入输出变量；（2）根据系统或元部件遵循的物理化学定律列出原始方程式，忽略一些次要因素影响；（3）找出原始方程式中间变量与其它因素关系式；（4）消去中间变量得到系统输出与输入变量之间的微分方程式；（5）按照规范书写方式，将微分方程各项输出量位于等号左端，各项输入量位于等号右端，且按阶次降幂排列。92.3.1传递函数的基本知识1.传递函数的定义线性定常系统在初始条件为零时，系统输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换之比称为该系统的传递函数，可表示为：2.3传递函数　)()()(sRsCsG102.传递函数的求取如果已知系统的微分方程，将等号两端的各项进行相应的拉普拉斯变换，根据传递函数的定义，即可得到该系统的传递函数描述。【例2.5】弹簧—质量—阻尼器构成的机械位移系统如图2-1所示，求取该系统的传递函数。解：根据【例2.1】中的分析，已知该系统微分方程为：　　FKydtdyfdtydm2211（1）根据拉普拉斯变换的性质，对上式两端各项分别取拉氏变换如下：)0()0()0()(222yySSysYSmdtydmL)0()(ysSYfdtdyfL)(skYkyL)(sFFL12（2）令系统的初始条件为零，将微分方程所对应的各项拉氏变换带入原始方程，合并同类项后可得：)()()()()()()(22sFsYkfsmSsFskYsfSYsYmS（3）按传递函数定义，取系统输出信号拉氏变换与输入信号拉氏变换之比，即可得到机械位移系统的传递函数：　　kfSmSsFsYsG21)()()(133.传递函数的性质（1）只适用于线性定常系统。（2）只能反映系统在零初始状态下输入与输出变量之间的动态关系。（3）由系统的结构和参数来确定，与输入信号的形式无关。（4）同一个系统对于不同作用点的输入信号和不同观测点的输出信号之间，传递函数具有相同的分母多项式，所不同的是分子多项式。（5）传递函数是一种数学抽象，无法直接由它看出实际系统的物理构造，物理性质不同的系统可有相同的传递函数。144.传递函数的零极点表示线性定常系统传递函数其分子和分母均为S的多项式，利用数学手段可将其分解为因式相乘的关系：　　)())(()())(()()()(2121nmpspspszszszsksRsCsG（1）k为常数，也称为放大系数或系统增益；（2）为传递函数的分子多项式方程的m个根，称为传递函数的零点；mz,,zz2115（3）为传递函数的分母多项式方程的n个根，称为传递函数的极点。（4）系统的结构和参数决定了传递函数的零、极点分布，而系统的稳定性和动态性能将取决于传递函数零、极点在S复平面上的分布情况。np,,pp21162.3.2典型环节及其传递函数在控制系统性能分析中，传递函数具有一般性，可将系统传递函数分解为若干个典型环节的组合，便于讨论系统的各种性能。常用的典型环节主要有：比例环节惯性环节一阶微分环节积分环节振荡环节延迟环节172.3.3自动控制系统的传递函数如图2-8所示的闭环控制系统：G1(S)G2(S)H(s)C(s)E(s)R(s)B(s)N(s)+-++图2-8闭环控制系统典型结构图181.系统开环传递函数闭环系统在开环状态下的传递函数称为系统的开环传递函数。表示为：从上式可以看出，系统开环传递函数等于前向通道的传递函数与反馈通道的传递函数之乘积。)()()()()()(21sHsGsGsRsBsG192.输入信号作用下的系统闭环传递函数令干扰信号为0，系统输出信号与输入信号之间的传递函数即为输入信号作用下的系统闭环传递函数。表示为：)()()(1)()()()()(2121sHsGsGsGsGsRsCs203.干扰信号作用下的系统闭环传递函数令输入信号为0，系统输出信号与干扰信号之间的传递函数即为干扰信号作用下的系统闭环传递函数。表示为：)()()(1)()()()(212sHsGsGsGsNsCsn214.闭环系统的误差传递函数（1）输入信号作用下的误差传递函数令干扰信号为0，以E(S)为输出信号，与输入信号R(S)之间的传递函数即为输入信号作用下的系统误差传递函数。表示为：)()()(11)()()(21sHsGsGsRsEse（2）干扰信号作用下的误差传递函数令输入信号为0，以E(S)为输出信号，与干扰信号N(S)之间的传递函数即为干扰信号作用下的系统误差传递函数。表示为：)()()(1)()()()()(212sHsGsGsHsGsNsEsne225.系统的总输出在输入信号和干扰信号的共同作用下，系统的总输出可以采用叠加原理来求得。组合可得系统的总输出为：)()()()(1)()()()()(1)()()(2122121sNsHsGsGsGsRsHsGsGsGsGsC232.4动态结构图及其等效变换动态结构图是描述控制系统一种常见数学模型，可表示复杂控制系统的内部结构，采用特定的方框图形式，将方框图中各时域变量用拉普拉斯变换代替，方框中元件名称用传递函数表示，标明信号的传递方向。特点是直观形象，易于系统的性能分析和中间变量的讨论。2.4.1结构图的组成及绘制1.结构图的组成符号、名称及功能系统动态结构图的组成符号主要有4种，如图2-9所示。24图2-9系统动态结构图的组成符号xG信号线引出点比较点方框+-（1）信号线：信号流通方向，标明信号对应变量。（2）引出点：信号从该点取出。（3）比较点：表示两个或两个以上的信号在该点进行叠加。（4）方框：表示输入、输出信号之间的动态传递关系。方框输出信号＝方框输入信号×方框中传递函数252.结构图的绘制步骤（1）列出系统中各元部件的微分方程，确定系统输入、输出变量。（2）以典型环节或组合来取代系统中的具体元部件，将各环节的传递函数填入方框中，标出信号及其流向。（3）按系统中信号的流向，把代表各环节的方框连接起来即构成系统的结构图。262.4.2结构图的等效变换1.串联结构的等效变换如果前一环节的输出量是后一环节的输入量，就称为环节的串联连接，如图2-12所示。G1(S)G2(S)G3(S)Xr(S)Xc(S)X1(S)X2(S)G(S)Xr(S)Xc(S)图2-12环节的串联等效27串联等效环节的传递函数为：可见，串联等效环节的传递函数等于各环节传递函数的乘积。当n个环节串联时，忽略负载效应后，其等效传递函数为：)()()()()()()()()()()()(3212121sGsGsGsXsXsXsXsXsXsXsXsGCrrC)()(1sGsGjnj282.并联结构的等效变换如果各环节的输入信号相同，输出在相加点进行叠加，就称为环节的并联连接，如图2-13所示。X3(S)G1(S)G2(S)G3(S)Xr(S)Xc(S)X1(S)X2(S)G(S)Xr(S)Xc(S)+++图2-13环节的并联等效29并联等效环节的传递函数为：)()()()()()()()()()(321321sGsGsGsXsXsXsXsXsXsGrrC可见，并联等效环节的传递函数等于各环节传递函数的代数和。当n个环节并联时，其等效传递函数为：)()(1sGsGjnj303.反馈结构的等效变换如果环节的输出信号反馈到输入端与输入信号进行比较即为反馈连接，如图2-14所示。进入比较器的信号极性相同称为正反馈；进入比较器的信号极性相反称为负反馈。H(S)G(S)R(S)C(S)B(S)E(S)+-图2-14环节的负反馈连接31负反馈连接的系统闭环传递函数为：)()(1)()()()(sHsGsGsRsCs1)(sH当反馈环节的传递系数时，称为单位反馈系统。322.5状态空间描述在系统性能分析与仿真时，常常要考虑到系统内部各变量的状态和初始条件，此时可采用状态空间描述。2.5.1状态变量设控制系统的输入量为U，输出量为Y，描述系统动态过程的微分方程可以表示为：　　＋uyadtdyadtydadtydnnnnnn1111引入n个状态变量nnxxxxx,,,,132133udtydadtydadtdyayadtydxxdtydxxdtydxxdtdyxxyxnnnnnnnnnnnnn111222111112232211　　这n个状态变量的一阶导数与状态变量和微分方程各导数项对应关系为：342.5.2状态方程将矩阵进行简化，可得到如下表达式：称为系统的状态空间描述。其中：A——状态变量系数矩阵B——输入变量系数矩阵C——输出变量系数矩阵——称为系统的状态方程——称为系统的输出方程CXYBuAXXBuAXXCXY352.6数学模型的相互转换2.6.1数学模型转换的意义实际工程中，解决自动控制问题所需要的数学模型与该问题所给定的已知数学模型往往是不一致的，要得到最简单而又最方便的数学模型，就需要对给定控制系统的数学模型进行转换。在不同应用场合，由于实际系统所给定的数学模型形式各异，在仿真时要进行模型的转换，即将给定模型转换为仿真程序能够处理的模型形式。通常，系统的微分方程作为描述动态性能的基本形式，当作为共性的内容进行分析时，又常常将其转换为传递函数形式，而在计算机中，利用系统的状态空间描述最方便。362.6.2数学模型转换的应用实例【例2.10】某控制系统的微分方程为将其分别转换为传递函数、一阶微分方程组和状态空间描述。解：（1）将微分方程两端取拉普拉斯变换，并令初始值为零，有以下表示：udtduydtdydtyd10265.222)()102()()65.2()(10)(2