第3章 理想光学模型(第4节)的放大率(有程序)

1第四节理想光学模型的放大率一、垂轴放大率上节已给出与牛顿公式相对应的垂轴放大率公式：由上节式（3-5）及角放大率公式当n=n'时有注意（3－7）只能用于物像方介质折射率相同时的特殊情况，式（3-2）和式（3-6）一样是普遍适用的公式。xffxyy'''lnnlunnulffl''''''（3-6）''uull（3－7）（3-2）''lluu有2二、轴向放大率xxdxdx''轴向放大率为由可得角放大率：''fxxf(3-2b)(3-2c)3当物像方介质相等时•由式(2-17)知道：上式表明，若物体在沿轴方向有一定的长度时，例如一个正方体，则由于垂轴和沿轴方向有不等的放大率，其像不再是一个正方体。应指出，上述各式只对沿轴微小线段适用，若沿轴方向为一有限线段，此时轴向放大率以下式表示：2'nn212121212''','''llllllxxxxxx4由式（3-2）得：如果光学系统在同一介质中，可得代入上式可得11221122,'',''fxfxfxfx21211212''''nnffxxxx215•像方焦点它的共轭点是物方无限远轴上的点,则有:2.焦点处的放大率物方焦点它的共轭点是像方无限远轴上的点，则有：•上式表明:无限大物成有限大的像,物作无限距离的移动,像是有限大距离的移动,平行于光轴的入射光线在像方以有限小孔径射出。FFFxffxx'',00'',,''2xffxfxxfFFFFFFFxffxx'',0''',0,0xffxFFF6•3.节点处的放大率根据定义，xF'节点处的角放大率J＝1，则由垂轴放大率和沿轴放大率公式有：•若系统处于同一介质中，则有''''nnffxffxJ'''nnffxxJ1,1,1JJJ7•若系统处于同一介质中，则有4.二倍焦距处的放大率在二倍焦距处一物点的物距为x=f,其共轭点在二倍像方焦距处，即像距x'=f'，从而：1,1,1''',''1''ffxffxffxxxffx8•说明和总结：光学系统位于统一种介质中的物象关系及放大率公式•由（3-6）''''''unnulnnllffl可得nnff''（一）当n＝n'时，f'＝－f得到物象关系公式为：（1）牛顿公式：ffll1'11'1(3-5)（2）高斯公式：2'''fffxx9（二）放大率公式：（1）垂轴放大率lllffl'''（2）轴向放大率xxdxdx''xffx''22222''''lllffldldl（3）角放大率''lluu''fxxf10（二）放大率关系公式：（1）一般情形下'1'''nnnnunnu或者（2）在物象空间折射率相等的情形下122111第五节理想光学模型的作图求解已知一个理想光学系统的主点（或节点）和焦点的位置，根据它们的性质，对物空间给定的点、线和面，用图解法可求出其像。这种方法称为图解法求像。光学系统图解的意义在于非常直观地表示出光学系统的成像特性，将抽象的光线传播变得实际、具体，便于我们在设计、分析光学问题时作定性的研究讨论，并据此可以推导出具有普遍意义的公式来。12理想光学模型图解求像的要点：要寻求一物点经理想光学模型所成的像点的位置，只要设法寻找由物点发出的任意两条光线经光学以后的出射共轭光线，这两条共轭光线的交点便是像点。而要寻找物方某一条光线的像方共轭出射光线，只要找出它在像方必定要通过的两点或者是它在像方必定要通过的一点和它的出射方向。13•一、对于轴外点或一垂轴线段的图解求像•已知理想光学系统的三对基点，利用其中任两对基点的性质就可以作图求像。•其一是选取由轴外点B发出的两条特定光线,一条是由B点发出通过焦点F,经系统后的共轭光线平行于光轴；另一条是由点B发出平行于光轴，经系统后共轭光线过像方焦点F'。在向空间这两条光线的交点即点B的像点。•如图3-7a所示。过作光轴的垂线A'B'即为物AB的像。14•又如当光学系统在空气中时，其节点和主点重合，由轴外物点B引一条光线通过物方主点H（即物方节点J），其共轭光线一定通过像方主点H'（即像方节点J'），且与物方光线BH平行。再作另一条由B点发出的平行于光轴（或过物方焦点）的光线，其共轭光线通过像方焦点（或平行于光轴）射出，和光线交于点B'，它就是点B的像，如图3-7b所示。过点B'作垂直于光轴的线段A'B'，就是物AB的像。15•二、轴上点图解求像•由轴上点A发出任一条光线AM通过光学系统后的共轭光线为M'A'，其和光轴的交点即点A的像，这可以有两种作法。•一种方法见图3-8a所示，认为由点A发出的任一条光线是由轴外点发出的平行光束（斜光束）中的一条。通过物方焦点作一条辅助光线FN与该光线平行，这两条光线构成斜平行光束，它们应该会聚在像方焦平面上一点。这一点的位置可由辅助光线来决定，因辅助光线通过物方焦点，由系统射出后平行于光轴。入射光线AM与物方主面的交点M的共轭点M'在像方主面上，二点处于等高的位置。由M'和B'的连线即入射光线AM的共轭光线。和光轴的交点A'是轴上点A的像点。16•另一种方法，如图3-8b所示。认为由轴上点A发出的光线AM是焦平面上的一点B发出的光束中的一条。为此，可以由该光线与前焦面的交点B引出一条于光轴平行的辅助光线BN,其由光学系统射出后通过像方焦点F',即光线N'F'，显然，光线AM的共轭光线M'A'应与光线N'F'平行。其与光轴的交点A'即轴上点A的象。17•三、负系统的图解求像•对于负透镜（f'0）的图解求像的原理和方法与上述正透镜图解求像时相同。所不同的是负透镜的物方焦点在物方主面的右边，像方焦点在像方主面的左边。•图3-9给出了对负透镜图解求像的两个例子，图a为实物成虚像，图b为虚物成虚像。18•四、辅助线的作法•作图法有重要意义，所作的每一条光线都包含着物理意义。作图的根本问题是作出任意一条入射光线的共轭出射光线。对于一些特殊光线它的共轭出射光线只要根据基点、基面的性质直接可以作出。而对于一些非特殊的入射光线，其出射光线的求解必须求助于辅助光线来解。利用辅助光线作图万变不离其宗，本质上还是利用基点、基面的性质。•图3-10列举了对任意入射光线a借助于利用基点、基面性质的辅助光线b，作出光线a的共轭出射光线可能的四种方法。19•其中，图3-10a中，辅助光线b利用节点和像方焦平面性质；图3-10b中，辅助光线b利用物方焦平面和节点的性质；20•图3-10c中，辅助光线b利用物方焦点和像方焦平面性质；•图3-10d中，辅助光线b利用物方焦平面和像方焦点的性质。图中左列为f'0的正系统，右列为f'0的负系统。以上光组在空气中，节点和主点重合。21•例3.1.用作图法求下图中各薄透镜的焦点F,F＇位置。2223第六节光学系统主面和焦点位置的确定•一、单个折射球面的理想光学模型•透镜是由两个折射球面组成，先研究单个折射面的基点和焦距的情况。•1、主面位置：根据主平面的性质，它是垂轴放大率＝＋1的一对共轭面。因此一对主平面应该满足：•lnnllnnl''1''或同时，一对主平面既然是一对共轭面，所以，主点H、H'的位置又必须满足物象位置公式：rnnlnln'''上式两边同乘以ll'，得''''llrnnnlln24上式左边为0，对主点来说，将l'＝n'l/n代入右边得0''2lnnrnn由此得到l＝0，代入nl'＝n'l，又得l'＝0。所以球面的两个主点H、H'与球面顶点重合。252、球面焦距公式按照球面定义像方焦点为无限远物点的共轭点，焦距即从主点到焦点的距离。由于球面的主面位于球面的顶点，故球面的焦距即为球面顶点到焦点的距离。rnnnln'''由此得到单个折射球面的像方焦距nnrnf'''同理可以得到单个折射球面物方焦距为nnnrf'以l＝∞时，l'＝f'代入近轴光学物象位置关系式有26•可以把透镜看成两个折射球面组成的共轴球面系统用近轴光线公式对无穷远轴上物点发出的一条平行于光轴的光线进行光路追迹，见右图。二、透镜的共轴球面解法对于球面反射情形，由于反射可以看成是n'＝－n的折射，代入有2'rff27（2－6）（2－7）（2－8）（2－9）urrliinni'''''uirrl''iuiu回顾：由教材p.1828•以及单球面物像位置关系式•对于以上公式，利用近轴区成立的关系，加以代换lu=h=l'u'•由式（2－6）～（2－9）可以导出以下三个重要公式••以上公式中，Q称为阿贝不变量，这个量在物像空间应相等。φ为光焦度，是光学系统的一个重要参数。（2－11）（2－12）（2－13）hrnnnuun'''rnnlnln'''Qlrnlrn11'11'29还有在§2-4共轴球面系统中讲过的转面公式物体A1B1(y1)经第一面成像后的像A1'B1'(y1')就是第二面的物体A2B2(y2)；第一面物方孔径角u1的近轴光线折射后的像方孔径角u1'就是第二面的物方孔径角u2；第一面的像方折射率n1'就是第二面的物方折射率n2。其余类推，就有（转面公式）：30截距的过渡公式为对于远轴光线也适用，即有',,','',,','',,','123121231212312kkkkkknnnnnnuuuuuuyyyyyy11223112',,','kkkdlldlldll',,','',,','1231211223112KKkkkUUUUUUdLLdLLdLL（2－21）（2－22）31令u1=0,h1可任意取，也是已知值。由以上公式可以得出u2',h2。•以上式中n1,n1',n2,n2',d,r1,r2均为已知值''','',''2221flluhluhfFHF22222222112212111111111'''',',''''hrnnununduhhuunnhrnnunun32例3.2单透镜的主面和焦点•已知：•r1=10;r2=-50;d=5;h1=10;n1=n2'=1;•n1'=n2=1.5163;•求:lF,lF',lH,lH',f,f'采用计算机编程（MATLAB程序）•如要计算物方的量只要把透镜物像方反转进行计算再还原就可以得到。33•已知条件•r1=10;r2=-50;d1=5;h1=10;n1=1;•n1'=1.5163;n2=n1';•n2'=n1;•u1'=(n1'-n1)*h1/(n1'*r1);•u2=u1';•h2=h1-d1*u1';•u2'=((n2'-n2)*h2/r2+n2*u2)/n2';•F'=h1/u2',•LF'=h2/u2',•LH'=lf1-f1,F'=16.6118LF'=13.7837LH'=-2.8282结果：•同理可得：•r2=-10;r2=50;d1=5;h1=10;n1=1;•n1'=1.5163;n2=n1';•n2'=n1;•u1'=(n1'-n1)*h1/(n1'*r1);•u2=u1';•h2=h1-d1*u1';•u2'=((n2'-n2)*h2/r2+n2*u2)/n2';•F=h1/u2',•LF=h2/u2',•LH=lf1-f1,F=-16.6118LF=-16.0462LH=+0.565634•P47题1的参考解法：•已知：•r1=83.220;r2=26.271;d1=2;d2=6;n1=n3'=1;•n1'=n2=1.6199,n2'=n3=1.5302;U1=-0°，l1=∞，h=