3.1解的存在唯一性与逐步逼近法

常微分方程广东金融学院应用数学系主讲：严建平信息与计算科学教研室定义1:联系自变量、未知函数及未知函数导数（或微分）的关系式称为微分方程.;2)1(xdxdy;0(2)ydxxdy;0)3(322xdtdxtxdtxd;sin35)4(2244txdtxddtxd;)5(zyzxz.0)6(2222uzyxyuxu例1：下列关系式都是微分方程一、常微分方程与偏微分方程§3.1解的存在唯一性定理和逐步逼近法/Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod/•概念和定义利普希兹条件一阶方程的初值问题•存在唯一性定理25432111定理逐步逼近法的思想附注命题命题命题命题命题的证明定理定理内容提要/ConstantAbstract/•本节要求/Requirements/掌握逐步逼近方法的本思想深刻理解解的存在唯一性定理的条件与结论一、概念与定义/ConceptandDefinition/1.一阶方程的初值问题(Cauchyproblem)表示00(,).................(3.1.1)().....................(3.1.2)dyfxydxxy0000(,,')0...........................(3.1.3)(),'()'.............(3.1.4)Fxyyyxyyxy2.利普希兹条件函数),(yxf称为在矩形域:byyaxxR00,:…………(3.1.5)关于y满足利普希兹(Lipschitz)条件，如果存在常数L0使得不等式2121),(),(yyLyxfyxf对所有Ryxyx),(),,(21都成立。L称为利普希兹常数。二、存在唯一性定理定理1如果f(x,y)在R上连续且关于y满足利普希兹条件,则方程(3.1.1)存在唯一的连续解)(xy定义在区间hxx0,且满足初始条件00)(yx这里),(max),min(),(yxfMMbahRyxbyyaxxR00,:)1.1.3().........,(yxfdxdy定理1的证明需要证明五个命题：命题1求解微分方程的初值问题等价于求解一个积分方程命题2构造一个连续的逐步逼近序列命题3证明此逐步逼近序列一致收敛命题4证明此收敛的极限函数为所求初值问题的解命题5证明唯一性定理1的证明命题1设)(xy是初值问题)2.1.3...(..........)()1.1.3().........,(00yxyxfdxdy的解的充要条件是)(xy是积分方程xxhxxxdxyxfyy0000),(……(3.1.6)的定义于hxxx00上的连续解。证明:•微分方程的初值问题的解满足积分方程（3.1.6）。•积分方程（3.1.6）的连续解是微分方程的初值问题的解。证明因为)(xy是方程(3.1.1)的解，故有:))(,()(xxfdxxd两边从xx0到积分得到:xxhxxxdxxxfxx0000))(,()()(把(3.1.2)代入上式,即有:hxxxdxxxfyxxx0000))(,()(因此,)(xy是积分方程在hxxx00上的连续解.反之，如果)(xy是(3.1.6)的连续解，则有：hxxxdxxxfyxxx0000))(,()(………(3.1.8)微分之，得到:))(,()(xxfdxxd又把0xx代入(3.1.8)，得到:00)(yx因此，)(xy是方程(3.1.1)定义于hxxx00上，且满足初始条件(3.1.2)的解。命题1证毕.同理，可证在00xxhx也成立。现在取00yx)(，构造皮卡逐步逼近函数序列如下:)9.1.3())(,()()(0001000xxnnhxxhxdfyxyxxxdfy000))(,(00)(yx)(1xxxdfy010))(,()(2xxxndfy010))(,()(xnxyox0x0+ax0-ay0y0-by0+bx0-hx0+hxxdfy000))(,(00)(yx)(1x)(1x)(1x命题2对于所有的(3.1.9)中函数)(xn在hxxx00上有定义、连续，即满足不等式:)10.1.3()(0byxn证明:（只在正半区间来证明，另半区间的证明类似）xxnnhxxxdfyxyx0001000))(,()()(当n=1时,xxdyfyx0),()(00101)(yx)(0xxMxxdyf0),(0bMhxxdyf0),(0即命题2当n=1时成立。现在用数学归纳法证明对于任何正整数n，命题2都成立。即当n=k时，)(xk在hxxx00也就是满足不等式byxk0)(xxkkdfyx0))(,()(01)(1x在hxxx00上有定义,连续xxkkdfyx0))(,()(01)(0xxMbMh上有定义，连续，而当n=k+1时，)(1xkhxxx00上有定义，连续。在即命题２在n=k＋１时也成立。由数学归纳法得知命题２对于所有n均成立。命题３)(xn在hxxx00上是一致收敛的。命题２证毕函数序列考虑级数:)11.1.3()]()([)(10010kkkhxxxxxx它的部分和为：nknkkxxxx110)()]()([)(为此，进行如下的估计，由逐步逼近序列(3.1.9)有:)12.1.3()())(,()()(00001xxxxMdfxx10010kkkhxxxxxx)]()([)(xxdffxx0))(,())(,()()(0112xxdxML0)(0dLxx001)()(xxnnhxxhxdfyx00010))(,()(20)(!2xxML设对于正整数n,不等式nnnnxxnMLxx)(!)()(011成立，dffxxxxnnnn0))(,())(,()()(11dLxxnn0)()(1xxnnnnxxnMLdxnML0100)()!1()(!于是，由数学归纳法得到：对于所有的正整数k，有如下的估计:)13.1.3()(!)()(00011hxxxxxkMLxxkkkk由此可知，当hxxx00时)14.1.3(!)()(11kkkkhkMLxx(3.1.14)的右端是正项收敛级数11!kkkkhML的一般项，由维尔斯特拉斯(Weierstrass)判别法(简称维氏判别法),级数(3.1.11)在hxxx00上一致收敛,因而序列)(xn也在上一致收敛。hxxx00命题3证毕)()(limxxnn则)(x也在hxxx00又可知byx0)(现设上连续，且由(3.1.10))10.1.3()(0byxn命题4)(x是积分方程(3.1.6)的定义于证明:由利普希兹条件)()())(,())(,(xxLxxfxxfnn以及)(xn在hxxx00上一致收敛于)(x上的连续解。hxxx00因而，对(3.1.9)两边取极限,得到:xxnnnndfyx0))(,(lim)(lim10xxnndfy0))(,(lim10即xxdfyx0))(,()(0即知序列))(,(xxfn在一致收敛))(,(xxfhxxx00这就是说,)(x是积分方程(3.1.16)的定义于hxxx00上的连续解。命题4证毕命题5)(x也是积分方程(3.1.6)的定义于hxxx00上的一个连续解,则hxxxxx00),()(证明若首先证明)(x也是序列)(xn的一致收敛极限函数。为此，从00)(yxxxnnndfyx0)1())(,()(10xxdfyx0))(,()(0进行如下的估计xxxxMdfxx0)())(,()()(00xxxxMdfxx0)())(,()()(00xxdffxx0))(,())(,()()(01xxdL0)()(0xxxxMLdxML0200)(!2)(现设nnnxxnMLxx)(!)()(011则有dffxxxxnn0))(,())(,()()(1有dffxxxxnn0))(,())(,()()(1dLxxn0)()(1xxnndxnML0)(!010)()!1(nnxxnML故由数学归纳法得知对于所有的正整数n，有下面的估计式)15.1.3()()!1()()(10nnnxxnMLxx因此，在hxxx00上有:)16.1.3()!1()()(1nnnhnMLxx1)!1(nnhnML是收敛级数的公项,故n时0)!1(1nnhnML因而)(xn在上一致收敛于hxxx00)(x根据极限的唯一性，hxxxxx00)()(即得:命题5证毕综合命题1-5，即得到存在唯一性定理的证明。nkkknxxxx110)]()([)()(例求初值问题的第三次近似解。0022)(yyxdxdy0)(0xxdxxxx02021)]([)(xdxxxx02122)]([)(xdxxx0262]3[63373xxxdxxxx02223)]([)(xdxxxxx01410262]396918923[5953520792633151173xxxx33x附注/Remark/1）如果在R上fy存在且连续,则f(x,y)在R上关于y满足利普希兹条件，反之不成立。证yf在R上连续，则在R上有界，记为L2,1),(iRyxi由中值定理2121),(),(),(yyxfyxfyxfy之间，在21yy21yyL),(),(21yxfyxf故f(x,y)在R上关于y满足利普希兹条件。这条件是充分条件，而非必要条件。例1ydxdyR为中心在原点的矩形域无导数轴上在)(0),(xyyyxf21yy),(),(21yxfyxf21yy但故f(x,y)在R上关于y满足利普希兹条件。yf在R上存在且有界f(x,y)在R上关于y满足利普希兹条件。yf在R上存在且无界f(x,y)在R上关于y不满足利普希兹条件。2)定理1中的两个条件是保证CauchyP存在唯一的充分条件，而非必要条件。例2当连续条件不满足时，解也可能存在唯一。axyaaxyayxfdxdy00),(f(x,y)在以原点为中心的矩形域中不连续，但解存在唯一C0ydxdyaxyaxyadxdyaxy当当例3当Lipscitz条件不满足时，解也可能存在唯一。000ln),(yyyyyxfdxdyf(x,y