复变函数的基本概念及运算

第1章复变函数本章内容提要2复变函数3复数的导数1复数与复数的运算4解析函数5小结iyxz)sin(cosiz3指数式iez2三角式1代数式xyz(x,y)或(ρ,φ)复平面ρφ一复变函数积分定义二复数的几何意义欧拉公式的证明三复数的四则运算采用指数表示可方便乘除运算若111iez和222iez，则积：)(212121iezzz商：)(212121iezz四乘方、方根五共轭复数若iez，则乘方：innnez方根：)2(nkninnez，1,,1,0nk，n∈N若ieiyxz，则z的共轭复数定义ieiyxz*为复数z的共轭复数，*2zzz。000121222)!12()!2()(!1nkkkkkknikikiine22100(1)(1)(2)!(21)!kkkkkkikkcossini欧拉公式sincosiei的证明一基本初等函数的定义1多项式：nnzazazaa2210，n∈N+2有理函数：mmnnzbzbzbbzazazaa221022110，m、n∈N+3指数函数：)sin(cosyiyeeexiyxz，周期i2一基本初等函数的定义4双曲函数)(21sinhzzeez,)(21coshzzeez,周期5对数函数iiArgzzezziArgzlnlnlnln,多值函数6幂函数:zssezln,(s为复数),多值函数一基本初等函数的定义7三角函数)(21sinizizeeiz,)(21cosizizeez,周期为2，实三角函数的一些重要公式在复三角函数中均成立，复正弦、余弦函数值的模可以1。8反三角函数其定义与实反三角函数类似，但实反三角函数是基本初等函数，而复反三角函数不是基本初等函数，可用其它基本初等函数表示。二复变函数的定义若在复数平面上存在点集E，对E的每个点iyxz都有复数ivuw与之对应，则称w为z的函数，z为w的宗量，定义域为E，记为：),(),()(yxivyxuzfw，Ez定义了一个复变函数实际上定义了二个相关联的实二元函数，因此复函数将具有独特的性质。三邻域、内点、外点、境界点1邻域：以0z为中心，任意小正实数为半径的圆内所有点的集合，称为0z点的邻域。2内点、外点、境界点：若0z及其邻域均属于点集E，则称0z为E的内点；若0z及其邻域均不属于E，则称0z为E的外点；若0z的每个邻域内，既有属于E的点，也有不属于E的点，则称0z为E的境界点（或边界点）。3境界线：境界点的集合称为境界线。三区域、闭区间、单连域或复连域4区域：区域是一种集合，该集合全部由内点组成并且这个集合是连通的。所谓“连通”是指集合中的任意两点都可以用完全属于集合的一条折线，把它们连接起来。5闭区间：区域及其境界线。三区域、闭区间、单连域或复连域6单连域与复连域：一个区域B，如果在其中任作一简单闭合曲线，曲线内部总属于B，就称为单连通区域，反之称为复连通区域。如图所示。xy单连通区域xy复连通区域xy非连通区域区域的连通性四复变函数极限定义1：函数)(zf在0z点及其邻域内有定义，如果存在复数0w，对任意给定的0，总能找到0，使得：当00zz时，恒有00)(wzf成立，则称当z趋近于0z时)(zf的极限为0w，记为0)(lim0wzfzz。定义2：如果)()(lim00zfzfzz，则称)(zf在0z点连续。)(zf在0z连续),(yxu、),(yxv在),(00yx点连续。一导数的定义设)(zfw是在区域B中定义的单值函数。若在B内的某点z，极限：zzfzzfzwzz)()(limlim00存在，且与0z的方向无关，则称函数)(zfw在z点可导，称该极限为函数)(zf在z点的导数，记为)(zf或dzdf。二复函数可导的必要条件如果函数),(),()(yxivyxuzf在区域B中的z点可导，则vu,在z点必须满足以下的柯西—黎曼方程（Cauchy-RiemannEquation）yuxvyvxu或vuvu11二复函数可导的必要条件(1)z沿水平轴0的情况，)0(,0yxz1直角坐标系的柯西――黎曼方程xyxivyxuyxxivyxxuzwxz),(),(),(),(limlim00xyxvyxxvixyxuyxxux),(),(),(),(lim0xvixu二复函数可导的必要条件(2)z沿竖直轴0的的情况,)0(,0xyiz1直角坐标系的柯西――黎曼方程yiyxivyxuyyxivyyxuzwyz),(),(),(),(limlim00yyxuyyxuiyyxvyyxvy),(),(),(),(lim0yuiyv二复函数可导的必要条件1直角坐标系的柯西――黎曼方程(3)在z点可导，这两个极限必须相等，即：yvxu，yuxv二复函数可导的必要条件(1)z沿极轴0的情况，)0(,0)(iez2极坐标系的柯西――黎曼方程izeivuivuzw)(),(),(),(),(limlim00ixevviuu),(),(),(),(lim0)(viuei二复函数可导的必要条件(2)z沿一定的弧线0的情况,iizeie0,(0)2极坐标系的柯西――黎曼方程izeiivuivuzw),(),(),(),(limlim00),(),(),(),(lim0uuivvei)(uivei三复函数可导的充分条件如果柯西—黎曼方程在z点处成立，且),(yxu、),(yxv在z点的一阶偏导数存在并连续，则ivuzfw)(在z点可导，其导数为：xvixudzdf，或yuiyv，或ieviu)(，或ieuiv)(1三复函数可导的充分条件证明：()()(,)(,)[(,)(,)]wfzzfzuxxyyuxyivxxyyvxy),(yxu，),(yxv在z点的一阶导数存在且连续，1234()uuwxyxyxyvvixyxyxy三复函数可导的充分条件证明：其中当0,yx时，1、2、3、04。u、v满足RC方程，1234()uvwxyxyxxvuixyxyxx1324()()()()uxiyxvixiyixiyx四求导规则及初等函数的导数都与实变函数的相应公式一致例：zzedzde证明：yieyeexxzsincoscos,cos,sinxxxuuueyeyeyxysin,sin,cosxxxvvveyeyeyxy四求导规则及初等函数的导数都与实变函数的相应公式一致例：zzedzde1满足C—R方程2xu、yu、xv、yv连续ze可导，且：zxxzeyieyexvixudzdesincos一解析函数的定义若函数)(zf在0z点及其邻域上处处可导，则称)(zf在0z解析，在区域B上每一点都解析，则称)(zf是区域上的解析函数。二解析函数的性质1解析函数的实部与虚部通过C—R方程互相联系，知其中一个函数，可求另一个函数。例：已知解析函数)(zf的虚部22),(yxxyxv求实部),(yxu和这个解析函数。二解析函数的性质2sin2)cos1(cos),(22yxxyxv2cos212cos21211vu2sin22sin212vu解：方法一dddududu2sin22cos21)2cos(22cos22cos2ddd二解析函数的性质解：方法一2cos(1cos)cos2uCCCCyxx222sin22cos2)(iCzfCzCi2)2sin2(cos2二解析函数的性质解：方法二2sin2),(yxviieievivdzdf]2sin2122cos2121[)1(zdzdzeeiii22121)2sin2(cos2122()2222(cossin)22iifzzCeCeCiCCyxxCCu22)cos1(2cos2二解析函数的性质2“),(yxu常数”和“),(yxv常数”是相互正交的两曲线族。证明：如图设A、B为曲线1),(cyxu上的两个相邻点，则有：1),(),(cyyxxuyxu0),(),(yxuyyxxuu0)()(jdyidxjyuixudyyudxxuuxyA(x,y)B(x+Δx,y+Δy)u(x,y)=c1曲线二解析函数的性质由于矢量jdyidx的方向为曲线1),(cyxu在A点的切方向，所以矢量jyuixunu的方向为曲线1),(cyxu在A点的法方向。xyA(x,y)B(x+Δx,y+Δy)u(x,y)=c1曲线二解析函数的性质同理，曲线2),(cyxv在A点的法方向为jyvixvnv。由于所以“),(yxu常数”和“),(yxv常数”是相互正交的两曲线族。0)()(xuyuyuxuyvyuxvxunnvuxyA(x,y)B(x+Δx,y+Δy)u(x,y)=c1曲线二解析函数的性质3u、v都是调和函数，即02222yuxuu，02222yvxvv证明：因为解析函数在其解析区域上必有任意阶的导数，所以u、v的二阶偏导数都存在。0)()()()(2222xvyyvxyuyxuxyuxuu三解析函数的物理意义解析函数可用于表示平面静电场，若实部函数为电势函数，则虚部函数为电通量函数。本章小结本章熟悉复数的表示，重点是指数式。熟悉基本初等复变函数的定义，重点是复幂函数及各复函数与相应实函数的区别；理解复变函数、区域、单连域、复连域的概念。熟悉复变函数导数的概念，理解复变函数可导比实函数可导的要求高，熟悉复变函数可导的充要条件，牢记柯西――黎曼方程。熟悉解析函数的概念及其性质。