复变函数论 第二章 解析函数

第二章解析函数§1解析函数的概念与柯西-黎曼方程§２初等解析函数§3初等多值解析函数§1解析函数的概念与柯西-黎曼方程１．复变函数的导数与微分定义2.1设函数在点的邻域内（或含的区域内）有定义，若极限（）存在，则称此极限为函数在点的导数，记为，这时也称在点可导．定义2.2若函数在点可导，则称为函数在点的微分，记为或即此时也称在点可微．()wfz0zD0z000()()limzfzzfzz00zzz()fz0z0()fz()fz0z()wfz0z0()fzz()wfz0z0zzdf0()zzdwz00()()zzdwzfzz()fz0z例2.1在平面上处处不可微．证明：由第一章习题11，知在平面上处处连续，但对于任意一点．当取实数趋于零时，上述极限为1，而当取纯虚数趋于零时，上述极限为-1，因此上述极限不存在，即在点不可导，由的任意性知在平面上处处不可微．如果函数在区域内每一点都可微，则称在区域内可微．()fzzz()fzzz0z000000()()fzzfzzzzzzzzzzzzzz()fz0z0z()fzz()fzD()fzD２．解析函数及其简单性质定义2.3若函数在区域内可微，则称为区域内的解析函数（或全纯函数、正则函数）．此时也称在区域内解析．与数学分析一样，解析函数也有如下基本性质：（１）若在区域内解析，则其和，差，积，商（在商的情形，要求分母在内不为零）也在内解析，且()wfzD()fzD()fzD12(),()fzfzDDD1212[()()]()()fzfzfzfz121212[()()]()()()()fzfzfzfzfzfz112122222()()()()()[](()0)()[()]fzfzfzfzfzfzfzfz（２）（复合函数求导法则）设在区域内解析，在区域内解析，若均有，则在内解析，且例2.3设多项式，则由基本性质（１）知，在平面上解析，且对于参数方程，则可直接由定义2.1求得()fzD()wgGzD()fzG[()]wgfD[()]()()dgfzdgdfzdzddz110()(0)nnnnnPzazazaa()Pzz1211()(1)nnnnPznaznaza()()()([,])ztxtiytt()()()([,])ztxtiytt３．柯西（Cauchy）－黎曼（Riemann）条件（简称C-R条件）设，我们来探讨的可微性与二元实函数及之间存在的关系．称，为柯西－黎曼条件或柯西－黎曼方程，简称为C-R条件定理2.1（可微的必要条件）设函数在区域内有定义，且在内一点可微，则有（１）在点处偏导数都存在；（２），在点满足C-R条件．但定理2.1的逆不成立．()(,)(,)wfzuxyivxy()fz(,)uxy(,)vxyuvxyuvyx()(,)(,)fzuxyivxyDDzxiy(,)xy,,,xyxyuuvv(,)uxy(,)vxy(,)xy但是，只要适当加强定理2.1的条件，就可得到定理2.2设在区域内有定义，则在内一点可微（或在内解析）的充要条件是：（１），在点（或在内）可微；（２），在点（或在内）满足C-R条件．当上述条件满足时，有()(,)(,)fzuxyivxyD()fzDzxiyD(,)uxy(,)vxy(,)xyD(,)uxy(,)vxy(,)xyD()uvvufziixxyy例2.7试证在平面上处处解析，且．证明：，．在平面上处处可微，且满足C-R条件，故由定理2.2知在平面上处处解析．且由公式（2.8）知()(cossin)xfzeyiyz()()fzfz(,)cos,(,)sinxxuxyeyvxyeycos,sinxxxyueyueysin,cosxxxyveyvey(,),(,)uxyvxyz()fzz()cossin()xxxxfzuiveyieyfz作业:第90页2,3,4(1)(3)5(2)(4),6(1)(3)§２初等解析函数１．指数函数定义2.3对于任意复数，则规定为复指数函数．zxiy(cossin)zxiyxeeeyiy２．三角函数定义2.4规定为复数的正弦函数和余弦函数．与实三角函数一样，我们可定义其它的复三角函数：定义2.5规定，，，，为复数的正切、余切、正割、余割函数．这四个函数均在平面上除坟墓为零的点外解析，且．正切、余切的基本周期为，正割、余割的基本周期为．sin,cos22izizizizeeeezzizsintancoszzzcoscotsinzzz1seccoszz1cscsinzzzz2(tan)seczz2(cot)csczz(sec)sectanzzz2(csc)csccotzzz2作业:第91页7,910(1)(3),13(1)§3初等多值解析函数定义设函数在区域内有定义，且对内任意不同的两点及，都有，则称函数在内是单叶的.并且称区域为的单叶性区域.()fzDD1z2z12()()fzfz()fzDD()fz一、根式函数定义2.6规定根式函数为幂函数的反函数.（1）幂函数的变换（映射）性质及其单叶性区域.（2）分出的单值解析分支.（3）的支点与支割线.定义2.7设为多值函数，为一定点，作小圆周，若变点沿转一周，回到出发点时，函数值发生了变化，则称为的支点，如就是其一个支点，这时绕转一周也可看作绕点转一周，故点也是其一个支点.nwznzw,1nznnwznwz()wfza:CzarzCa()fz,0nwzz:Czr定义2.8设想把平面割开，借以分出多值函数的单值分支的割线，称为多值函数的支割线.如可以以负实轴为支割线.附：a)支割线可以有两岸.b)单值解析分支可连续延拓到岸上.c)支割线改变各单值分支的定义域，值域也随之改变.d)对，当以负实轴为支割线时，当时取正值的那个分支称为主值支.nwznwz0zx例2.9设定义在从原点起沿负实轴，割开了的平面上，且.求的值.解：求：当时，由知3wz()wii()wi233(0,1,2,)kikwzekkzi1,.2rz()wii2232kiiek4723663()iiiwiieee作业：第93页22，23二、对数函数1、定义2.9方程的根称为的对数，记为.当时，称为主值（支）.注：区别和.例2.102、性质：(0,)wezzwzwLnzargzlnargwLnzzizLnzlnzln(2)(2).0,1,2,22Lniiikikk1212)()aLnzzLnzLnz1122)()zbLnLnzLnzz三、指数函数的变换性质及其单叶性区域若即为单叶性区域若则故11222,iiwuvwuv1设121wweez1122iiuvuvee11122kuvvv111iwuv112)(ikvu(,):(21)(21)wuvkvkze都是的单叶性区域四．分出的单值解析分支设，令（为固定的整数）则在内单值解析.Lnzargz()ln(arg2)kkwLnzzizkk()kwz{(,):0,}Grr五．以为支点，连接任一（广义）简单曲线可作为其支割线.（支割线通常是连接支点的简单曲线）.例2.10设定义在沿负实轴割破的平面上，且（是下岸相应点的函数值）求的值.解：求值：wLnz0zz与0与wLnz(1)3wi()wi()ln(arg2)kkwLnzzizk(arg)z3ln1(arg4)iii2k9()ln(arg4)(4)22wiiiiii六、一般幂函数与一般指数函数定义2.10为一般的幂函数.一般地说，它是多值函数.并以为支点，又称为一般的指数函数，它是无穷多个独立的单值函数.例2.111）求解：2）求解：(0,)aaLnzwzez0,zzzLnawae记ii((2))(2)22()iikkiiLniieeekZ12i1(1)2(1)(ln22)ln22(ln22)ln222(cosln2sinln2)iiLnikikikkeeeei()kZ七、反三角函数1、反正切反正切规定为方程的根的全体.例2.12求解：2、反正弦反正弦规定为方程的全体根.例2.13求解：3、反余弦反余弦规定为方程的根的全体.wArctgzztgw1.Arctg11111[(2)].()212224iArctgLnLniikkkZiiiisin.wArczsinwzsin2.Arc11sin2(23)[ln(23)(2)]2ln(23)22ArcLniiikkiii八、具有有限个支点的情形函数的支点，其中为任意的次多项式.是的一切相异零点.分别是它们的重数，合于有以下结论：（a）、(1)的可能支点为和.（b）、当且仅当不能整除时，是的支点.（c）、当且仅当不能整除时，是的支点.（d）、若能整除中若干个之和，则中对应的几个就可以联结成割线，即变点沿只包含它们在其内部的简单闭曲线转一整周后，函数值不变.()(1)nwpz()pzN111()()(),,,mmmpzAzazaaa()pz12,,,m1mN1,maaniaia()npznN()npzn1,,maa12,,,maaaz例2.15试证在将平面适当割开后能分出三个单值解析分支，并求出在点取负值的那个分支在的值.解：设则当时，当且仅当取负值故所取分支为12()()233112()()().zzifzrzrze155()6312121()(2)2iifiee3()(1)fzzzz2zzi11.izre221izre12()()23312()()().(,0,1,2)zzkikfzrzrzezGk2z12120,,2,1.rr(21)33()2(0,1,2)kikfzek1;(2)kkf作业第93－94页20（1）（3）