复变函数课件

《复变函数与积分变换》(第二版)华中科技大学数学系教师黄志祥(博士)参考教材•1.数学物理方法(第三版)，汪德新编，科学出版社，2007年4月.•2.数学物理方法与计算机仿真，杨华军编，电子工业出版社，2006年7月.•3.MATLAB及在电子信息课程中的应用(第3版)，陈怀琛等编著,电子工业出版社,2006.•4.复变函数与积分变换典型题分析解集(第二版)，李建林编，西北工业大学出版社,2001年1月.017－44/1－2教学方式与要求•方式板书结合PPT源于课本稍高于课本•要求适当做笔记按质完成作业复变函数积分变换解析函数(导数)复变积分两者关系:级数留数Fourier变换Laplace变换《复变函数与积分变换》主要内容第六－七章不讲共9周36课时复球面4.4罗朗级数§2.3初等函数•指数函数•对数函数•三角函数与反三角函数•双曲函数与反双曲函数•幂函数•小结2.3.1指数函数1.定义对于复数z=x+iy,定义指数函数为注:2.性质3.举例exp()(cossin)zxwezeyiy0Euler(cossin);iyxeyiy公式：0.zxyee(1)||,Arg2,0,1,.zxiyxiyzxzeeeeeeeykk12121212(2),/.zzzzzzzzeeeeee(3)lim.zze不341..ie例计算(4)()'.zzee解析性整个复平面解析且函数图像2.3.2对数函数1.定义2.性质(1)多值性主值支(2)运算性(3)解析性3.举例(0),wezw指数函数的反函数,满足的即wLnzln||Argln||(arg2).wLnzzizzizk()'1/.wLnzLnzz在除原点及正实轴外均解析且12121212()()();(/)()();1()();()().nnLnzzLnzLnzLnzzLnzLnzLnznLnzLnzLnzn2.ln(4).例计算lnln||argln2,.wzzizLnzzikkZ函数图像作业！2.3.3三角函数1.定义注:正、余弦函数可以大于1.2.性质(1)单值性(2)周期性(3)奇偶性(4)三角公式(5)解析性sincossin(),cos(),tan(),cot().22cossinizizizizeeeezzzzzzizzT2.cos,sin.zz偶奇(sin)'cos,(cos)'sin.zzzz整个复平面解析且函数图像反三角函数定义如果sinw=z,则称w为z的反正弦函数，记为同样，有2sin(1).wArcziLnizz2cos(1)wArcziLnzz1tan.2ziwArcziLniz函数图像均为多值函数.2.3.4双曲与反双曲函数•双曲函数与反双曲函数注：双曲函数与三角函数的关系为22shArsh(1),2hArch(1),2sh11hArth(),ch21ch11cothArth().sh21zzzzeezzLnzzeeczzLnzzzztzzLnzzzzzzLnzzshsin(),hcos(),htan(),cothcot.ziizcziztziizziiz函数图像Q:双曲正(余)弦的单值性、周期性、奇偶性如何？2.3.5幂函数1.定义2.3.举例(,0);0,0.LnzzeCzzRz规定时,对具体取值进行讨论1223.(1).3,(2).,(3).1.iii例计算下列函数值小结初等函数是复变函数的主要研究对像.介绍了常见的基本初等函数，注意与实变初等函数类比学习，着重掌握它们之间的区别.要求:会计算基本初等函数值.展望第三章复变函数积分.结论:一般情形下幂函数为多值函数00(1)01;Lnzzze[||(arg2)]||argarg(2)||;nnLnznlnzizknlnzinzninznzeeeeze单值Z111arg21(3)()||(0,1,,1);zkLnzinnnnnzezeknnn值Z||(arg2)||(4),0,{cos[(arg2)]sin[(arg2)]},pppppLnzlnzizklnzqqqqqppqqqppzeeezkizkqq，其中互质且则0,1,,1,.pqkqzqq当时共有个不同取值值2(5)(0,1,2,)lnzikzeek为无理数或复数时，无穷多值函数.函数图像函数图像互为反函数指数函数w=exp(z)的图像虚部MATLAB及在电子信息课程中的应用(第3版)陈怀琛等编著,电子工业出版社,2006.电路信号与系统数字信号处理控制系统对数函数w=Ln(z)的图像虚部实部三角函数w=sin(z)的图像虚部反三角函数w=Arctan(z)的图像虚部双曲正弦函数w=sh(z)或w=sinh(z)的图像虚部幂整函数的图像虚部3wz虚部根式函数的图像1/2wzFourier&LaplaceTransformDefineConditionsProperties•线性性质•对称性质•延迟、位移性质•相似性质()()jtFftedt1()()2jtftFed[()]2()FFtf00010[()][()][()]()jwtjwtFftteFftFFeft1[()]().||FfatFaaDefineConditionsProperties•线性性质•对称性质(无)•延迟、位移性质•相似性质0()()stFsftedt1()().(0)2jstjftFsedstj001[()][()][()]()statLftteLftLFsaeft1[()](),0sLfatFaaaCon’t•卷积定理•乘积定理及Parseval定理•微分性质•积分性质1212()*()()().ftftfftd12121212[()*()]()()1[()()]()*()2FftftFFFftftFF12121()()()()2ftftdtFFd1[()]()tFfxdxFj()()[()]()()()[()()]nnnnFftjFFFjtft•卷积定理•周期函数的像函数•微分性质•积分性质12120()*()()().(0)tftftfftdt1212[()*()][()][()]LftftLftLft01[()]()1TstsTLftftedte01[()]()tLftdtFss()()[]sftFsdsLt()()[()()]nnFsLtft()12(1)[()]()(0)'(0)(0).nnnnnLftsFssfsffDef:Def:常见函数的Fourier变换1,||sin(1).()()2.0,,01(2).(),0().0,1,01(3).()()().0,attaaftFaelseaetftaFajelsetutFelsej0()0000000[()]1[1]2()[]2().[]2()[cos][()()],[sin][()()].nnnjtFtFFtjFeFtFt(4).常见广义Fourier变换抽样函数sintt常见函数的Laplace变换2222111[1],[()].1[],[()]1.[sin],[cos]![].()atmatmLLutssLeLtsasLtLtssmLtesaAttention:t-域函数f(t)的理解应该为t为非负！t-域-50-40-30-20-1001020304050-0.4-0.200.20.40.60.81tf(t)=sin(t)/tsymst,w;figure(1);ezplot((sin(t))./t,[-50,50]);Fw=fourier((sin(t))./(t),w);figure(2);ezplot(Fw,[-5,5])Matlabcode-5-4-3-2-101234500.511.522.533.5w(heaviside(w+1)-heaviside(w-1))W-域《数学物理方程与特殊函数》东南大学数学系(第三版)主要内容“三类典型方程”＋“边界条件”分离变量法(有界)行波法与积分变换法(无界)Green函数法(有界或无界)BesselLegendre第七－九章不讲共9周36课时求解Sin&Cos预备知识1基本概念偏微分方程(PDE):含有未知多元函数及其偏导的方程，如其中:为多元函数.方程的阶:未知函数导数的最高阶数；方程的次数:最高阶偏导的幂次；线性方程:未知函数及未知函数偏导数的幂次都是一次的称为线性方程，否则就是非线性的；自由项:不含未知函数及其导数的项；齐次方程:没有自由项的偏微分方程称为齐次方程，否则称为非齐次的；2122121(,,,,;,,,;,)0nnuuuuFxxxuxxxx12(,,,)nuuxxxCon’t方程的解:若将某函数代入偏微分方程后，使方程化为一个恒等式，则该函数为方程的解；通解:包含任意独立函数的方程的解，且独立函数的个数等于方程的阶数；特解:不含任意独立函数的方程的解.•例如：•二阶线性非齐次偏微分方程的通解为其中，F与G为两个任意独立的函数.•注意：通解所含独立函数的个数＝偏微分方程的阶数.22()()sincosuuxyxy2222220uuuxyz一阶非线性非齐次PDE二阶线性齐次PDE22uyxxy221(,)()()2uxyxyxyFxGy弦的微小横振动传输线方程补充1:正交函数系•函数正交•正交函数系•常见的正交函数系[,]:{1,sin,cos},1,2,;{},1,2,;;etc.nxjlllnxnxnllenBesselFunctionLegendreFunction()*()0()()*()0bbaaxxdxxxxdx0,{()},1,2,()()*().,bnijaiijxnxxxdxijChap2SeparateVariations函数的正交展开•完备正交系•函数广义Fourier级数展开,()()*()0()0.bnanxxxdxx{()}nx11222()()()()?()()()()()()()()()()()().()()().()()jnnjbbjnnjnaabbnnjjjjnaabjajbafxcxcxcxcxfxxdxxcxxdxcxxxdxcxxxdxxfxxdxcxxdx0,,,0(1).1cos2,1sin0;(2).0coscos,sinsin;(3).cossin0.(4)sinsin?llnllllknknlllllnxnxdxdxllkxnxkxnxndxldxlllllkxnxdxllkxnxdxll三角函数正交关系()1x分离变量法解的物理意义sincosnnxtll00.20.40.60.81-1-0.500.5100.