3.3.2随机数的含义与应用

3.3.2随机数的含义与应用1.几何概型定义：事件A理解为区域Ω的某一个子区域A，A的概率只与子区域A的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A的位置和形状无关，则称满足以上条件的试验为几何概型.2.事件A的概率：()APA复习引入：1.一只蚂蚁在如图所示的地板砖(除颜色不同外，其余全部相同)上爬来爬去，它最后随意停留在黑色地板砖上的概率是()1.4A1.3B1.5C1.2DB2.已知直线y=x+b，b∈[-2,3]，则直线在y轴上的截距大于1的概率为．253.在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1内任取一点P，则点P到点A的距离小于等于a的概率为()A.22B.22πC.16D.16πD4.已知|x|≤2,|y|≤2点P的坐标为(x，y)(1)求当x，y∈R时，P满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的概率；(2)求当x，y∈Z时，P满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的概率．解：(1)如右图，点P所在的区域为正方形ABCD的内部(含边界)，满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的点的区域为以(2,2)为圆心，2为半径的圆面(含边界)．∴所求的概率P1＝14π×224×4＝π16.（2）满足x,yZ，且的点(x,y)有25个，满足x,yZ，且(x-2)2+(y-2)2≤4的点(x,y)有6个，所求的概率为2,2xy2625p5.已知等腰Rt△ABC中，∠C=90°.（1）在线段BC上任取一点M，求使∠CAM＜30°的概率；（2）在∠CAB内任作射线AM，求使∠CAM＜30°的概率.解（1）设CM=x，则0xa（设BC=a）若∠CAM300,则0x故∠CAM300的概率为33a30,33()0,3aPAa长度长度（2）设∠CAM=，则0°＜＜45°.若∠CAM＜30°,则0°＜＜30°,故∠CAM＜30°的概率为000,30230,45PB长度长度2.随机数的产生(1)人工产生:(2)计算器:(3)计算机:抽签、摸球、转盘等费时、费力，而且有时很难确保抽到每一个数的机会是均等的.1.随机数:就是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的机会一样.(1)人工产生:（2）用函数型计算器产生随机数的方法:按一次SHIFT+RAN#键产生一个0~1之间的随机数，若需要多个，则重复按键；（3）计算机中用软件产生随机数（本书用Scilab产生随机数）：①Scilab中用rand()函数来产生0~1的均匀随机数，每调用一次rand()函数，就产生一个随机数。②若要产生a~b之间的随机数，可以使用变换rand()*(b－a)+a得到.3.随机数应用进行随机抽样模拟试验在某一个范围得到每一个数机会是均等,这样可代替我们自己做大量重复的试验，从而使我们近似地得出有关事件的概率。例1.随机模拟投掷硬币的试验，估计掷得正面的概率。解：用计算器产生一个0~1之间的随机数，如果这个数在0~0.5之间，则认为硬币正面向上，如果这个随机数在0.5~1之间，则认为硬币正面向下。记下正面向上的频数及试验总次数，就可以得到正面向上的频率了。试验次数正面向上的频数正面向上的频率50230.4660290.48370320.45780380.47590470.522100540.54例2.随机模拟3.3.1中例3海豚在水池中自由游弋的试验，并估计事件A：“海豚嘴尖离岸边不超过2m”的概率。我们利用计算机产生随机数x和y，用它们来表示海豚嘴尖的横坐标与纵坐标，如果(x，y)出现在图中的阴影部分，我们就认为事件A发生了。下面我们设计一个算法使计算机或计算器能模拟这个试验并根据事件A发生的概率.30m20m2m0xyS1用计数器n记录做了多少次试验，用计数器m记录其中有多少次(x，y)出现在阴影部分中，首先置n=0，m=0;S3判断(x，y)是否落在阴影部分中，即是否满足||x|－15|≤2或||y|－10|≤2，如果是，则m=m+1，如果不是，则m不变；S2用变换rand()*30－15产生－15~15之间的随机数x作为海豚嘴尖的横坐标，用变换rand()*20－10产生－10~10之间的随机数y作为海豚嘴尖的纵坐标；S4表示随机试验次数的计数器n值加1，即n=n+1,如果还需要试验，则返回步骤S2继续执行，否则，程序结束。程序结束后，事件A发生的频率作为A的概率近似值。mn试验次数事件A频数m事件A频率m/n100350.3510003240.3241000029970.2997100000305060.30506例3.利用随机数和几何概型求π的近似值.在下图所示的边长为2的正方形中随机撒一大把豆子，计算落在正方形的内切圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数之比，并以此估计圆周率π的值．如果我们把“在正方形中撒豆子”看成试验，把“豆子落在圆中”看成随机事件A．则落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数的比值就是事件A发生的频率．当我们撒一大把豆子时，这时频率可以近似地看成事件A的概率，可以认为这是一个几何概型问题．解：由几何概型的计算公式，得P(A)=—————圆面积正方形面积2244aa所以π=4×P(A).我们在正方形中撒了n颗豆子，其中有m颗落在圆中，则圆周率π的近似值等于4mn用例2的类似办法，设计一个算法用计算机模拟这个撒豆子的试验。S1用计数器n记录做了多少次试验，用计数器m记录其中有多少颗豆子落入圆中，首先置n=0，m=0;S2用变换rand()*2－1产生两个－1~1之间的随机数x和y，用它们来表示豆子的横坐标和纵坐标；S3判断(x，y)是否落在圆中，即是否满足x2+y2≤1，如果是，则计数器m=m+1，如果不是，则m不变；S4表示随机试验次数的计数器n值加1，即n=n+1,如果还需要试验，则返回步骤S2继续执行，否则，程序结束。程序结束后，计算作为π的近似值.4mn按照以上思路建立起来的方法称为计算机随机模拟法或蒙特卡洛方法。S3判断随机数x出现在6~9之间，如果是，则计数器m的值加1，即m=m+1，如果不是，m的值保持不变；S1用计数器n记录做了多少次试验，用计数器m记录其中有多少次随机数x出现在6~9之间，首先置n=0，m=0；解：设事件A表示“正方形面积介于36与81”2cm2cmS2用变换rand()*12产生0~12之间的均匀随机数；习题3-3A1.程序结束后事件A发生的频率作为事件A的概率的近似值.mnS4表示随机试验次数的计数器n的值加1，即n=n+1，如果还要继续试验，则返回步骤S2继续执行，否则，程序结束；我们利用计算机产生随机数x和y，如果点p(x，y)出现在图中的红色框内部分，我们就认为事件A发生了。习题3-3A2.xy0ABcp以BC所在直线x为,轴BC边上高所在直线为y轴,建立直角坐标系.设A(0,a),B(b,0),C(c,0)其中,,aoboco则：AB方程1xybaAC方程1xycaS1用计数器n记录做了多少次试验，用计数器m记录其中有多少次(x，y)出现在红色框内部分中，首先置n=0，m=0;S2用变换rand()*a产生0~a之间的随机数y作为纵坐标，用变换rand()产生的随机数x满足作为横坐标；cbcyxbyaaS3判断(x，y)是否落在红色框内部分中，即是否满足且如果是，则m=m+1，如果不是，则m不变；02aycbcyxbyaaS4表示随机试验次数的计数器n值加1，即n=n+1,如果还需要试验，则返回步骤S2继续执行，否则，程序结束。程序结束后，事件A发生的频率作为A的概率近似值。mn我们利用计算机产生随机数x和y，如果(x，y)出现在图中的阴影部分，我们就认为事件A发生了。下面我们设计一个算法使计算机或计算器能模拟这个试验并根据事件A发生的概率.习题3-3A4.S1用计数器n记录做了多少次试验，用计数器m记录其中有多少次(x，y)出现在阴影部分中，首先置n=0，m=0;6x-3y-4=0xy0-11-11S2用变换rand()*2-1产生－1~1之间的随机数x作为横坐标，用变换rand()*2－1产生－1~1之间的随机数y作为纵坐标；S3判断(x，y)是否落在阴影部分中，即是否满足且，如果是，则m=m+1，如果不是，则m不变；116X4123yxS4表示随机试验次数的计数器n值加1，即n=n+1,如果还需要试验，则返回步骤S2继续执行，否则，程序结束。程序结束后，事件A发生的频率作为A的概率近似值。mn