算符对易

§3.7算符的对易关系两力学量同时有确定值的条件测不准关系一、算符的对易关系1.对于任一波函数，有注意：算符的意义是对波函数（状态）进行运算操作，算符之间的关系是先后对同一波函数操作的结果之间的(1)xxpxix(2)pxxxixii关系。显然（1）（2）两种操作之间结果不同：其中为任意波函数记为（5）式称为算符和的对易关系(comutationrelation),等式不为零，我们说，与不对易。同理(3)xxxppxi(4)xxxppxi,(5)xxpiABABBAxxpxxp,(6)yypi,(7)zzpi注意(5),(6),(7)左边[]表算符乘积交易次序之差（测量次序不同结果不同）另外:称上面三组算符之间对易一般结论：动量分量算符和它对应的坐标算符不对易。如；而和它不对应的坐标之间对易（如和，和），动量各分量算符之间是对易的。,0(8)yxp,0(9)zyp,0(10)xypp,,,,,0xyzxpypzpxpyypx(5),(6),(7)可合并记为(8),(9),(10)可合并记为(11)式为量子力学基本对易式2.其它力学量之间的对易关系1）量子力学中算符的一般性质：（a）线性算符：满足描写客观测量的都是线性算符，这是态迭加原理的反映。单位算符：满足,=1,2,3,(11)xpi,0pp11221122(12)ACCCACAI(13)I(b)算符之和，满足如哈密顿算符，而,，，(c)算符之积，算符对的运算结果，等于先对运算，然后再用对运算。一般说来算符之积不满足交换率：(15)ABABHTU2222222rplTr1rpirrABBA(16)ABCABC(17)ABABABBAB(18)ABBA典型例子：(d)对易式的代数恒等式：,xxxxpxppxi,,,,,,,,(19),,,,,,,,,0ABBAABCABACABCBACABCACBABCACBABCBACCAB2）角动量算符之间的对易关系力学量都是坐标和动量的函数，由基本对易关系和恒等式(19)之一，可以导出其它力学量之间的对易关系。角动量算符定义：分量式：(22)式合并写为,xpi(20)lrp,0,,,,,,,0,,(22),,,,,0xxxyyyzzzlxlyizlziylxizlylzixlxiylyixlz,(23)lxix式中为levi-Civifa符号，定义为对换任意两个指标变号，有两个指标相同则为0，如同理，所以，(26)式即为角动量各分量间对易关系合写式，分开写为：123(24)1,,1,2,3或x,y,z,,,1121210,(25)rlpip,(26)rllil,0,,0,,0(27),,,,,xxyyzzxzzyzxzxyllllllllilllilllil将上式非0式合写，成为:另外，定义：角动量平方算符则而和的球坐标表达式以在3.2节中讲过。3）算符一般性质补充ˆˆˆ(28)llil2222(29)xyzllll2,0,,,(30)llxyz2l,,xyzlll(a)逆运算设能够唯一解出，则定义算符的逆为：不是所有算符存在逆算符，如矢量分解，投影算符。又(b)算符的函数设给定一函数存在各阶导数，幂级数张开收敛：(31)AA1A1(32)A111,,0(33)AAAAIAA111ABBAFx00(34)!nnnFFxxn如二、两个算符对易的条件1.两个算符对易的条件即两个算符所表示的力学量同时有确定值的条件。如果两个算符和有一组共同本征函数，而且组成完全系，则算符和对易。证明：由于为任一波函数，所以0:(36)!dnnaaxdxnndadFxeFedxndxˆFˆGnnˆFˆG,,0nnnnnnnnnnnnnnnnnFGaFGGFa而0,0FGGFFG即对易逆定理：如果两个算符对易，则这两个算符有组成完全系的共同本征函数。两个算符对易的条件可以推广到任一多个算符，逆定理也是。如果一组算符有共同的本征函数，而且这些共同本征函数组成完全系，则这组算符中的任何一个和其余算符对易。反之亦然。2.力学量共同本征函数的例子：a)互相对易：共同本征函数同时具有确定值b)氢原子的哈密顿，角动量平方算符，角动量子分量互相对易，共同本征函数：，确定值：,,xyzppp3212iprpe,,,xyzpppˆH2LzL,,nlmr2,1,nEllm三、力学量完全集1.要完全确定体系的状态，需要有互相对易的力学量，通过他们的本征值，这一组完全确定体系状态的力学量，称为力学量的完全集。其力学量数目一般等于自由度数。2.例：自由粒子，3个自由度：氢原子中电子，3个自由度：三个量子数四、测不准关系1.设和的对易关系为,,xyzpppˆˆ,,zHll,,nlmˆFˆGˆˆˆˆˆ(37)FGGFik令则如果不为，则和的均方偏差不会同时为0，乘积大于某一正数。例如则证明：令函数其中为实参数，即分区域为变量变化的整个空间ˆˆˆˆ,(38)FFFGGG222ˆˆ(39)4kFGk0ˆFˆG,xxpi222(40)4xXp2ˆˆ0IFiGdˆˆˆˆIFiGFiGdˆˆˆˆˆˆˆˆ(41)FFdiGFFGdGGd：厄密算符：所以而ˆˆ,FGFdFd222ˆˆˆˆˆˆFdiFGGFdGdˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ=FGGFFFGGGGFFFGGFik注：可以作为公式使用上式为二次多项式，系数必须满足（44）称为测不准关系，是量子力学最重要的关系。当不对易，，则的均方偏差不能同时为0，而者乘积恒大于某一正数。令则坐标——动量测不准关系ˆˆˆˆ,,(42)FGFG222ˆˆˆ0(43)IFkG0I222ˆˆ(39)4kFGˆˆ,FGˆˆ,FG0kˆˆ,,xFxGp,xxpi即k=2224xxp当坐标x的均方偏差越小，即测量粒子位置越准确，则测其共轭动量的均方偏差越大；反之亦然。类比：光的单缝衍射。2.测不准关系的应用例子例1）隧道效应中的粒子能量由于与不对易，所以动能算符与势能算符不对易，所以（44）式应理解为一个态中平均总能量为平均势能和平均动能之和，注意，求平均值对变量变化的整个区域积分。当粒子在势垒范围内被发现时，由测不准关系粒子动能就在一定范围内不确定：2xxp2ˆˆˆˆˆ(44)22ppEUxHUxTVˆxˆpxa2222222,,4428xxxxaxppapTa例2）线性谐振子零点能是测不准关系所要求的最小能量而（分部积分）222122pEx22222222222220=0nnnxnxxnxNeHxxdxdpNeHxeHxdxidxp式中利用Hermit多项式逆推公式式中可用x11220nnnHHnHp12nnHnH1122221111221122112122nnnnnnnnnnnnxxxxxxnnxnxnnxdnnxxxdx22222122112nnnndxnnxdxnxnnx又由测不准关系取等号222(45)FFF2222,xxpp2224px22211,82Exx E有极值，极小：22222110,0,822dExdxx将上式代回式零点能。例3）则在本征态中，这时E2E,xyzLLiL22224yxyLLLzL,lmYzLm24224xymLL