第四章4线性方程组解的结构

第四节线性方程组的解的结构一、齐次线性方程组解的性质二、基础解系及其求法三、非齐次线性方程组解的性质１．解向量的概念设有齐次线性方程组000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa（1）一、齐次线性方程组解的性质,aaaaaaaaaAmnmmnn212222111211nxxxx21则上述方程组（1）可写成矩阵方程.Axnnxxx,,,2211若为方程的Ax解，则Tnx21称为方程组(1)的解向量，它也就是矩阵方程(2)的解．若记２．齐次线性方程组解的性质（1）若为的解，则21x,xAx21xAx也是的解.证明2121AAA21,AA.21的解也是故Axx（2）若为的解，为实数，则也是的解．1xAxk1kxAx证明11kAkA.k如果解系的基础称为齐次线性方程组,,,,21Axrn;,,,)1(21的解的一组线性无关是Axrn.,,,)2(21线性表出的任一解都可由rnAx１．基础解系的定义二、基础解系及其求法基础解系就是齐次线性方程组的解集的最大无关组.的通解可表示为那么的一组基础解系为齐次线性方程组如果AxAxt,,,,,21ttkkkx2211.,,,21是任意常数其中tkkk２、线性方程组基础解系的求法设齐次线性方程组的系数矩阵Ａ的秩为ｒ，量线性无关．因此，Ａ的前ｒ个行向0,rD又任意ｒ+１个行向量线性相关，所以齐即（１）中的前ｒ个方程与（１）同解.rEBAOO（２）并不妨设Ａ的左上角ｒ阶子式次线性方程组的ｍ-ｒ个方程多余.所以对系数矩阵Ａ进行初等行变换，将其化为最简形11111221,1122,0rrnrnrrrrrrnrnxbxbxbxAxxbxbxbx所以即（３）11111221,22112222,1122,1122rrnrnrrnrnrrrrrrnrnrrrrnnxbxbxbxxbxbxbxxbxbxbxxxxxxx于是，（１）的全部解就可以写成其中12,,,rrnxxx是任意实数.根据向量的运算法则，（３）可以整理成为：令（４）为（４）1122nrnrkkk（５）则（５）就为方程组的通解.0Ax如果12,,,nr为齐次线性方程组（１）的一个基础解系.1212rrrnxxxxxx112111100rrbbbx122222010rrbbbx1,2,,001nrnrrnrnbbbx１、证明12,,,nr线性无关.由于ｎ-ｒ个ｎ-ｒ维列向量100010,,,001线性无关，所以ｎ-ｒ个ｎ维向量12,,,nr２、证明解空间的任一解都可由12,,,nr线性表示.设11Trrnx为某一解向量，1122rrnnr再构造12,,,nr的一个线性组合：rn,,,210Ax0Ax由于是的解，故η也是的解.亦线性无关.下证12,,,nr是线性方程组的一组基础解系.1122rrnnr122rrrnccc１易知：方程组的前ｒ个未知量可由后ｎ－ｒ个未知量唯一确定.112111100rrbbb122222010rrbbb1,2,,001nrnrrnrnbbb112.rrrncc.c,,crr11112rrrn而；.故1122.rrnnr即所以是齐次线性方程组解空间的一个基.12,,,nr说明１、解空间的基不是唯一的．２、解空间的基又称为方程组的基础解系．３、任ｎ-ｒ个线性无关的解向量构成基础解系．２．线性方程组基础解系的求法00001001~,1,111rnrrrnbbbbA设齐次线性方程组的系数矩阵为，并不妨设的前个列向量线性无关．r于是可化为AAAnrn,rrrrnrn,rxbxbxxbxbx1111111Ax现对取下列组数：nrx,,x1rnnrrxxx21.,100,010,001nrn,rrrrnrn,rxbxbxxbxbx1111111分别代入依次得rxx1,bbr0011111,0102122rbb.bbrn,rrn,rn1001.bb,rn,rrn,1,bbr212,bbr111,从而求得原方程组的基础解系：.kkkxrnrn2211定理7.,)(rnRSxAnrARASnmnm的秩的解集线性方程组元齐次时的秩当系数矩阵.,,)(故没有基础解系方程组只有零解时当nAR.,,,,,,,,)(2121为任意实数其中为此时方程组的解可表示基础解系个向量的方程组必有含时当rnrnkkkrnnrAR,2211rnrnkkkx例1求齐次线性方程组0377,02352,0432143214321xxxxxxxxxxxx的基础解系与通解.解,0000747510737201137723521111~A对系数矩阵作初等行变换，变为行最简矩阵，有A.7475,7372432431xxxxxx便得,100143及令xx,7473757221及对应有xx,107473,01757221即得基础解系).,(,10747301757221214321Rccccxxxx并由此得到通解例2解线性方程组076530230553203454321543215432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx解76513123115531234111A对系数矩阵施行初等行变换00000000001311034111~,rn,n,rAR352即方程组有无穷多解，其基础解系中有三个线性无关的解向量.543254321334xxxxxxxxx代入26220262201311034111~543xxx令,010,001.100所以原方程组的一个基础解系为,001121故原方程组的通解为.kkkx332211.k,k,k为任意常数其中321,xx1221依次得.12,31,010312.1001231231232323:,,Ax0,,,:,,Ax0?123123例3设是齐次线性方程组的一个基础解系,问能否做为的基础解系,,Ax02),,123123要点:1)是否的解是否线性无关例4齐次线性方程组123123123000xxxxxxxxx只有零解，则λ满足（）.1例5设ｎ阶矩阵Ａ的各行元素之和为0，且秩为0Ax的通解为_______________.ｎ－１，则线性方程组111Tk分析：()1,RAn0Ax则的基础解系只有一个向量.0Ax设的第ｉ个方程为11220,iiinnaxaxax120,iiinaaa又矩阵Ａ的各行元素之和为0，即121nxxx为它的一个解向量.0Ax的通解为111.Tk例6设三阶矩阵Ｂ≠０，且Ｂ的每一列均为方程的解，1231231232202030xxxxxxxxx（１）求λ.（２）证明0.B解（１）因为Ｂ≠０，且Ｂ的每一列均为方程的解，所以方程组有非零的解，即方程组的系数行列式等于零.12221311D10.RBB12200105501.（２）当时，方程组的矩阵为1122211311A100011000所以2RA则线性方程组基础解系所含向量的个数为3－2＝1个，.,1)(2121的解为对应的齐次方程则的解都是及设AxxbAxxx１．非齐次线性方程组解的性质三、非齐次线性方程组解的性质.,,2)(的解仍是方程则的解是方程的解是方程设bAxxAxxbAxx.11rnrnkkx其中为对应齐次线性方程组的通解，为非齐次线性方程组的任意一个特解.rnrnkk11２．非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组的通解为bAxAx=0称为Ax=b的导出组。Ax=b的解为导出组Ax=0的基础解系与Ax=b的特解之和。其中为其导出组的通解，1122nrnrkkk2、非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组的通解为Axb1122.nrnrxkkk为非齐次线性方程组的任意一个特解.例1求解方程组.2132,13,0432143214321xxxxxxxxxxxx解:施行初等行变换对增广矩阵B2132111311101111B,00000212100211011~并有故方程组有解可见,,2)()(BRAR.212,2143421xxxxx,042xx