56随机过程的基本概念

第一节随机过程的定义及其分类第二章随机过程的基本概念第二节随机过程的分布及其数字特征第三节几种重要的随机过程简介第一节随机过程的定义及其分类一、直观背景及例子电话站在时刻t时以前接到的呼叫次数例1一般情况下它是一个随机变数X，并且依赖时间t，即随机变数X(t)，t[0,24]。例2研究某一商品的销售量一般情况下它是一个随机变数X，并且依赖时间t，即随机变数X(t)，t=1,2,…。Home例3排队模型表示依赖于一个变动参量的一族随机变量（无穷多个随机变量）。虽然它不能用一个确定的函数来描述，但也是有规律的。顾客来到服务站要求服务。用X(t)表示t时刻的队长，用Y(t)表示t时刻到来的顾客所需的等待时间，则它们都是随机过程。随机过程Home二、随机过程的定义1．随机过程设已给概率空间(Ω,F,P)及一参数集T，若对每一个t∈T均有定义在(Ω,F,P)上的一个r.v.X(t,ω)与之对应，则称依赖于参数t的r.v.族X(t,ω)为一随机过程。记法{(),}()XttTXt或说明1参数集T：可离散可连续。随机序列或时间序列：{X(n),n=0,1,…}或{X(n),n≥0}HomeHome说明2参数t的含义：通常指时间参数，也可是其他物理量。参数t的维数：一维、多维（随机场）。例考虑某一海面的波浪的浪高随时间的变化情况。四维说明3原因：{)(tX，Tt}是定义在T上的二元函数Home对固定的样本点ω0∈Ω，X(t,ω0)是定义在T上的一个函数（确定性函数），称为X(t)的一条样本路径或一个样本函数，或轨道、现实。对固定的样本点t0∈T，X(t0)=X(t0,ω)是定义在(Ω,F,P)上的一个随机变量，其取值随着试验的结果而变化，变化有一定的规律，用概率分布刻画。“随机”性变化“过程”三、随机过程的分类1、按参数集和状态分类参数集T的是一个可列集T={0，1，2，…}离散参数连续参数参数分类参数集T的是一个不可列集}0|{ttT状态分类离散状态连续状态)(tX取值是离散的取值是连续的HomeT离散、S离散T离散、S非离散（连续）参数T状态S分类概率结构分类2．按过程的概率结构分类T非离散（连续）、S离散T非离散（连续）、S非离散（连续）独立随机过程独立增量过程Markov过程平稳过程Home第二节随机过程的分布及其数字特征一、随机过程的分布函数一维分布函数分布函数设{)(tX，Tt}是一个随机过程，对于固定的Tt1，)(1tX是一个随机变量，})({)(1111xtXPxtF；，Tt1称)(11xtF；为随机过程)(tX的一维分布函数。一维概率密度若存在二元非负函数)(11xtf；，使11111)()(1dyytfxtFx；；则称)(11xtf；为随机过程)(tX的一维概率密度Home如何描述随机过程的统计特性？如何描述随机变量的统计特性？二维分布函数联合分布函数二维概率密度二维随机向量（)(1tX，)(2tX）Ttt),(21})(,)({),,(22112121xtXxtXPxxttF；，称为随机过程)(tX的二维分布函数若存在非负函数),,(2121xxttf；),,(2121xxttF；=212121),,(12dydyyyttfxx；则称),,(2121xxttf；为)(tX的二维概率密度Homen维分布函数联合分布函数n维概率密度n维随机向量（)(1tX，)(2tX，…，)(ntX）1212(,,,,,,)nnFtttxxx；})(,)(,)({2211nnxtXxtXxtXP，若存在非负函数),,,,,,(2121nnxxxtttf；),,,,,,(2121nnxxxtttF；=nnnxxxdydydyyyytttfn212121),,,,,,(12；Home有限维分布族具有对称性、相容性，Kolmogorov定理（随机过程的存在性定理，证明参看王梓坤《随机过程》）随机过程统计特性的完整描述有限维分布族一维，二维，…，n维分布函数的全体易知}1,,,,),,,,,,,({212121nTtttxxxtttFnnn；它不仅刻划了每一时刻Tt1随机过程)(tX的状态)(1tX的分布规律，而且也刻划了任意时刻Ttttn,,,21随机过程)(tX的状态)(1tX，)(2tX，…，)(ntX之间的关系。Home联合分布函数n+m维随机向量分布函数设)(tX和)(tY，nttt,,,21，Ttttm,,,21{)(1tX,)(2tX,…,)(ntX，)(1tY,)(2tY,…,)(mtY}nXYttF,,(1；mtt,,1；nxx,,1；myy,,1）；nnxtXxtXP)(,,)({11mmytYytY）（）（,,11}称为随机过程X(t)和Y(t)的n+m维联合分布函数Home相互独立分布函数设)(tX和)(tY，nttt,,,21，Ttttm,,,21nXYttF,,(1；mtt,,1；nxx,,1；myy,,1）则称随机过程相互独立；nXttF,,(1nxx,,1）(YFmtt,,1；myy,,1）)(tX和)(tYHome,()3,ttttXte如果时取得红球如果时取得白球例1袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t对应随机变量试求这个随机过程的一维分布函数族。分析先求概率密度Home所以解对每一个确定的时刻t，)(tX的概率密度为3tte)(tX3231P)(11xtF；))((11xtXP1111110,32,331tttxtxexe，Home二、随机过程的数字特征1．均值函数或称为数学期望。说明设随机过程{)(tX，Tt}，则)]([)(tXEtm，Tt，称为随机过程)(tX的均值函数，)(tm是)(tX的所有样本函数在时刻t的函数值的平均它表示随机过程)(tX在时刻t的摆动中心Home2．方差函数说明随机过程{)(tX，Tt}的二阶中心矩]))()([()]([)(2tmtXEtXDtD称为随机过程)(tX的方差函数)(tD的平方根)(t)(tD均方差函数它表示)(tX在各个时刻t对于)(tm的偏离程度Home3．协方差函数二阶中心混合矩简称协方差函数随机过程)(tX在Ttt21,的状态)(1tX和)(2tX12(,)Ctt))]()())(()([(2211tmtXtmtXE称为随机过程)(tX的自协方差函数，当Tttt21，有注()(,)DtCtt]))()([(2tmtXEHome4．互协方差函数设)(tX和)(tY是两个随机过程，对任意Ttt21,，则12(,)XYCtt)]()()][()([2211tmtYtmtXEYX称为随机过程)(tX与)(tY的互协方差函数。)]([)(11tXEtmX其中)]([)(22tYEtmYHome5．相关函数简称相关函数注对任意Ttt21,，)(1tX和)(2tX的二阶原点混合矩),(21ttR)]()([21tXtXE称为随机过程)(tX的自相关函数，当0)(tm时，有),(21ttR=12(,)CttHome12(,)Ctt=12(,)Rtt12()()mtmt协方差函数如何用相关函数和均值函数表示？6．互相关函数注对任意Ttt21,，设)(tX和)(tY是两个随机过程),(21ttRXY)]()([21tYtXE称为随机过程)(tX与)(tY的互相关函数12(,)XYCtt=),(21ttRXY)()(21tmtmYX则Home7．互不相关注对任意Ttt21,设)(tX和)(tY是两个随机过程12(,)XYCtt=0则称随机过程)(tX与)(tY互不相关。有若随机过程)(tX与)(tY互不相关则),(21ttRXY)()(21tmtmYX即)]([)]([)]()([2121tYEtXEtYtXE若HomeHome小结X(t)X(t)、Y(t)均值函数协方差函数自相关函数互协方差函数互相关函数解例2求：（1）均值函数；（2）协方差函数；（3）方差函数。设随机过程tUtX2cos)(，其中U是随机变量且5)(UE，6)(UD（1）)(tm]2cos[)]([tUEtXE][2cosUtEt2cos5（2）12(,)Ctt1122[(()())(()())]EXtmtXtmt]2cos)5(2cos)5[(21tUtUE])5[(2cos2cos221UEtt][2cos2cos21UDtt212cos2cos6tt（3）令ttt21得ttXD2cos6)]([2Home解所以例3试求它们的互协方差函数。设两个随机过程2)(UttX，3)(UttY其中U是随机变量且5)(UD)(tX和)(tY的均值函数][)(2UtEtmX][2UEt][)(3UtEtmY][3UEt12(,)XYCtt)]}()()][()({[322211UEttYUEttXE]))([(23221UEUEtt)(3221UDtt)(tX和)(tY的互协方差函数Home三、随机过程的特征函数1．一维特征函数则注设)(tX是一个随机过程，对固定的Tt1，][),()(1111tXieEt111)(11dxxtfexi；（)(11xtf；是)(1tX的一维密度函数，1是实数）称为随机过程)(tX的一维特征函数它是1t与1的二元函数Home2．n维特征函数则3.有限维特征函数族设)(tX是一个随机过程，对固定的Tttn,1，，][),,,,()()((1111nntXtXinneEtt；称为随机过程)(tX的n维特征函数其中1，n,是实数。{)(tX，Tt}的一维，,n维特征函数的全体{),,,,(11nntt；，Tttn,,1，1n}注随机过程)(tX的有限维分布函数族与有限维特征函数族相互唯一决定HomeHome作业1-1令，其中A是随机变量，其分布律为()cos,XtAtt1(),1,2,33PAii试求：（1）随机过程的一维分布函数（2）随机过程的二维分布函数(),Xtt(),Xtt(;),(;)42FxFx12(0,;,)2FxxHome作业1-2设，其中A，B是相互独立，且都服从正态分布的随机变量，是实常数。试求的均值函数和相关函数。()cossin,XtAtBtt2(0,)N(),Xtt第三节几种重要的随机过程简介Home独立随机过程独立增量过程Markov过程平稳过程平稳增量过程一、独立随机过程简称独立随机过程。设{)(tX，Tt}对任意n个不同的1t,2t,…,Ttn)(1tX，)(2tX，…，)(ntX是相互独立的则称)(tX为具有独立随机变量的随机过程，Home二、独立增量过程是相互独立的，设{)(tX，Tt}对任意n个不同的1t,2t,…,Ttn，nntttt121,且)()(12tXtX，)()(23tXtX，…，)()(1nntXtX则称)(tX为独立增量过程。Home1.定义Home2.两个重要结论结论一独立增量过程的有限维分布函数族由其一维分布和增量分布完全确定。结论二独立增量过程一定是马氏过程。例1证设{)(nX，,2,1,0n}是相互独立的随机变量序列，令)()(0nXiYin则{)(iY，,2,1,0i}是一个独立增量过程。)1()(iYiY)(iX（,2,1i）而)(iX（,2,1i）是相互独立的所以{)(iY，,2,1,0i}是一个独立增量过程。Home三、平稳过程平稳过程的统计特性与Mark