抽象函数的性质及其经典例题

抽象函数的性质及其金典例题函数的周期性：1、定义在x∈R上的函数y=f(x)，满足f(x+a)=f(x-a)（或f(x-2a)=f(x)）(a0)恒成立，则y=f(x)是周期为2a的周期函数；2、若y=f(x)的图像关于直线x=a和x=b对称，则函数y=f(x)是周期为2|a-b|的周期函数；3、若y=f(x)的图像关于点(a,0)和(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期为2|a-b|的周期函数；4、若y=f(x)的图像有一个对称中心A(a,0)和一条对称轴x=b（a≠b），则函数y=f(x)是周期为4|a-b|的周期函数；5、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x)，其中a0，且如果y=f(x)为奇函数，则其周期为4a；如果y=f(x)为偶函数，则其周期为2a；6、定义在x∈R上的函数y=f(x)，满足f(x+a)=-f(x)1()fxafx或1()fxafx或，则y=f(x)是周期为2|a|的周期函数；7、若11fxfxafx在x∈R恒成立，其中a0，则y=f(x)是周期为4a的周期函数；8、若11fxfxafx在x∈R恒成立，其中a0，则y=f(x)是周期为2a的周期函数。函数图像的对称性：1、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图像关于直线2abx对称；2、若函数y=f(x)满足f(x)=f(2a-x)或f(x+a)=f(a-x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称；3、若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图像关于点,22abc成中心对称图形；4、曲线f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线的方程为f(2a-x,2b-y)=0；5、形如0,axbycadbccxd的图像是双曲线，由常数分离法dadadaxbbacccyddccxcxcc知：对称中心是点,dacc；6、设函数y=f(x)定义在实数集上，则y=f(x+a)与y=f(b-x)的图像关于直线2bax对称；7、若函数y=f(x)有反函数，则y=f(a+x)和y=f-1(x+a)的图像关于直线y=x+a对称。含有函数记号“()fx”有关问题解法由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号()fx的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下：一、求表达式：1.换元法：即用中间变量表示原自变量x的代数式，从而求出()fx，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。例1：已知()211xfxx,求()fx.解：设1xux,则1uxu∴2()2111uufuuu∴2()1xfxx2.凑合法：在已知(())()fgxhx的条件下，把()hx并凑成以()gu表示的代数式，再利用代换即可求()fx.此解法简洁，还能进一步复习代换法。例2：已知3311()fxxxx，求()fx解：∵22211111()()(1)()(()3)fxxxxxxxxxx又∵11||||1||xxxx∴23()(3)3fxxxxx，(|x|≥1)3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。例3．已知()fx二次实函数，且2(1)(1)fxfxx+2x+4,求()fx.解:设()fx=2axbxc，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)fxfxaxbxcaxbxc=22222()24axbxacxx比较系数得2()41321,1,2222acaabcb∴213()22fxxx4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.例4.已知y=()fx为奇函数,当x0时,()lg(1)fxx,求()fx解:∵()fx为奇函数，∴()fx的定义域关于原点对称，故先求x0时的表达式。∵-x0,∴()lg(1)lg(1)fxxx,∵()fx为奇函数，∴lg(1)()()xfxfx∴当x0时()lg(1)fxx∴lg(1),0()lg(1),0xxfxxx例5．一已知()fx为偶函数，()gx为奇函数，且有()fx+1()1gxx，求()fx,()gx.解：∵()fx为偶函数，()gx为奇函数，∴()()fxfx,()()gxgx,不妨用-x代换()fx+()gx=11x………①中的x,∴1()()1fxgxx即()fx－1()1gxx……②显见①+②即可消去()gx,求出函数21()1fxx再代入①求出2()1xgxx5.赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出()fx的表达式例6：设()fx的定义域为自然数集，且满足条件(1)()()fxfxfyxy,及(1)f=1,求()fx解：∵()fx的定义域为N，取y=1,则有(1)()1fxfxx∵(1)f=1,∴(2)f=(1)f+2,(3)(2)3ff……()(1)fnfnn以上各式相加，有()fn=1+2+3+……+n=(1)2nn∴1()(1),2fxxxxN二、利用函数性质，解()fx的有关问题1.判断函数的奇偶性：例7已知()()2()()fxyfxyfxfy,对一切实数x、y都成立，且(0)0f,求证()fx为偶函数。证明：令x=0,则已知等式变为()()2(0)()fyfyffy……①在①中令y=0则2(0)f=2(0)f∵(0)f≠0∴(0)f=1∴()()2()fyfyfy∴()()fyfy∴()fx为偶函数。2.确定参数的取值范围例8：奇函数()fx在定义域（-1，1）内递减，求满足2(1)(1)0fmfm的实数m的取值范围。解：由2(1)(1)0fmfm得2(1)(1)fmfm，∵()fx为函数，∴2(1)(1)fmfm又∵()fx在（-1，1）内递减，∴221111110111mmmmm3.解不定式的有关题目例9：如果()fx=2axbxc对任意的t有(2)2)ftft,比较(1)(2)(4)fff、、的大小解：对任意t有(2)2)ftft∴x=2为抛物线y=2axbxc的对称轴又∵其开口向上∴f(2)最小，f(1)=f(3)∵在［2，＋∞)上，()fx为增函数∴f(3)f(4),∴f(2)f(1)f(4)五类抽象函数解法1、线性函数型抽象函数线性函数型抽象函数，是由线性函数抽象而得的函数。例1、已知函数f（x）对任意实数x，y，均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，f（－1）＝－2，求f（x）在区间[－2，1]上的值域。分析：由题设可知，函数f（x）是的抽象函数，因此求函数f（x）的值域，关键在于研究它的单调性。解：设，∵当，∴，∵，∴，即，∴f（x）为增函数。在条件中，令y＝－x，则，再令x＝y＝0，则f（0）＝2f（0），∴f（0）＝0，故f（－x）＝f（x），f（x）为奇函数，∴f（1）＝－f（－1）＝2，又f（－2）＝2f（－1）＝－4，∴f（x）的值域为［－4，2］。例2、已知函数f（x）对任意，满足条件f（x）＋f（y）＝2+f（x＋y），且当x＞0时，f（x）＞2，f（3）＝5，求不等式的解。分析：由题设条件可猜测：f（x）是y＝x＋2的抽象函数，且f（x）为单调增函数，如果这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。解：设，∵当，∴，则，即，∴f（x）为单调增函数。∵，又∵f（3）＝5，∴f（1）＝3。∴，∴，即，解得不等式的解为－1a3。2、指数函数型抽象函数例3、设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在，使得，对任何x和y，成立。求：（1）f（0）；（2）对任意值x，判断f（x）值的正负。分析：由题设可猜测f（x）是指数函数的抽象函数，从而猜想f（0）＝1且f（x）＞0。解：（1）令y＝0代入，则，∴。若f（x）＝0，则对任意，有，这与题设矛盾，∴f（x）≠0，∴f（0）＝1。（2）令y＝x≠0，则，又由（1）知f（x）≠0，∴f（2x）＞0，即f（x）＞0，故对任意x，f（x）＞0恒成立。例4、是否存在函数f（x），使下列三个条件：①f（x）＞0，x∈N；②；③f（2）＝4。同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，如不存在，说明理由。分析：由题设可猜想存在，又由f（2）＝4可得a＝2．故猜测存在函数，用数学归纳法证明如下：（1）x＝1时，∵，又∵x∈N时，f（x）＞0，∴，结论正确。（2）假设时有，则x＝k＋1时，，∴x＝k＋1时，结论正确。综上所述，x为一切自然数时。3、对数函数型抽象函数对数函数型抽象函数，即由对数函数抽象而得到的函数。例5、设f（x）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足，求：（1）f（1）；（2）若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范围。分析：由题设可猜测f（x）是对数函数的抽象函数，f（1）＝0，f（9）＝2。解：（1）∵，∴f（1）＝0。（2），从而有f（x）＋f（x－8）≤f（9），即，∵f（x）是（0，＋∞）上的增函数，故，解之得：8＜x≤9。例6、设函数y＝f（x）的反函数是y＝g（x）。如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a＋b）＝g（a）·g（b）是否正确，试说明理由。分析:由题设条件可猜测y＝f（x）是对数函数的抽象函数，又∵y＝f（x）的反函数是y＝g（x），∴y＝g（x）必为指数函数的抽象函数，于是猜想g（a＋b）＝g（a）·g（b）正确。解：设f（a）＝m，f（b）＝n，由于g（x）是f（x）的反函数，∴g（m）＝a，g（n）＝b，从而，∴g（m）·g（n）＝g（m＋n），以a、b分别代替上式中的m、n即得g（a＋b）＝g（a）·g（b）。4、三角函数型抽象函数三角函数型抽象函数即由三角函数抽象而得到的函数。例7、己知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三条件：①当是定义域中的数时，有；②f（a）＝－1（a＞0，a是定义域中的一个数）；③当0＜x＜2a时，f（x）＜0。试问：（1）f（x）的奇偶性如何？说明理由。（2）在（0，4a）上,f（x）的单调性如何？说明理由。分析:由题设知f（x）是的抽象函数，从而由及题设条件猜想：f（x）是奇函数且在（0，4a）上是增函数（这里把a看成进行猜想）。解：（1）∵f（x）的定义域关于原点对称，且是定义域中的数时有，∴在定义域中。∵，∴f（x）是奇函数。（2）设0＜x1＜x2＜2a，则0＜x2－x1＜2a，∵在（0，2a）上f（x）＜0，∴f（x1），f（x2），f（x2－x1）均小于零，进而知中的，于是f（x1）＜f（x2），∴在（0，2a）上f（x）是增函数。又，∵f（a）＝－1，∴，∴f（2a）＝0，设2a＜x＜4a，则0＜x－2a＜2a，，于是f（x）＞0，即在（2a，4a）上f（x）＞0。设2a＜x1＜x2＜4a，则0＜x2－x1＜2a，从而知f（x1），f（x2）均大于零。f（x2－x1）＜0，∵，∴，即f（x1）＜f（x2），即f（x）在（2a，4a）上也是增函数。综上所述，f（x）在（0，4a）上是增函数。5、幂函数型抽象函数幂函数型抽象函数，即由幂函数抽象而得到的函数。例8、已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）＝f（x）·f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，当时，。（1）判断f（x）的奇偶性；（2）判断f（x）在［0，＋∞