浙江高考数学一轮复习第十章10.1椭圆及其性质课件

第十章圆锥曲线与方程§10.1椭圆及其性质高考数学(浙江专用)考点一椭圆的定义和标准方程1.(2014大纲全国,6,5分)已知椭圆C: + =1(ab0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为 ,过F2的直线l交C于A、B两点.若△AF1B的周长为4 ,则C的方程为 ()A. + =1B. +y2=1C. + =1D. + =122xa22yb33323x22y23x212x28y212x24y五年高考答案A由题意及椭圆的定义知4a=4 ,则a= ,又 = = ,∴c=1,∴b2=2,∴C的方程为 + =1,选A.33ca3c3323x22y2.(2014辽宁,15,5分)已知椭圆C: + =1,点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|=.29x24y答案12解析由椭圆方程知椭圆C的左焦点为F1(- ,0),右焦点为F2( ,0).则M(m,n)关于F1的对称点为A(-2 -m,-n),关于F2的对称点为B(2 -m,-n),设MN中点为(x,y),所以N(2x-m,2y-n).所以|AN|+|BN|= + =2[ + ],故由椭圆定义可知|AN|+|BN|=2×6=12.555522(225)(2)xy22(225)(2)xy22(5)xy22(5)xy评析本题主要考查椭圆定义等知识,重点考查学生的运算能力,数形结合思想.3.(2014安徽,14,5分)设F1,F2分别是椭圆E:x2+ =1(0b1)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点.若|AF1|=3|F1B|,AF2⊥x轴,则椭圆E的方程为.22yb答案x2+ y2=132解析不妨设点A在第一象限,∵AF2⊥x轴,∴A(c,b2)(其中c2=1-b2,0b1,c0).又∵|AF1|=3|F1B|,∴由 =3 得B ,代入x2+ =1得 + =1,又c2=1-b2,∴b2= .故椭圆E的方程为x2+ y2=1. 1AF1FB25,33cb22yb2259c429bb23324.(2015江苏,18,16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆 + =1(ab0)的离心率为 ,且右焦点F到左准线l的距离为3.(1)求椭圆的标准方程;(2)过F的直线与椭圆交于A,B两点,线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P,C,若PC=2AB,求直线AB的方程. 22xa22yb22解析(1)由题意,得 = 且c+ =3,解得a= ,c=1,则b=1,所以椭圆的标准方程为 +y2=1.(2)当AB⊥x轴时,AB= ,又CP=3,不合题意.当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),将AB的方程代入椭圆方程,得(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0,则x1,2= ,C的坐标为 ,且AB= = = .若k=0,则线段AB的垂直平分线为y轴,与左准线平行,不合题意.从而k≠0,故直线PC的方程为y+ =-  ,则P点的坐标为 ,从而PC= .ca222ac222x222222(1)12kkk2222,1212kkkk222121()()xxyy2221(1)()kxx2222(1)12kk212kk1k22212kxk22522,(12)kkk2222(31)1||(12)kkkk因为PC=2AB,所以 = ,解得k=±1.此时直线AB方程为y=x-1或y=-x+1.2222(31)1||(12)kkkk2242(1)12kk评析本题在考查椭圆基本性质与标准方程的同时,着重考查直线与圆锥曲线的位置关系和方程思想.5.(2015福建,18,13分)已知椭圆E: + =1(ab0)过点(0, ),且离心率e= .(1)求椭圆E的方程;(2)设直线l:x=my-1(m∈R)交椭圆E于A,B两点,判断点G 与以线段AB为直径的圆的位置关系,并说明理由. 22xa22yb2229,04解析解法一:(1)由已知得 解得 所以椭圆E的方程为 + =1.(2)设点A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为H(x0,y0).由 得(m2+2)y2-2my-3=0,所以y1+y2= ,y1y2=- ,从而y0= .所以|GH|2= + = + =(m2+1) + my0+ . = = = =(1+m2)( -y1y2),故|GH|2- = my0+(1+m2)y1y2+ = - + = 0,所以|GH| .2222,2,2.bcaabc2,2,2.abc24x22y221,142xmyxy222mm232m22mm2094x20y2054my20y20y5225162||4AB221212()()4xxyy2212(1)()4myy221212(1)[()4]4myyyy20y2||4AB5225162252(2)mm223(1)2mm25162217216(2)mm||2AB故点G 在以AB为直径的圆外.解法二:(1)同解法一.(2)设点A(x1,y1),B(x2,y2),则 = , = .由 得(m2+2)y2-2my-3=0,所以y1+y2= ,y1y2=- ,从而 · =  +y1y2=  +y1y2=(m2+1)y1y2+ m(y1+y2)+ = + + = 0,所以cos , 0.又 , 不共线,所以∠AGB为锐角.故点G 在以AB为直径的圆外.9,04GA119,4xyGB229,4xy221,142xmyxy222mm232mGAGB194x294x154my254my542516223(1)2mm22522mm25162217216(2)mmGAGBGAGB9,04评析本题主要考查椭圆、圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、方程思想.6.(2015安徽,20,13分)设椭圆E的方程为 + =1(ab0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为 .(1)求E的离心率e;(2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点,点N关于直线AB的对称点的纵坐标为 ,求E的方程.22xa22yb51072解析(1)由题设条件知,点M的坐标为 ,又kOM= ,从而 = .进而a= b,c= =2b.故e= = .(2)由题设条件和(1)的计算结果可得,直线AB的方程为 + =1,点N的坐标为 ,设点N关于直线AB的对称点S的坐标为 ,则线段NS的中点T的坐标为 .又点T在直线AB上,且kNS·kAB=-1,从而有 + =1, = ,解得b=3,所以a=3 ,故椭圆E的方程为 + =1.21,33ab5102ba510522abca2555xbyb51,22bb17,2x1517,4244xbb15425xbb1744bb1712252bbx55245x29y7.(2014江苏,17,14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,F1、F2分别是椭圆 + =1(ab0)的左、右焦点,顶点B的坐标为(0,b),连接BF2并延长交椭圆于点A,过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C,连接F1C.(1)若点C的坐标为 ,且BF2= ,求椭圆的方程;(2)若F1C⊥AB,求椭圆离心率e的值. 22xa22yb41,332以下为教师用书专用解析设椭圆的焦距为2c,则F1(-c,0),F2(c,0).(1)因为B(0,b),所以BF2= =a.又BF2= ,故a= .因为点C 在椭圆上,所以 + =1,解得b2=1.故所求椭圆的方程为 +y2=1.(2)因为B(0,b),F2(c,0)在直线AB上,所以直线AB的方程为 + =1.解方程组 得  所以点A的坐标为 .又AC垂直于x轴,由椭圆的对称性,可得点C的坐标为 .22bc2241,332169a219b22xxcyb22221,1,xycbxyab2122221222,(),acxacbcayac220,.xyb22222222(),acbcaacac22222222(),acbacacac因为直线F1C的斜率为 = ,直线AB的斜率为- ,且F1C⊥AB,所以 · =-1.又b2=a2-c2,整理得a2=5c2.故e2= .因此e= .2222222()02()bacacaccac2223()3bacaccbc2223()3bacaccbc1555评析本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与直线的位置关系等基础知识,考查运算求解能力.考点二椭圆的几何性质1.(2017浙江,2,4分)椭圆 + =1的离心率是 ()A. B. C. D. 29x24y133532359答案B本题考查椭圆的标准方程和几何性质.由题意得,a=3,c= ,∴离心率e= = .故选B.5ca53易错警示1.把椭圆和双曲线中的a,b,c之间的关系式记混,而错选A.2.把离心率记成e= 或e= ,而错选C或D.ba22ca2.(2017课标全国Ⅰ文,12,5分)设A,B是椭圆C: + =1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB=120°,则m的取值范围是 ()A.(0,1]∪[9,+∞)B.(0, ]∪[9,+∞)C.(0,1]∪[4,+∞)D.(0, ]∪[4,+∞)23x2ym33答案A本题考查圆锥曲线的几何性质.当0m3时,椭圆C的长轴在x轴上,如图(1),A(- ,0),B( ,0),M(0,1). 图(1)当点M运动到短轴的端点时,∠AMB取最大值,此时∠AMB≥120°,则|MO|≤1,即0m≤1;当m3时,椭圆C的长轴在y轴上,如图(2),A(0, ),B(0,- ),M( ,0) 33mm3图(2)当点M运动到短轴的端点时,∠AMB取最大值,此时∠AMB≥120°,则|OA|≥3,即 ≥3,即m≥9.综上,m∈(0,1]∪[9,+∞),故选A.m易错警示在求解本题时,要注意椭圆的长轴所在的坐标轴,题目中只说A、B为椭圆长轴的两个端点,并未说明椭圆长轴所在的坐标轴,因此,要根据m与3的大小关系,讨论椭圆长轴所在的坐标轴.3.(2017课标全国Ⅲ理,10,5分)已知椭圆C: + =1(ab0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为 ()A. B. C. D. 22xa22yb63332313答案A本题考查椭圆的性质,直线与圆的位置关系.以线段A1A2为直径的圆的方程为x2+y2=a2,该圆与直线bx-ay+2ab=0相切,∴ =a,即2b= ,∴a2=3b2,∵a2=b2+c2,∴ = ,∴e= = .22|002|()baabba22ab22ca23ca63方法技巧椭圆离心率的求法:(1)定义法:根据条件求出a,c,直接利用公式e= 求解.(2)方程法:根据已知条件建立关于a,b,c的齐次式,然后转化为关于e的方程求解.注意要根据e的范围取舍方程的解.ca4.(2013浙江,9,5分)如图,F1,F2是椭圆C1: +y2=1与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形,则