浙江高考数学一轮复习第十章10.3抛物线及其性质课件

第十章圆锥曲线与方程§10.3抛物线及其性质高考数学(浙江专用)考点一抛物线的定义和标准方程1.(2017课标全国Ⅱ理,16,5分)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|=.五年高考答案6解析如图,过M、N分别作抛物线准线的垂线,垂足分别为M1、N1,设抛物线的准线与x轴的交点为F1,则|NN1|=|OF1|=2,|FF1|=4.因为M为FN的中点,所以|MM1|=3,由抛物线的定义知|FM|=|MM1|=3,从而|FN|=2|FM|=6. 思路分析过M、N作准线的垂线,利用抛物线的定义和梯形的中位线求解.方法总结当直线过抛物线的焦点时,应充分利用抛物线的定义,同时也体现了抛物线的定义在解题中的重要作用.2.(2016浙江,9,4分)若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是.答案9解析设M(x0,y0),由抛物线方程知焦点F(1,0).根据抛物线的定义得|MF|=x0+1=10,∴x0=9,即点M到y轴的距离为9.3.(2015陕西,14,5分)若抛物线y2=2px(p0)的准线经过双曲线x2-y2=1的一个焦点,则p=.答案2 2解析抛物线y2=2px(p0)的准线方程为x=- (p0),故直线x=- 过双曲线x2-y2=1的左焦点(- ,0),从而- =- ,得p=2 .2p2p22p224.(2014湖南,15,5分)如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(ab),原点O为AD的中点,抛物线y2=2px(p0)经过C,F两点,则 =. ba答案1+ 2解析|OD|= ,|DE|=b,|DC|=a,|EF|=b,故C ,F ,又抛物线y2=2px(p0)经过C,F两点,从而有 即 ∴b2=a2+2ab,∴ -2· -1=0,又 1,∴ =1+ .2a,2aa,2abb22()2,22,2aapabpb2,2,apbapbp2babababa25.(2013课标全国Ⅱ,11,5分)设抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为 ()A.y2=4x或y2=8xB.y2=2x或y2=8xC.y2=4x或y2=16xD.y2=2x或y2=16x以下为教师用书专用答案C∵以MF为直径的圆过点(0,2),∴点M在第一象限.由|MF|=xM+ =5得M .从而以MF为直径的圆的圆心N的坐标为 ,∵点N的横坐标恰好等于圆的半径,∴圆与y轴切于点(0,2),从而2=  ,即p2-10p+16=0,解得p=2或p=8,∴抛物线方程为y2=4x或y2=16x.故选C.2p5,2522ppp51,25222pp12252pp6.(2013湖南,21,13分)过抛物线E:x2=2py(p0)的焦点F作斜率分别为k1,k2的两条不同直线l1,l2,且k1+k2=2,l1与E相交于点A,B,l2与E相交于点C,D,以AB,CD为直径的圆M,圆N(M,N为圆心)的公共弦所在直线记为l.(1)若k10,k20,证明: · 2p2;(2)若点M到直线l的距离的最小值为 ,求抛物线E的方程.FMFN755解析(1)由题意,知抛物线E的焦点为F ,直线l1的方程为y=k1x+ .由 得x2-2pk1x-p2=0.设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两个实数根.从而x1+x2=2pk1,y1+y2=k1(x1+x2)+p=2p +p.所以点M的坐标为 , =(pk1,p ).同理可得点N的坐标为 , =(pk2,p ),于是 · =p2(k1k2+  ).由题设,k1+k2=2,k10,k20,k1≠k2,所以0k1k2 =1.故 · p2(1+12)=2p2.(2)由抛物线的定义得|FA|=y1+ ,|FB|=y2+ ,所以|AB|=y1+y2+p=2p +2p,从而圆M的半径r1=p 0,2p2p12,22pykxxpy21k211,2ppkpkFM21k222,2ppkpkFN22kFMFN21k22k2122kkFMFN2p2p21k21k+p.故圆M的方程为(x-pk1)2+ =(p +p)2,化简得x2+y2-2pk1x-p(2 +1)y- p2=0.同理可得圆N的方程为x2+y2-2pk2x-p(2 +1)y- p2=0.于是圆M,圆N的公共弦所在直线l的方程为(k2-k1)x+( - )y=0.又k2-k1≠0,k1+k2=2,则l的方程为x+2y=0.因为p0,所以点M到直线l的距离d= = = .故当k1=- 时,d取最小值 .由题设,得 = ,解得p=8.故所求的抛物线E的方程为x2=16y.2212pypk21k21k3422k3422k21k211|2|5pkpkp211|21|5pkk21172485pk14785p785p755考点二抛物线的几何性质1.(2015浙江,5,5分)如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则△BCF与△ACF的面积之比是 () A. B. C. D. ||1||1BFAF22||1||1BFAF||1||1BFAF22||1||1BFAF答案A过A,B点分别作y轴的垂线,垂足分别为M,N,则|AM|=|AF|-1,|BN|=|BF|-1.可知 = = = = ,故选A.BCFACFSS1||||sin21||||sin2CBCFBCFCACFBCF||||CBCA||||BNAM||1||1BFAF2.(2016课标全国Ⅰ,10,5分)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=4 ,|DE|=2 ,则C的焦点到准线的距离为 ()A.2B.4C.6D.825答案B不妨设C:y2=2px(p0),A(x1,2 ),则x1= = ,由题意可知|OA|=|OD|,得 +8= +5,解得p=4.故选B.22(22)2p4p24p22p3.(2017山东理,14,5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线 - =1(a0,b0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p0)交于A,B两点.若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为.22xa22yb答案y=± x22解析本题考查双曲线、抛物线的基础知识,考查运算求解能力和方程的思想方法.设A(x1,y1),B(x2,y2).因为4|OF|=|AF|+|BF|,所以4× =y1+ +y2+ ,即y1+y2=p①.由 消去x,得a2y2-2pb2y+a2b2=0,所以y1+y2= ②.由①②可得 = ,故双曲线的渐近线方程为y=± x.2p2p2p222222,1xpyxyab222pbaba2222思路分析由抛物线的定义和|AF|+|BF|=4|OF|可得y1+y2的值(用p表示).再联立双曲线和抛物线的方程,消去x得关于y的一元二次方程,由根与系数的关系得y1+y2.从而得 的值,近而得渐近线方程.ba解题关键求渐近线方程的关键是求 的值,利用题中条件建立等量关系是突破口,注意到|AF|、|BF|为焦半径,因此应利用焦半径公式求解.又A、B为两曲线的交点,因此应联立它们的方程求解.这样利用y1+y2这个整体来建立等量关系便可求解.ba4.(2017北京理,18,14分)已知抛物线C:y2=2px过点P(1,1).过点 作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点.(1)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;(2)求证:A为线段BM的中点.10,2解析本题考查抛物线方程及性质,直线与抛物线的位置关系.(1)由抛物线C:y2=2px过点P(1,1),得p= .所以抛物线C的方程为y2=x.抛物线C的焦点坐标为 ,准线方程为x=- .(2)由题意,设直线l的方程为y=kx+ (k≠0),l与抛物线C的交点为M(x1,y1),N(x2,y2).由 得4k2x2+(4k-4)x+1=0.则x1+x2= ,x1x2= .因为点P的坐标为(1,1),所以直线OP的方程为y=x,点A的坐标为(x1,x1).直线ON的方程为y= x,点B的坐标为 .因为y1+ -2x1= 121,04141221,2ykxyx21kk214k22yx2112,yxxx212yxx12211222yxyxxxx= = = =0,所以y1+ =2x1.故A为线段BM的中点.122112211222kxxkxxxxx122121(22)()2kxxxxx22211(22)42kkkkx212yxx方法总结在研究直线与圆锥曲线位置关系时,常涉及弦长、中点、面积等问题.一般是先联立方程,再根据根与系数关系,用设而不求,整体代入的技巧进行求解.易错警示在设直线方程时,若要设成y=kx+m的形式,注意先讨论斜率是否存在;若要设成x=ty+n的形式,注意先讨论斜率是否为0.5.(2016浙江文,19,15分)如图,设抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|-1.(1)求p的值;(2)若直线AF交抛物线于另一点B,过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N,AN与x轴交于点M.求M的横坐标的取值范围. 解析(1)由题意可得,抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线x=-1的距离,由抛物线的定义得 =1,即p=2.(2)由(1)得,抛物线方程为y2=4x,F(1,0),可设A(t2,2t),t≠0,t≠±1.因为AF不垂直于y轴,可设直线AF:x=sy+1(s≠0),由 消去x得y2-4sy-4=0,故y1y2=-4,所以,B .又直线AB的斜率为 ,故直线FN的斜率为- .从而得直线FN:y=- (x-1),直线BN:y=- .所以N .设M(m,0),由A,M,N三点共线得 = ,于是m= .2p24,1yxxsy212,tt221tt212tt212tt2t2232,1ttt22ttm2222231ttttt2221tt所以m0或m2.经检验,m0或m2满足题意.综上,点M的横坐标的取值范围是(-∞,0)∪(2,+∞).思路分析(1)利用抛物线的定义来解题;(2)由(1)知抛物线的方程,可设A点坐标及直线AF的方程,与抛物线方程联立可得B点坐标,进而得直线FN的方程与直线BN的方程,联立可得N点坐标,最后利用A,M,N三点共线可得kAM=kAN,最终求出结果.评析本题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.6.(2014浙江文,22,14分)已知△ABP的三个顶点都在抛物线C:x2=4y上,F为抛物线C的焦点,点M为AB的中点, =3 .(1)若| |=3,求点M的坐标;(2)求△ABP面积的最大值. PFFMPF解析(1)由题意知焦点F(0,1),准线方程为y=-1.设P(x0,y0),由抛物线定义知|PF|=y0+1,得到y0=2,所以P(2 ,2)或P(-2 ,2).由 =3 ,分别得M 或M .(2)设直线AB的方程为y=kx+m,点A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,