广东省2012届高考数学文二轮专题复习课件解析几何 直线与圆锥曲线的位置关系

1专题五解析几何2221.2,131yxPABPABABAB已知双曲线过点作一条直线交双曲线于，，并使为的中点，求弦所在直线的方程和弦例的长．求中点弦的方程，关键是求斜率；求弦长可利用弦切入点：长公式．考点1中点弦、弦长问题322222121222121(2)333221410.2(21).32(21)2,146.13AByykxykxxyykxkkxkkkkxxxxkkkPABkk易知直线不平行于轴，设其方程为．由，消去得设此方程的两实根为，，则又为解析弦的中点，所以，解得方法：4221260..1()316261143104244233716433.ABkABkxxyxxy故所求直线的方程为，化为一般式当时，直线与双曲线相交，即上述二次方程的判别式以为所511222211222212121212121212122(()()33.3330.2,112206.)ABABAxyBxyxyxyxxxxyyyyABxxyyyykxx方法：点设弦的端点坐标分别为，，，．①所以②①②得因为点为弦的中点，所以，所以差法61626110.1.AByxxy故所求直线的方程为，化为一般式为求弦长同方法71．涉及弦的中点问题，常用“点差法”，将弦所在的直线的斜率、弦的中点坐标和韦达定理联系起来相互转化．但要注意利用Δ0检验圆锥曲线是否与所求直线相交．2．直线与圆锥曲线相交涉及弦长问题时，常用“韦达定理法”计算弦长．其中弦长公式为：8212221212122212122114;11114.ABkxxkxxxxAByykyyyyk或934312ABCDADABBCDEABDECDEC如图所示，在直角梯形中，，，，曲线段上任一点到、两点的距离之和都相等．建立适当的直角坐标系，求曲线段的方程；过能否作一条直线与曲线段相交，且所得弦以为中点，如果能，求该弦所在的直线的方程；若不能，说变式1明理由．102222,02,0(23)21(24,023)16112,31||42122ABxABOABCDDxEABaADBDbycyx以直线为轴，线段的中点为原点建立直角坐标系．则，，，，．依题意，曲线段是以、为焦点的椭圆的一部分．因为，，，所以所求方程为解析．1122222232231161234(8316)162163360.ykxykxxykxkkxkk设这样的直线存在，①当直线斜率不存在时，不满足条件；②当直线的斜率存在时，设其方程为：，即，将其代入，得121122121222()()242831634.3423232(0,2332)4,0.32MxyNxyxxxxkkkkMNyxMNyx设弦的端点为，，，，则由，知，所以，解得所以弦所在直线方程为，验证得知，这时，适合条件．故这样的直线存在，其方程为132222221,0(02)21.121(00)11323OABCOCOAOBCxyCababMNMNabR在平面直角坐标系中，为坐标原点，给定，，，点满足，其中，，且求点的轨迹方程；设点的轨迹与双曲线，交于两点、，且以为直径的圆过原点，求证：为定值；在第小题的条件下，若双曲线的离心率不大于，求双曲线实轴长的例2取值范围．考点2有关直线与圆锥曲线中的（范围）最值问题14abc向量条件坐标化；圆锥曲切入线中，，的关系是隐②点：①含条件．15()()1,0(02).2211.11CxyOCOAOBxxyxyyxyC设，，因为，则，，，即因为，所以，即点的轨迹方程为解析162222222222222112222221212222212121120.0()()2.002xyxyabbaxaxaabbaMxyNxyaaabxxxxbabaMNOMONxxyy证明：由，可得依题意可得，设，，，，则，因为以为直径的圆过原点，所以，即，171212121222222222222222111222()1020112xxxxxxxxaaabbababaabab所以，即，所以为定值．182222222222233.112121(1)130122020,113abeeaababaaaaa由，可得又因为，所以，可得，解得，从而，即双曲线的实轴长的取值范围是．19在解决有关直线与圆锥曲线中的最值问题时，通常需要注意：1．把研究直线与圆锥曲线位置关系的问题转化为研究方程组的解的问题．2．利用直线与圆锥曲线方程所组成的方程组消去一个变量后，将交点问题转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数的关系及判别式解决问题．3．利用数形结合法，判断直线与圆锥曲线处于什么位置关系时可以取得相应的最值．2022221212210642123()0()(2011)3xyababPABPABPAPBkkkkCxyxaDCySxABCDSxfxxfx椭圆上任一点到两个焦点的距离的和为，焦距为，，分别是椭圆的左右顶点．求椭圆的标准方程；若与，均不重合，设直线与的斜率分别为，，证明：为定值；设，为椭圆上一动点，为关于轴的对称点，四边形的面积为，设，求函数变式的2佛山一模最大值．2122222263.2422119.1aaccbacxy由题意得，，所以又，所以，，故椭圆的方程为解析22000222200000012002202001222200012()(0)3,03,011993311(9)2191999999.PxyyABxxyyyykkxxxxykkxxxkk证明：设，，，，则，即，则，，即，所以为定值23222222322162129(3)(1)93(1)339303932.3331ABCDxSxxyyxxSxxfxxxxxxxxxfxx由题意可知，四边形是梯形，则，且，于是，241013()3201013019.fxxxxfxfxxfxfxfxx令，解之得，或舍去．当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减．所以在时取得极大值，也是最大值25(0)(0)0.12,00GMABCAaBaaGMABCmmaCPQOPOQm已知点、分别是的重心和外心，，，，，且求点的轨迹方程；是否存在直线，使过点并且与点的轨迹交于、两点，同时？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说例3明理由．考点3利用向量处理直线与圆锥曲线的位置关系2622222131(0)yxykxaaax解答第问时，先假设直线的方程为，将其和第问求出的曲线的方程联立组成方程组，消元后利用一元二次方程组来判断解的情况，但要注意判别式的使用和题设中变量的范围，这往往是我们很容易忽视切入点：的问题．2722222222()()33//1(1(0)3330)3xyCxyGxGMABGMABMMABCMAMCxxaxxyxayaC设，，则，．因为，所以，则，．由于为解析，即的外心，则，即，整为点的轨理得迹方程．282222222221122222121222103136310.()()63112313mykxaykxaxyxaakxkaxakPxyQxykaakxxxxkk假设直线存在，设其方程为．由，得设，，，，则，，292121222121222212122222222.130031203.1313,30,0yykxaxakxxaxxakakOPOQxxyyakkakkmyaxkmaa所以由，得，即，解得又点在椭圆的故存在直线，其方程内部，直线过点，为．301．在解答存在性问题中的探索性问题时，一般思路是先假设存在，再推出合理或不合理的结果，然后做出正确的判断．2．在探究直线和圆锥曲线的位置关系问题时，一般最终都转化成直线的方程和圆锥曲线的方程所组成的方程组的求解问题．312212222122106023.1(201022)xyFFCababFlCABlFlCAFFBC设、分别为椭圆：的左、右焦点，过的直线与椭圆相交于、两点，直线的倾斜角为，到直线的距离为求椭变式3辽圆的焦距；如果，宁卷求椭圆的方程．32111221222222.3232..()()0023143212cFlccAxyBxyyylyxyxxyCab设焦距为由已知可得到直线的距离，故所以设，，，．由题意知，，直线的解析椭圆的焦距立为方程为．联，33222242212222222122222222222(3)43303(22)3(22).33223(22)3(212)23.3345..95xabybybbabayyababAFFByybabaaabababbCxy消去，得，解得，因为，所以，即，得而，所以故椭圆的方程为3422111()“”()12ABkxx涉及直线与圆锥曲线相交弦的问题，主要有这样几个方面：相交弦的长，有弦长公式；弦所在直线的方程如中点弦、相交弦等、弦的中点的轨迹等，这可以利用设点代点、设而不求的方法设交点坐标，将交点坐标代入曲线方程，并不具体求出坐标，而是利用坐标应满足的关系使问题得到解决．．352直线与圆锥曲线的位置关系，还可以利用数形结合，以形助数的方法解决．解决时经常转化为它们所对应的方程构成的方程组是否有解或解的个数问题．一般．思路如下：361()2若方程组消元后得到一个一元二次方程，则根据判别式来讨论；若方程组消元后得到一个一元一次方程，则相交于一个点．值得注意的是，直线与二次曲线只有一个公共点时，未必一定相切，还有其他情况，如抛物线与平行或重合于其对称轴的直线，双曲线与平行于其渐近线的直线，它们都只有一个公共点，但不相切，而是相交．