一集合的概念表示方法和运算解读

第二篇集合论集合论是现代各科数学的基础。在数学发展中，集合理论一方面扩充了数学研究的对象，另一方面集合理论又为数学奠定了基础。本章介绍集合论的基础知识如：集合运算、性质、序偶、关系等。第三章：集合与关系3－1、集合的概念、表示方法1、集合定义：具有共同性质的东西汇集成的一个整体。•表示习惯大写字母表示集合，小写字母表示集合中的元素•集合的基数|A|＝A中元素的个数aAbAcA2、集合的描述有穷集合无穷集合说明集合的两种方法：(1)列举法：例如，A={桔子、苹果、香蕉｝，B={0,1,2…}。一、集合的概念、表示方法及集合的运算(2)叙述法：例如，S1=｛x|x是正奇数｝，S2=｛y|y=T或y=F｝。A＝｛x|p(x)｝为集合p(x)为任意谓词设A＝｛x|p(x)}，若p(b)为真，那么b∈A，若p(b)为假，那么b∉A。注意：集合可以嵌套例如：S={a，{1，2}，P,{q}}注意区分集合{q}与元素qq∈{q｝，｛q｝∈S但q∉S。一、集合的概念、表示方法及集合的运算例如，设h是“张华”，C是中国公民的集合，U是参加联合国的成员国集合。于是有h∈C，C∈U。但h∉U。特定的一些集合的表示符号（1）自然数集N={0，1，2，…}（2）整数集合I={…-2，-1，0，1，2，…}（3）正整数集合I＋={1,2,3,4…}（4）有理数集合Q={xx=Pq，p,qI}（5）实数集合R={xx是实数}一、集合的概念、表示方法及集合的运算3、集合间的关系说明：1、集合的表示不唯一。{xx2－3x＋2＝0}＝{yy∈I∧1≤y≤2}2、集合中元素是无序的。{a,b,c}＝{a,c,b}＝{b,c,a}。3、集合中可有相同的元素。｛a，b｝＝｛a，b，b｝4、集合中的元素可能还是集合。(1)相等A=B⇔(x)(x∈A→x∈B)∧(x)(x∈B→x∈A)A、B不相等记作：A≠B外延性定理：两集合相等当且仅当它们有相同的成员。例、设P={{a,b},c}，Q={a,b,c}，于是P≠Q。例、设A={x|x(x-1)=0}与B={0，1}，于是A=B。(2)包含：设A、B是任意两个集合，假如A的每一个元素是B的成员，则称A为B的子集，记作A⊆B。1.自反性AA2.反对称性(AB)∧(BA)A=B3.传递性(AB)∧(BC)AC•包含关系的性质：A⊆B⇔(x)(x∈A→x∈B)例如A＝｛1,2,3｝，B=｛1,2｝，C=｛1,3｝，D=｛3｝，则：B⊆A，C⊆A，D⊆A，D⊆C。一、集合的概念、表示方法及集合的运算(3)真包含如果集合A的每一个元素都属于B，但集合B中至少有一个元素不属于A，则称A是B的真子集。记作A⊂B定理1集合A和B相等的充分必要条件是这两个集合互为子集。此定理常用来证明集合相等A⊂B⇔(x)(x∈A→x∈B)∧（x）（x∈B∧x∉A）例如，整数集是有理数集的真子集。4、特殊集合(1)空集不包含任何元素的集合是空集，记作。＝｛x|p(x)∧p(x)｝≠｛｝∈｛｝⊆｛｝一、集合的概念、表示方法及集合的运算例如：Z={xx2+1=0,xR}A⊂B⇔（A⊆B）∧（A≠B）证明见书P83定理2对于任意一个集合A，⊆A。推论：空集是唯一的。(3)全集(2)集合A的平凡子集：A和。在一定范围内，如果所有集合均为某一个集合的子集，则称该集合为全集，记作。E＝｛x|p(x)∨p(x)｝(x)(x∈E)恒真全集是相对的，要看具体情况。一、集合的概念、表示方法及集合的运算证明：设1，2是两个空集，由定理2，12，21，∴1=2∴空集是唯一的。(4)幂集设A是一个集合，由A的所有子集为元素构成的集合称为A的幂集，记作P（A）。设全集E＝｛a,b,c｝，则E的所有子集为：S0=，S1={a}，S2={b}，S3={c}，S4={a,b}，S5={b,c},S6={c,a}，S7={a,b,c}。例如A=｛1,2｝P(A)={,{1},{2},{1,2}}定理3如果有限集合A有n个元素，则其幂集P(A)有2n个元素。例：P()=P(P())=?试求{{a,{b,c}}}的幂集P（{{a,{b,c}}}）＝｛，{{a,{b,c}}}｝一、集合的概念、表示方法及集合的运算{}{,{}}5、注意点：•和•，•A={},则有A,A，{}A,{}A例题：A={a,{b},c}则aA,bA,cA{a}A,{b}A,{c}A作业：P86(4)a,c,e(5)(6)b,e一、集合的概念、表示方法及集合的运算3－2集合的运算(2)并集：AB={xxAxB}(1)交集：AB={xxAxB}性质：AA=A,A=,AE=A,AB=BA,(AB)C=A(BC)ABAB证明见书P88性质：AA=A,A=A,AE=E,AB=BA,(AB)C=A(BC)n个集合的交：A1A2。。。An＝i=1nAin个集合的并：A1A2。。。An＝i=1nAi3－2集合的运算分配律：A(BC)=(AB)(AC)A(BC)=(AB)(AC)吸收律：A(BA)=AA(BA)=A证法一：见书P89如何证明？对x,设xA(BC)xA∨xBCxA∨(xB∧xC)(xA∨xB)∧(xA∨xC)xAB∧xACx(AB)(AC)法二：定理：AB当且仅当AB=A或AB=B证明：对x,设xABxA∧xBxA对x,设xAxB(AB)∴xA∧xB即：xAB1.ABAB=A2.AB=AAB对x,设xAxAB（AB=A）xA∧xBxB∴AB当且仅当AB=A∴ABA∴AAB∴AB=A∴AB同理可证AB当且仅当AB=B3－2集合的运算例题：对任意集合A，B，求证P(A)P(B)P（AB）证明：对u,设uP(A)P(B)uP(A)∨uP(B)若：uP(A)uA,又因为AABuABuP(AB)若：uP(B)同理可得：uP(AB)故：P(A)P(B)P(AB)3－2集合的运算(3)集合的补集•相对补集（差集）A-B={xxA∧xB}•绝对补集A={xxA∧xE}=E－A当A，B不相交时，A－B=A，B－A=BAAAABA－B补的性质：(A)=A，E==E，AA＝EAA＝定理：A，B，C为三个集合，则A(B-C)=(AB)-(AC)证明：A(B-C)=A(BC)=ABC(AB)-(AC)=(AB)(AC)=(AB)(AC)=(ABA)(ABC)=(ABC)=ABC因此，A(B-C)=(AB)-(AC)(3)集合的补集例题：求证A-B=AB证明：定理3-2.4德∙摩根律(AB)=AB(AB)=AB证明:P91A-B={xxAxB}={xxAxB}={xxAB}=AB集合补的唯一性•集合补的唯一性定理：设A和B是论域E的子集，B=AAB=E∧AB=证明(1)若B=A，则AB＝AA＝E,AB=AA=(2)反之，若AB=E∧AB=，则B=EB=(AA)B=(AB)(AB)=(AB)=(AA)(AB)=A(AB)=AE=A定理：A，B为两个集合，若AB，则1）BA2）(B－A)A=B证明：1）略2）(B－A)A=(BA)A=(BA)(AA)=(BA)E=BA又因为，AB故，(B-A)A=B(3)集合的补集(4)集合的对称差AB=（A-B）（B-A）={x(xB∧xA)∨(xA∧xB)}=(AB)－(AB)即：将AB中同时属于A，B的元素去掉AB例题：A={xx-2,xR}E={xx≤2}求A，AA。解：(1)A=E－A＝{xx≤2(x-2)}={x-2≤x≤2，xR}(2)因为：A-A=所以：AA=(A-A)(A-A)==集合对称差的一些补充定理•定理：AB＝AB•定理：C(AB)=(CA)(CB)注：C(AB)≠(CA)(CB)C(AB)≠(CA)(CB)反例：可取C＝E对称差的性质a)AB=BAb)A=AAE＝Ac)AA=d)AB=(AB)(AB)e)(AB)C=A(BC)对称差的性质证明：若AB=AC则有B=CxABxAB(对称差定义)xAC（因AB=AC）xA∧xACxACxCxABxAB∧xABxABxAC(因AB=AC)xA∧xACxC证明：(1)对xB(2)同理可证CB综合(1),(2)得B=C作业：P95(4),(8),(9)a∴BCⅠ、若xAⅡ、若xA方法二：AB=ACA(AB)=A(AC)(AA)B=(AA)CB=CB=C