九上相似三角形中的动点题含答案

1九上相似三角形中的动点题含答案一．选择题（共1小题）1．如图，小正方形的边长均为1，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形．在如图5×5的方格中，作格点三角形和△ABC相似，则所作的格点三角形中，最小面积和最大面积分别为（）A．0.5，2.5B．0.5，5C．1，2.5D．1，5考点：相似三角形的性质；勾股定理．716358专题：网格型．分析：作出面积最小和面积最大的格点三角形，因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，所以此题只要求得两三角形的一组对应边的比即可．根据格点三角形边长的求解方法，易得AB，DE与GH的长．即可得出问题的解．解答：解：如图所示，△DEF和△GHI分别是面积最小和面积最大的三角形．因为△DEF，△GHI和△ABC都相似，AB=，DE=1，GH=，所以它们的相似比为DE：AB=1：，GH：AB=：，又因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，而△ABC的面积为2×1=1，故△DEF和△GHI面积分别为0.5，5．故选B．点评：此题考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方．解此题还要注意格点三角形边长的求解方法：用勾股定理求解．二．填空题（共10小题）2．（2013•平顶山三模）如图，P是Rt△ABC斜边AB上的动点（P异于A、B），∠C=90°，∠B=30°，过点P的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，当=或或时，截得的三角形面积为△ABC面积的．九年级相似三角形动点问题2考点：相似三角形的判定与性质．716358分析：根据相似三角形的性质，可得符合条件的直线有4条，再分别讨论，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案，解题时注意不要漏解．解答：解：设P（lx）截得的三角形面积为S，S=S△ABC，则相似比为1：2，①第1条l1，此时P为斜边AB中点，l1∥AC，∴，②第2条l2，此时P为斜边AB中点，l2∥BC，∴，③第3条l3，此时BP与BC为对应边，且=∴，④第4条l4，此时AP与AC为对应边，且，∴=，∴=，∴当=或或时，截得的三角形面积为Rt△ABC面积的，故答案为：或或．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．3．如图，在正方形ABCD中，M是BC边上的动点，N在CO上，且，若AB=1，设BM=x，当x=或时，以A、B、M为顶点的三角形和以N、C、M为顶点的三角形相似．九年级相似三角形动点问题3考点：相似三角形的性质；正方形的性质．716358专题：分类讨论．分析：根据正方形的四条边都相等求出CN的长度，再根据相似三角形对应边成比例，分①CN与BM是对应边，②CN与AB是对应边两种情况列式求解即可．解答：解：∵，AB=1，∴CN=×1=，∵BM=x，∴CM=1﹣x，①当CN与BM是对应边时，=，即=，解得x=，②当CN与AB是对应边时，=，即=，解得x=．综上所述，x的值是或．故答案为：或．点评：本题考查了正方形的四条边都相等，相似三角形的对应边成比例的性质，因为对应边没有明确，注意要分情况讨论求解，避免漏解而导致出错．5．如图，点A的坐标为（1，1），点C是线段OA上的一个动点（不运动至O，A两点），过点C作CD⊥x轴，垂足为D，以CD为边在右侧作正方形CDEF．连接AF并延长交x轴的正半轴于点B，连接OF，若以B，E，F为顶点的三角形与△OFE相似，B点的坐标是（，0）或（3，0）．九年级相似三角形动点问题4考点：相似三角形的性质；坐标与图形性质；正方形的性质．716358专题：压轴题；推理填空题．分析：根据点A坐标是（1，1）可以确定∠AOB=45°，又四边形CDEF是正方形，所以0D=CD=DE，即可证明△OFE的边OE=2EF，再根据“以B，E，F为顶点的三角形与△OFE相似”分①EF=2EB，②EB=2EF两种情况讨论，根据△ACF与△AOB相似，相似三角形对应高的比等于对应边的比列出比例式计算即可求出正方形的边长，从而OB的长亦可求出．解答：解：过点A作AH⊥OB，∵点A的坐标为（1，1），∴AH=OH=1，∠AOB=45°，∴OD=CD，设CF=x，∵四边形CDEF是正方形，∴CF∥DE，CD=CF=EF=DE，∴CD=CF=EF=DE=x，∴OE=OD+DE=2EF，∵以B，E，F为顶点的三角形与△OFE相似，∴①EF=2EB，则EB=x，∴OB=OE+EB=2x+x=x，∵CF∥DE，∴△ACF∽△AOB，∴=，即=1﹣x，解得x=，OB=×=，∴点B的坐标为（，0），②EB=2EF时，则EB=2x，∴OB=OE+EB=2x+2x=4x，∵CF∥DE，∴△ACF∽△AOB，九年级相似三角形动点问题5∴=，即=1﹣x，解得x=，OB=4x=4×=3，∴点B的坐标为（3，0）．综上所述，点B的坐标是（，0）或（3，0）．故答案为：（，0）或（3，0）．点评：此题考查了相似三角形的性质对应高的比等于对应边的比的性质，解题的关键是根据点A的坐标（1，1）确定出OE=2EF，注意要分情况讨论，避免漏解．6．（2012•泉州）在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A、B），过点P的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线，简记为P（lx）（x为自然数）．（1）如图①，∠A=90°，∠B=∠C，当BP=2PA时，P（l1）、P（l2）都是过点P的△ABC的相似线（其中l1⊥BC，l2∥AC），此外，还有1条；（2）如图②，∠C=90°，∠B=30°，当=或或时，P（lx）截得的三角形面积为△ABC面积的．考点：相似三角形的判定与性质．716358专题：压轴题．分析：（1）过点P作l3∥BC交AC于Q，则△APQ∽△ABC，l3是第3条相似线；（2）按照相似线的定义，找出所有符合条件的相似线．总共有4条，注意不要遗漏．解答：解：（1）存在另外1条相似线．如图1所示，过点P作l3∥BC交AC于Q，则△APQ∽△ABC；故答案为：1；九年级相似三角形动点问题67．以图中的格点为顶点，画一个与已知△ABC相似的三角形（相似比不为1）．考点：作图—相似变换．716358专题：作图题．分析：可让相似比为1：，把原各边长都乘以后画出各边即可．解答：解：△A′B′C′就是所求的三角形．点评：（2）设P（lx）截得的三角形面积为S，S=S△ABC，则相似比为1：2．如图2所示，共有4条相似线：①第1条l1，此时P为斜边AB中点，l1∥AC，∴=；②第2条l2，此时P为斜边AB中点，l2∥BC，∴=；③第3条l3，此时BP与BC为对应边，且=，∴==；④第4条l4，此时AP与AC为对应边，且=，∴==，∴=．故答案为：或或．点评：本题引入“相似线”的新定义，考查相似三角形的判定与性质和解直角三角形的运算；难点在于找出所有的相似线，不要遗漏．九年级相似三角形动点问题7本题考查了相似作图，得到相应的相似比是解决本题的关键．8．如图，已知抛物线y=x2+bx+c与坐标轴交于A、B、C三点，A点的坐标为（﹣1，0），过点C的直线与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH垂直OB于点H，若PB=5t，且0＜t＜1，存在使P，H，Q为顶点的三角形与三角形COQ相似的t的值有．考点：二次函数综合题．716358专题：压轴题．分析：由于直线过C点，因此C点的坐标为（0，﹣3），那么抛物线的解析式中c=﹣3，然后将A点的坐标代入抛物线的解析式中即可求出b的值；根据CQ所在直线的解析式即可求出Q的坐标，也就得出了OQ的长，然后求OH的长．利用抛物线的解析式，那么可求出B的坐标．在直角三角形BPH中，可根据BP=5t以及∠CBO的正弦值（可在直角三角形COB中求出）．得出BH的长，根据OB的长即可求出OH的长．然后OH，OQ的差的绝对值就是QH的长；再分①当H在Q、B之间．②在H在O，Q之间两种情况进行讨论；根据不同的对应角得出的不同的对应成比例线段来求出t的值．解答：解：根据题意过点C的直线与x轴交于点Q，得出C点坐标为：（0，﹣3），将A点的坐标为（﹣1，0），C（0，﹣3）代入二次函数解析式求出：b=﹣，c=﹣3；得y=x2﹣x﹣3，它与x轴交于A，B两点，得B（4，0）．∴OB=4，又∵OC=3，∴BC=5．由题意，得△BHP∽△BOC，∵OC：OB：BC=3：4：5，∴HP：HB：BP=3：4：5，∵PB=5t，∴HB=4t，HP=3t．∴OH=OB﹣HB=4﹣4t．由y=x﹣3与x轴交于点Q，得Q（4t，0）．九年级相似三角形动点问题8∴OQ=4t．①当H在Q、B之间时，QH=OH﹣OQ=（4﹣4t）﹣4t=4﹣8t．②当H在O、Q之间时，QH=OQ﹣OH=4t﹣（4﹣4t）=8t﹣4．综合①，②得QH=|4﹣8t|；①当H在Q、B之间时，QH=4﹣8t，若△QHP∽△COQ，则QH：CO=HP：OQ，得=，解得：t=；若△PHQ∽△COQ，则PH：CO=HQ：OQ，得=，即t2+2t﹣1=0．解得：t1=﹣1，t2=﹣﹣1（舍去），②当H在O、Q之间时，QH=8t﹣4．若△QHP∽△COQ，则QH：CO=HP：OQ，得=，解得：t=；若△PHQ∽△COQ，则PH：CO=HQ：OQ，得=，即t2﹣2t+1=0．∴t1=t2=1（舍去）．综上所述，存在t的值，t1=﹣1，t2=，t3=，故答案为：﹣1，，．点评：本题主要考查了二次函数的性质、三角形相似等重要知识点，要注意要分Q的不同位置进行分类讨论，而在每种分类情况下又要根据不同的对应相似三角形进一步分类讨论，不要漏解．9．（2004•枣庄）在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图5×5的方格纸中，以A、B为顶点作格点三角形与△OAB相似（相似比不能为1），则另一个顶点C的坐标为（5，2），（4，4）．考点：相似三角形的判定；坐标与图形性质．716358专题：压轴题；分类讨论．九年级相似三角形动点问题9分析：要求△ABC与△OAB相似，因为相似比不为1，由三边对应相等的两三角形全等，知△OAB的边AB不能与△ABC的边AB对应，则AB与AC对应或者AB与BC对应并且此时AC或者BC是斜边，分两种情况分析即可．解答：解：∵OA=2，OB=1，AB=∴当AB与AC对应时，有=或者=∴AC=或AC=5∵C在格点上∴AC=不合题意，则AC=5∴C点坐标为（5，2）同理当AB与BC对应时，可求得BC=或者BC=5，也是只有后者符合题意，此时C点坐标为（4，4）∴C点坐标为（5，2）或者（4，4）．点评：本题结合坐标系，重点考查了相似三角形的判定的理解及运用．10．（2006•荆门）在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形．在如图5×5的方格中，作格点△ABC和△OAB相似（相似比不为1），则点C的坐标是（4，0）或（3，2）．考点：坐标与图形性质；相似三角形的判定．716358专题：压轴题；网格型．分析：△ABC和△OAB相似，并且AB=，OA=2，OB=1，△ABC和△OAB相似应分两种情况讨论，当△BCA∽△OAB时和当△ABC∽△OBA时，根据相似三角形的性质求得AC，BC的值后，分别以A，B为圆心，AC，BC为半径作圆，两圆的交点即为C，易得到点C的坐标．解答：解：△ABC和△OAB相似，并且AB=，OA=2，OB=1，△ABC和△OAB相似应分两种情况讨论，当△BCA∽△OAB时，==，即==，解得AC=5，BC=2，分别以A，B为圆心，5，2为半径作圆，两圆的交点C的坐标是（3，2）；同理当△ABC∽△OBA时，圆心坐标是（4，0）．故本题答案为：（4，0）或（3，2）．九年级相似三角形动点问题10点评：分两种情况进行讨论，理解圆心是圆的弦的垂直平分线的交点是解决本题的关键．11．如图，在钝角三角形ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒