四边形题型归纳

四边形题型归纳1/19ABCDBEABCDEF21FEDABCABCDEF四边形题型归纳题型一：翻折问题（特殊四边形的折叠问题）1、沿特殊四边形的对角线折叠【例1】如图，矩形纸片ABCD，AB=2，∠ADB=30°，沿对角线BD折叠（使△ABD和△EBD落在同一平面内），则A、E两点间的距离为____________.2、沿特殊四边形的对称轴折叠【例2】如图，已知矩形ABCD的边AB=2，AB≠BC，矩形ABCD的面积为S，沿矩形的对称轴折叠一次得到一个新的矩形，则这个新矩形对角线长为__________.3.使特殊四边形的对角顶点重合折叠【例3】如图，梯形纸片ABCD，∠B=60°，AD∥BC，AB=AD=2，BC=6，将纸片折叠，使点B与点D重合，折痕为AE，则CE=___________.4.使特殊四边形一顶点落在其一边上而折叠【例4】如图，折叠矩形的一边CD，使点C落在AB上的点F处，已知AB=10cm，BC=8cm，则EC的长为________.四边形题型归纳2/19KEFGBDACPQABCDNMEE'A'ABCDD'C'ABCDEF5.使特殊四边形两顶点落在其一边上而折叠【例5】如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，将梯形对折，使点D、C分别落在AB上的D′、C′处，折痕为EF，若CD=3cm，EF=4cm，则AD′+BC′=________cm.6.使特殊四边形一顶点落在其对称轴上而折叠(1)【例6】如图，已知EF为正方形ABCD的对称轴，将∠A沿DK折叠，使它的顶点A落在EF上的G点处，则∠DKG=_____.7.使特殊四边形一顶点落在其对称轴上而折叠(2)【例7】如图，有一块面积为1的正方形ABCD，M、N分别为AD、BC边的中点，将C点折至MN上，落在点P的位置，折痕为BQ，连结PQ.(1)求MP的长度;⑵求证：以PQ为边长的正方形的面积等于13.8.两次不同方式的折叠【例8】如图，将一矩形形纸片按如图方式折叠，BC、BD为折痕，折叠后AB与EB在同一条直线上,则∠CBD的度数为（）A.大于90°B.等于90°C.小于90°D.不能确定四边形题型归纳3/19【变式1】在矩形ABCD中AB=4，BC=3，按下列要求折叠，试求出所要求结果（1）如图，把矩形ABCD沿着对角线BD折叠得△EBD，BE交CD于点F，求S△BFD；（2）如图，折叠矩形ABCD，使AD与对角线BD重合，求折痕DE的长；（3）如图，折叠矩形ABCD，使点D与点B重合，求折痕EF的长；（4）如图，E是AD上一点，把矩形ABCD沿着BE折叠，若点A恰好落在CD上的点F处，求AE的长。四边形题型归纳4/19题型二：动点问题【例9】如下图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB=cm,AD=24，BC=26，∠B=90°，动点P从A开始沿AD边向D以1的速度运动，动点Q从点C开始沿CB以3的速度向点B运动．P、Q同时出发，当其中一点到达顶点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为，问：（1）=时，四边形PQCD是平行四边形．（2）是否存在一个t值，使PQ把梯形ABCD分成面积相等的两部分，若存在请求出t的值.（3）当为何值时，四边形PQCD为等腰梯形．(4)连接DQ，是否存在值使△CDQ为等要三角形，若存在请直接写出的值.四边形题型归纳5/19【变式2】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,∠B=90º,AD=8cm，AB=6cm，BC=10cm，点Q从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点P从点B出发以2cm/s的速度在线段BC间往返运动，P、Q两点同时出发，当点Q到达点D时，两点同时停止运动。⑴当t=s时，四边形PCDQ的面积为36;⑵若以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求t的值;⑶当0t5时，若DQ≠DP,当t为何值时，△DPQ是等腰三角形.四边形题型归纳6/19题型三：开放探究题【例10】观察控究，完成证明和填空．如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接E、F、G、H，得到的四边形EFGH叫中点四边形．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）如图，当四边形ABCD变成等腰梯形时，它的中点四边形是菱形，请你探究并填空：当四边形ABCD变成平行四边形时，它的中点四边形是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；当四边形ABCD变成矩形时，它的中点四边形是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；当四边形ABCD变成菱形时，它的中点四边形是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；当四边形ABCD变成正方形时，它的中点四边形是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（3）根据以上观察探究，请你总结中点四边形的形状由原四边形的什么决定的？四边形题型归纳7/19【例11】阅读下面材料，再回答问题：有一些几何图形可以被某条直线分成面积相等的两部分，我们将“把一个几何图形分成面积相等的两部分的直线叫做该图形的二分线”，如：圆的直径所在的直线是圆的“二分线”，正方形的对角线所在的直线是正方形的“二分线”。解决下列问题：（1）菱形的“二分线”可以是。（2）三角形的“二分线”可以是。（3）在下图中，试用两种不同的方法分别画出等腰梯形ABCD的“二分线”.四边形题型归纳8/19【变式3】定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内点．如图1，，，则点就是四边形的准内点．（1）如图2，与的角平分线相交于点．求证：点是四边形的准内点．（2）分别画出图3平行四边形和图4梯形的准内点．（作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明）（3）判断下列命题的真假，在括号内填“真”或“假”．①任意凸四边形一定存在准内点．（▲）②任意凸四边形一定只有一个准内点．（▲）③若是任意凸四边形的准内点，则四边形题型归纳9/19(1)(2)(3)FECBACBACBA【变式4】如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”.如图1矩形ABEF即为△ABC的“友好矩形”.显然，当△ABC是钝角三角形时，其“友好矩形′只有一个.(1)仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”.(2)如图2，若△ABC为直角三角形，且∠C=90°，在图2中画出△ABC的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小.(3)若△ABC是锐角三角形，且BCACAB，在图3中画出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并证明之.四边形题型归纳10/19课后作业1、将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点12...nAAA，，，分别是正方形的中心，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为2、如图1，在正方形ABCD中，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA上的点，HAEBFCGD，连接EG、FH，交点为O．⑴如图2，连接EFFGGHHE，，，，试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论；⑵将正方形ABCD沿线段EG、HF剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形．若正方形ABCD的边长为3cm，1cmHAEBFCGD，则图3中阴影部分的面积为_________2cm．图3图1图2HDGCFEBAOHGFEDCBAA5A4A3A2A1四边形题型归纳11/193、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平行线CF于点F，求证：AE=EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AE=EF．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．四边形题型归纳12/19答案：【例1】解析：如图，矩形ABCD的对角线交于点F，连接EF，AE，则有AF=FC=EF=FD=BF．∵∠ADB=30°，∴∠CFD=∠EFD=∠AFB=60°，△AFE，△AFB都是等边三角形，有AE=AF=AB=2．【例2】解析：∵矩形ABCD的边AB=2，AB≠BC，矩形ABCD的面积为S，∴AD=2s，（1）如图1，折痕分别与AB、DC交于F、E点，连结DF，∵矩形ABCD沿直线EF对折，∴AF=21AB=1，即新矩形的对角线的长度为4212s（2）如图2，折痕分别与AD、BC交于E、F点，连结AF，∵矩形ABCD沿直线EF对折，即新矩形的对角线的长度为64412s【例3】解析：∵梯形ABCD∴AD∥BC∵纸片折叠，使点B与点D重合∴△ABE≌△ADE四边形ADEB为平行四边形．∴AD=BE=2∵BC=6∴CE=6-2=4【例4】答案：5cm【例5】解：根据题意，可知EF是梯形ABCD的中位线．四边形题型归纳13/19所以AB+CD=2EF=8，则AB=5．∴AD'+BC'=AB-CD=5-3=2（cm）．【例6】解：依题意，得AD=DG=2DF，在Rt△DFG中，由DG=2DF，得∠DGF=30°，由AD∥EF得，∠ADG=∠DGF=30°，根据折叠的性质，得∠KDG=21∠ADG=15°，在Rt△DGK中，∠DKG=90°-∠KDG=75°．【例7】（1）解：连接BP、PC，由折法知点P是点C关于折痕BQ的对称点．∴BQ垂直平分PC，BC=BP．又∵M、N分别为AD、BC边上的中点，且ABCD是正方形，∴BP=PC．∴BC=BP=PC．∴△PBC是等边三角形．∵PN⊥BC于N，BN=NC=21BC=21，∠BPN=21×∠BPC=30°，∴PN=23，MP=MN-PN=232【变式1】（1）设DF=x，在矩形ABCD中，DC∥AB，∴∠CDB=∠ABD，由折叠知，∠ABD=∠DBF∴∠FDB=∠FBD∴FB=FD=x∵CD=AB=4，∴CF=4-x，在Rt△BCF中，CF²+CB²=FB²即：（4-x）²+3²=x²，∴x=425∴S△BFD＝21DF•BC＝21×425×3＝2615四边形题型归纳14/19（2）设AE=EF=x，在Rt△BEF中，BE=4-x，BF=DB-AF∴x²+2²=（4-x）²∴x=23（3）连接DE，BF，∵EF⊥DB，且平分DB∴OB=OD∵DC∥AB∴∠FDO=∠EBO，∠DFO=∠BEO∴△DOF≌△BOE∴OF=OE∴四边形DEBF是平行四边形∵BD⊥EF∴平行四边形DEBF是菱形∴DE=EB，AE=4-DE在Rt△ADE中，DE²=AD²+（4-DE）²∴DE=8253×825=21×5×EF∴EF=415【例9】（1）=6（2）当AP+BQ=25时，PQ把梯形ABCD分成面积相等的两部分，即t+(26-3t)=25,解得：t=（3）如图，过点D作DE⊥BC，则CE=BC-AD=2．当CQ—PD=4时，四边形PQCD是等腰梯形．即3一（24一）=4．∴=7．(4)=2,,【变式2】（1）t=2四边形题型归纳15/19（2）①P未到达C点时②P到达C点并返回时8-t=10-2t8-t=2t-10t=2t=6(3)①如图，若PQ=PD过P作PE⊥AD于E,则QD=8-t,【例10】（1）证明：连接BD∵E、H分别是AB、AD的中点，∴EH是△ABD的中位线∴EH＝BD，EH∥BD四边形题型归纳16/19同理得FG＝BD，FG∥BD∴EH＝FG，EH∥FG∴四边形EFGH是平行四边形（2）填空依次为平行四边形，菱形，矩形，正方形（3）中点四边形的形状由原四边形的对角线的关系来决定的．【例11】解：（1）菱形的一条对角线所在的直线。（或菱形的一组对边的中点所在的直线或菱形对角线交点的任