不定积分的概念与性质

第四章积分不定积分的概念与性质原函数的概念不定积分的概念不定积分的性质不定积分的几何意义教学内容基本积分公式直接积分法(sin)cosxx()()Fxfxsincosxx是的一个原函数2()2xx22xx是的导数22xx叫做的一个原函数2x叫做？()()Fxfx叫做的一个原函数()()()()(),,()())(FxfxdFxfxdxfxFxFxfx设函数是定义在某区间上的已知函数，如果存在一个函数对于该区间上的每一点都满足或则称函数是已知函数在该区间上一个的原函数。一、原函数的概念2()2xx22是的一个原函数xx22的所有原函数为xxC2()2xcx,()()()()()()FxfxfFxfxFxCx如果则叫做函数的一个原函数的所有原函数为二、不定积分概念：积分号()：被积函数fx：积分变量xC：积分常数(())()fxffxdIIxx在区间内，函数叫做在区间内，记作的所有原函定数不：的义定积分()()fxdxFxC22xdxxCcossinxdxxC21(arctan)1xx21arctan1dxxCx(sin)cosxx2()2xx由不定积分定义可知：三、基本积分公式(1)kdxkxc11(2)(1)1xdxxc1(3)lndxxcx(4)xxedxec(5)lnxxaadxca(6)sincosxdxxc(7)cossinxdxxc221(8)sectancosdxxdxxcx221(9)csccotsindxxdxxcxsect(10)ansecxxdxxccscc(11)otcscxxdxxc21(12)arctancot1dxxcarcxcx21(13)arcsinarccos1dxxcxcx2141dxxcx（）211()(15)dxcxx性质1求不定积分与求导数（或微分）互为逆运算()1[]()()()（）或dxdfxdxfxdxfxfx()(2()())（）或FxFxdxCdFxFxC四、不定积分的性质20()()()kkfxdxfxdkx性质3()()()()()性质dxdxfxgxfxgxdx()2sin,()xfxdxxcfx已知求()(2sin)解：xfxxc2ln2cosxx()cos()fxxfxdx已知的一个原函数为，求()(cos)sinfxxcx()()fxdxfxcsinxc()cosfxdxxc【例1】【例2】解：五、不定积分的几何意义xxfd)(的图形——yxo0x所求曲线过点(1,2),故有因此所求曲线为21yxyxo)2,1(【例3】六、直接积分法基本积分公式是计算不定积分的基础。直接利用积分公式或通过代数变形、不定积分性质化为基本积分公式类型，从而求出不定积分的方法叫做直接积分法【例4】求下列不定积分21(1)dxx1(2)dxx2(3)xxdx1cx52xdx7227xc2xc2xdx21121xc12xdx122xc112121132ln11212xxxxC332122ln3xxxxC21(4)(32)xxdxx2132xdxxdxdxdxx35(5)(23sin)xxexdxx3123sin5xxdxedxxdxdxx31123cos5ln13xxexxC423cos5ln4xxexxC222222212(1)(2)1(1)(3)sin(4)tan2cos2(5)sincosxxdxdxxxxxdxxdxxdxxx【例5】求下列不定积分22(1)1xdxx22(1)11xdxx2211(1)11dxdxdxxxarctanxxC22212(2)(1)xdxxx2222(1)(1)xxdxxx1arctanxCx2211()1dxxx2(3)sin2xdx1cos2xdx1(sin)2xxc2(4)tanxdx2(sec1)xdxtanxxccos2(5)sincosxdxxx22cossinsincosxxdxxx(cossin)(cossin)sincosxxxxdxxx(cossin)xxdxsincosxxc1(1cos)2xdx【练习】求不定积分2222(1)1(2)cot(3)cos2dxxxdxxdx2221(1)22arcsin11dxdxxcxx22(2)cot(csc1)cotxdxxdxxxc21cos1(3)cos(1cos)2221(sin)2xxdxdxxdxxxc【作业】求不定积分2222242221(1)(2)(1)11(3)(4)1(1)1(5)(6)1sincosxxxxxxdxdxxxedxdxexxxdxdxxxx37444(1)7xxdxxdxxc21(1)(1)(3)11(1)xxxxxxxeeedxdxeeedxxec2222221(1)11(2)[](1)(1)111lnarctan1xxxxdxdxdxxxxxxxdxdxxxcxx4422222232(1)1(1)(1)1(5)11111(1)arctan13xxxxdxdxdxxxxxdxxxxcx222222221(1)(4)(1)(1)111()arctan1xxdxdxxxxxdxxcxxx222222221sincos(6)sincossincos11()tancotcossinxxdxdxxxxxdxxxcxx