不定积分的概念和性质

不定积分的概念和性质前面我们已经研究了一元函数微分学。但在科学技术领域中，还会遇到与此相反的问题：即寻求一个可导函数，使其导数等于一个已知函数。从而产生了一元函数积分学。积分学分为不定积分和定积分两部分。本章我们先从导数的逆运算引出不定积分的概念然后介绍其性质，最后着重系统地介绍积分方法。重点原函数与不定积分的概念基本积分公式换元积分法分部积分法有理函数积分难点换元积分分部积分有理函数积分基本要求①正确理解原函数和不定积分概念②熟记基本积分公式③熟练地运用换元积分法和分部积分法④会用待定系数法求有理函数积分⑤会用万能代换和三角代换求三角有理式积分⑥会求简单无理函数的积分例xxcossinxsin是xcos的原函数.)0(1lnxxxxln是x1在区间),0(内的原函数.如果在区间I内，定义：可导函数)(xF的即Ix，都有)()(xfxF或dxxfxdF)()(，那么函数)(xF就称为)(xf导函数为)(xf，或dxxf)(在区间I内原函数.一、原函数与不定积分的概念对原函数的研究须讨论解决以下两个问题(1)是否任何一个函数都存在原函数？考察如下的例子0100)(xxxf若存在可导函数)()()(xfxFxF使)(xf则由的定义时当0x0)()(xfxF1)(CxF时当0x0)()(xfxF2)(CxF处连续在可导由0)()(xxFxF关于原函数的说明：21CC（左、右极限存在且相等）CxF)(0)0(F而已知1)0()0(fF矛盾这说明)(xf没有原函数既然不是每一个函数都有原函数，那么我们自然要问：具备什么条件的函数才有原函数？对此我们给出如下的结论：原函数存在定理：如果函数)(xf在区间I内连续，那么在区间I内存在可导函数)(xF，使Ix，都有)()(xfxF.简言之：连续函数一定有原函数.（证明待下章给出）（2）原函数是否唯一？若不唯一，它们之间有什么联系？①若，则对于任意常数，)()(xfxFCCxF)(都是)(xf的原函数.②若和都是的原函数，)(xF)(xG)(xf则CxGxF)()(（为任意常数）C证)()()()(xGxFxGxF0)()(xfxfCxGxF)()(（为任意常数）C任意常数积分号被积函数不定积分的定义：在区间I内，CxFdxxf)()(被积表达式积分变量函数)(xf的带有任意常数项的原函数称为)(xf在区间I内的不定积分，记为dxxf)(.为求不定积分，只须求出被积函数的一个原函数再加上积分常数即可例1求.5dxx解,656xx.665Cxdxx解例2求.112dxx,11arctan2xx.arctan112Cxdxx例3设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解设曲线方程为),(xfy根据题意知,2xdxdy即)(xf是x2的一个原函数.,22Cxxdx,)(2Cxxf由曲线通过点（1，2）,1C所求曲线方程为.12xy函数)(xf的原函数的图形称为)(xf的积分曲线.显然，求不定积分得到一积分曲线族.由不定积分的定义，可知),()(xfdxxfdxd,)(])([dxxfdxxfd,)()(CxFdxxF.)()(CxFxdF结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的.实例xx11.11Cxdxx启示能否根据求导公式得出积分公式？结论既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.)1(二、基本积分表基本积分表kCkxkdx()1(是常数););1(1)2(1Cxdxx;ln)3(Cxxdx说明：,0x,lnCxxdx])[ln(,0xx,1)(1xxx,)ln(Cxxdx,||lnCxxdx简写为.lnCxxdxdxx211)4(;arctanCxdxx211)5(;arcsinCxxdxcos)6(;sinCxxdxsin)7(;cosCxxdx2cos)8(xdx2sec;tanCxxdx2sin)9(xdx2csc;cotCxxdxxtansec)10(;secCxxdxxcotcsc)11(;cscCxdxex)12(;Cexdxax)13(;lnCaaxxdxsinh)14(;coshCxxdxcosh)15(;sinhCx以上15个公式是求不定积分的基础，称为基本积分表，必须熟练掌握。例4求积分.2dxxx解dxxx2dxx25Cx125125.7227Cx根据积分公式（2）Cxdxx11dxxgxf)]()([)1(;)()(dxxgdxxf证dxxgdxxf)()(dxxgdxxf)()().()(xgxf等式成立.此性质可推广到有限多个函数之和的情况三、不定积分的性质dxxfxfn)]()([1dxxfdxxfn)()(1dxxkf)()2(.)(dxxfk（k是常数，)0k证明只须验证右端的导数等于左端的被积函数（1）+（2）dxxfkdxxfkiniiniii)(])([11即线性组合的不定积分等于不定积分的线性组合这说明不定积分具有线性运算性质注意到上式中有n个积分号，形式上含有n个任意常数,但由于任意常数的线性组合仍是任意常数，故实际上只含有一个任意常数——分项积分法例5求积分解.)1213(22dxxxdxxx)1213(22dxxdxx22112113xarctan3xarcsin2C注意检验积分结果是否正确，只要把结果求导，看其导数是否等于被积函数例6求积分.)1(122dxxxxx解dxxxxx)1(122dxxxxx)1()1(22dxxx1112dxxdxx1112.lnarctanCxx例7求积分.)1(21222dxxxx解dxxxx)1(21222dxxxxx)1(12222dxxdxx22111.arctan1Cxx例8求积分.2cos11dxx解dxx2cos11dxx1cos2112dxx2cos121.tan21Cx例9dxxx241解dxxx241dxxx2411)1(dxxx]111[22Cxxx331arctan例10dxxx22cossin1解dxxx22cossin1dxxxxx2222cossincossindxxx]sin1cos1[22Cxxcottan例11dxxx2cos2sin122解dxxx2cos2sin122dxxx2cos2sin4422dxx2sin14Cxcot4说明：以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表.例12已知一曲线)(xfy在点))(,(xfx处的切线斜率为xxsinsec2，且此曲线与y轴的交点为)5,0(，求此曲线的方程.解,sinsec2xxdxdydxxxysinsec2,costanCxx,5)0(y,6C所求曲线方程为.6costanxxy例13求dxxxI},,1max{32解1||111},,1max{2332xxxxxxx故时当1x14341CxdxxI时当1x23231CxdxxI时当1||x3CxdxI因被积函数连续，故原函数可导，进而原函数连续于是有)4(lim)(lim14131CxCxxx13411CC3143CC)(lim)31(lim31231CxCxxx32131CC332CCI132313xCx11xCx143414xCx说明①求不定积分时一定要加上积分常数，它表明一个函数的原函数有无穷多个，即要求的是全体原函数，若不加积分常数则表示只求出了一个原函数②写成分项积分后，积分常数可以只写一个③积分的结果在形式上可能有所不同，但实质上只相差一个常数基本积分表(1)不定积分的性质原函数的概念：)()(xfxF不定积分的概念：CxFdxxf)()(求微分与求积分的互逆关系四、小结思考题符号函数0,10,00,1sgn)(xxxxxf在内是否存在原函数？为什么？),(思考题解答不存在.假设有原函数)(xF0,0,0,)(xCxxCxCxxF但)(xF在0x处不可微，故假设错误所以在内不存在原函数.),()(xf结论每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数.